2024年3月26日发(作者：关于高考数学试卷2022)
摘要
本文共分两个模型，分别针对放牧的羊数和每年保留的羊数，夏季要供给冬季的草量
进行讨论
第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊
（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第六年又重新循环。如
此再根据所给的条件来对牧场所能放牧多少羊进行求解
第二个模型，在第一个模型的前提下，我们改进第一个模型，因为我们计
算出秋季草量过剩而春季不足，，而且考虑到鲜草和甘草的转化问题，所
以我们提出相应的假设进行求解。最后在第二个模型的基础上，分别回答
题目所提的三个问题。
关键词: 线性规划 优化 牧场管理
一、问题重述
有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少
母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.
为解决这些问题调查了如下的背景材料：
（1）本地环境下这一品种草的日生长率为
季节 冬 春 夏 秋
日生长率（g/m2） 0 3 7 4
（2）羊的繁殖率 通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可
以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为
年龄 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8
（3) 羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为
年龄 1~2 2~3 3~4
1
存活率 0.98 0.95 0.80
（4）草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为
季节 冬 春 夏 秋
母羊 2.10 2.40 1.15 1.35
羊羔 0 1.00 1.65 0
二、模型建立与分析
针对以上问题，我们对其数据进行了分析，并建立了线性规划模型，以下是我们的建模
过程：
（一）、按照以下假设建模：
1.1、模型假设：
（1） 只考虑羊的数量，不考虑体重。
（2） 母羊只在春季产羊羔，公母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊羔和部分母羊羔
卖掉，以保持母羊（每个年龄的）数量不变。
（3） 假设牧场的面积为:A=1000000
m
2
；
1.2、 符号说明：
0—0.5年龄段母羊羔为：x0
0.5—1年龄段母羊为：x1
1—2年龄段母羊为：x2
2—3年龄段母羊为：x3
3—4年龄段母羊为：x4
4—5年龄段母羊为：x5
春季产草量：n1
夏季产草量：n2
秋季产草量：n3
冬季产草量：n4
春季羊吃草总量：m1
夏季羊吃草总量：m2
2
秋季羊吃草总量：m3
冬季羊吃草总量：m4
1.3、 计算各个年龄段羊的数量：
x2=x1;
由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得：
x3=0.98x2；
由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得：
x4=0.95*x3；
由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得：
x5=0.80*x4；
每年龄段的母羊所生羊羔数的总和：
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；
1.4、 计算每季节的产草量：
n1=90*3*A/1000（kg）；
n2=90*7*A/1000（kg）；
n3=90*4*A/1000（kg）；
n4=0（kg）；
1.5、计算每季节羊吃草量：
m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90(kg)
m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90(kg)
m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90(kg)
m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90(kg)
1.6、一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量
m1+m2+m3+m4<=n1+n2+n3+n4
1.7、 所要求的羊的总数为：
3
max=x1+x2+x3+x4+x5
A=100000
x2=x1
x3=0.98x2
x4=0.95x3
x5=0.80x4
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5
n1=90*3*A/1000
n2=90*7*A/1000
n3=90*4*A/1000
n4=0
m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90
m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90
m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90
m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90
m1+m2+m3+m4<=n1+n2+n3+n4
由上述线性规划模型可得出：
解得：
A=1000000
x0=2118
x1=288
x2=288
x3=282
x4=268
x5=214
m1=418052.2752
m2=423515.32992
m3=162915.7536
m4=253424.5056
n1=270000
n2=630000
4
n3=360000
n4=0
所以，每年所保留下来的母羊羔为288(x1),此牧场能放牧的羊数为1340只
（x1+x2+x3+x4+x5）。但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转
化率，因此我们引入模型二。
（二）、 在模型一的基础上，我们加上如下条件：
仔细观察上面模型，可以发现一个问题，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，
尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，于是，我们添加假设：
2.1、模型假设：
（4）春季秋季生长出的草自给自足
（5）冬季所需的草由夏季提供
（6）夏季保存到冬季的草重量不变，只剩50%的能量
2.2、符号说明：
0—0.5年龄段母羊羔为：x0
0.5—1年龄段母羊为：x1
1—2年龄段母羊为：x2
2—3年龄段母羊为：x3
3—4年龄段母羊为：x4
4—5年龄段母羊为：x5
春季产草量：n1
夏季产草量：n2
秋季产草量：n3
冬季产草量：n4
春季羊吃草总量：m1
夏季羊吃草总量：m2
秋季羊吃草总量：m3
冬季羊吃草总量：m4
5
夏季保存给冬季的草的质量：t
2.3、计算各个年龄段羊的数量：
x2=x1;
由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得：
x3=0.98x2；
由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得：
x4=0.95*x3；
由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得：
x5=0.80*x4；
每年龄段的母羊所生羊羔数的总和：
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5；
2.4、各季节羊的吃草量
春季羊的吃草量：m1=x0*1*90+(x2+x3+x4+x5)*2.4*90 (kg)
夏季羊的吃草量：m2=x0*1.65*90+(x2+x3+x4+x5)*1.15*90 (kg)
秋季羊的吃草量：m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90 (kg)
冬季羊的吃草量：m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90 (kg)
计算每季节的产草量：
n1=90*3*A/1000（kg）；
n2=90*7*A/1000（kg）；
n3=90*4*A/1000（kg）；
n4=0（kg）；
春季羊的吃草量不能大于本季节产草量：
m1<=n1
夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量：
m2+t<=n2
秋季羊的吃草量不能大于本季节产草量：
6
m3<=n3
冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量：
m4=t
通过以上分析可以得到如下
max x1+x2+x3+x4+x5
A=100000
x2=x1
x3=0.98x2
x4=0.95x3
x5=0.80x4
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5
n1=90*3*A/1000
n2=90*7*A/1000
n3=90*4*A/1000
n4=0
m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90
m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90
m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90
m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90
m1<=n1
m2+t<=n2
m3<=n3
m4=t
解得：
x0=1367
x1=186
x2=186
x3=182
x4=172
x5=137
m1=269992.0944
m2=273520.31724
m3=105216.4242
7
m4=327339.9864
n1=270000
n2=630000
n3=360000
n4=0
t=327339.9864
所以，每年所保留下来的母羊羔为186(x1),此牧场能放牧的羊数为863
（x1+x2+x3+x4+x5）。
夏季保存在冬季的草量为：t=327339.9864。
由结果可知春季的产草量为n1=270000kg，羊吃的总草量为：m1=269992.0944kg，
所以春季基本上没什么浪费。
夏季的产草量为：n2=630000kg，夏季和冬季羊的总吃草量为：
m2+m4=600860.30354kg。浪费了：n2- m2-m4=29139.69636kg
秋季的产草量为：n3=360000kg，羊的吃草量为：m3=105216.4242kg。；浪费了：
n3-m3=253783.5758kg。可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。
冬季羊吃的草由夏季提供、没什么浪费。
因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题。
（三）、模型三：
3.1模型假设：
在模型二的基础上假设六删除；
3.2 模型求解：
将各个季节的吃草量与产草量之间的关系改为：
夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量：
m2<=n2
秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量：
m3<=n3+n2-m2
冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量：
m4<=n3+n2-m2-m3
8
春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量：
m1<=n1+n2-m2+n3-m3
通过以上分析可以得到如下
max x1+x2+x3+x4+x5
A=100000
x2=x1
x3=0.98x2
x4=0.95x3
x5=0.80x4
x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5
n1=90*3*A/1000
n2=90*7*A/1000
n3=90*4*A/1000
n4=0
m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90
m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90
m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90
m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90
m2n2
m3n3n2-m2
m4n3n2-m2-m3
m1n1n2-m2n3-m3
解得：
A=1000000
x0=2118
x1=288
x2=288
x3=282
x4=268
x5=214
m1=418052.2752
m2=423515.32992
9
m3=162915.7536
m4=253424.5056
n1=270000
n2=630000
n3=360000
n4=0
结果分析：
夏季的时候产草量是n2=630000（kg），吃草量是m2=423515.32992（kg）；
留下了630000－423515.32992＝206484.67008（kg）草给秋季。
秋季的产草量是n3=360000（kg），吃草量是m3=162915.7536（kg）；
留下了360000+206484.67008-162915.7536＝403568.91648（kg）草给冬季。
冬季的产草量为0，吃草量为m4=253424.5056（kg），
留下了403568.91648－253424.5056＝150144.41088（kg）草给春季。
春季的产草量为n1=270000（kg），吃草量为m1=418052.2752（kg）。
全年下来浪费的草量为150144.41088+270000－418052.2752＝2092.13568（kg）。
三、三个模型的结果比较
模型一：是把一年看成一个整体来求解得出的结果不是很符合实际。存在缺陷。
因此引入模型二。
模型二：在模型一的基础上改善，把四个季节都作为约束，从而保证每个季节的
羊都能吃到草，符合实际。情况较好。但模型二浪费很严重。对农民来说会有很大的损
失。考虑到此点，我们引入模型三。
模型三：综合考虑模型一个模型二的所有问题。引入每个季节剩下的草将会留给
下给季节用。此假设合理，符合实际。得出的结果，草的浪费比较少。结果令人满意。
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四、参考文献
1、姜启源 谢金星 等编，数学模型，第四版，北京：高等教育出版社。
2、赵静 但琦主编 数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008.1
3、杨桂元 黄己立主编 数学建模，合肥：中国科学技术大学出版社，2008.8
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