九年级下册教材分析

2024年4月14日发(作者：20年北京中考数学试卷)

九年级下册数学教材分析

一、教材的系统

⒈本册内容结构

⑴ 本册内容分属几何、代数、统计与概率三个领域，具体牵涉到：几何：图形的

认识——直角三角形的边角关系、圆；

代数：函数——二次函数；统计与概率：对统计与概率的学习做一个总结、提升。

⑵ 不同内容之间的联系（逻辑框架与方法）：直角三角形的边角关系与圆，在探索

图形性质的方法方面有一致性；其余部分基本上没有确定的逻辑与方法方面的密切联系。

本册总内容框架

第一章直角三角形的边角关系；第二章二次函数；第三章圆；第四章统计与概率。

第一章 直角三角形的边角关系内容：①从梯子的倾斜程度谈起②30°、45°、60°

角的三角函数值③三角函数的有关计算④船有触礁的危险吗？ 回顾与思考

第二章 二次函数内容：①二次函数所描述的关系②结识抛物线③刹车距离与二次

函数④二次函数y = a x2 + b x + c的图像⑤用三种方式表示二次函数⑥何时获得最大利

润⑦最大面积是多少⑧二次函数与一元二次方程 回顾与思考

课题学习：拱桥设计。

第三章 圆内容：①车轮为什么做成圆形？②圆的对称性③圆周角和圆心角的关系

④确定圆的条件⑤直线与圆的位置关系⑥圆与圆的位置关系⑦弧长及扇形的面积⑧圆锥的

侧面积。回顾与思考。

课题学习：设计遮阳篷。

第四章 统计与概率内容：①50年的变化②哪种方式更合算③游戏公平吗。回顾

与思考

⒉ 本册内容与教材其他各册相关内容的联系

直角三角形的边角关系与三角形、相似在知识方面的联系；直角三角形的边角关系、圆

与三角形、四边形等在方法方面的联系；二次函数与一次函数、反比例函数在方法方面的联

系；统计与概率和各册的统计、概率内容在知识与方法方面的联系。

⒊ 各部分内容的设计要点

第一章： 内容处理的基本定位是：将直角三角形的边角关系作为解决问题的工具来处

理，基本内容是三角学，而不是三角函数；以正切作为研究边角关系的起源（正弦和余弦的

概念，则是在正切的基础上、利用直角三角形、让学生通过说理得到的）；随后是引入计算器

处理有关三角的计算问题、和应用三角知识解决问题。

问题：在研究和学习直角三角形的三种边角关系时，教材先引入一个角的正切，而后给

出正弦和余弦，这样的安排出于怎样的考虑？

在日常生活中，刻画物体的倾斜程度、山的坡度等常常用到正切，对学生来讲用正切刻

画倾斜程度也是很直观的、易于接受的，因此，教材在本章一开始就从现实的问题出发，借

助于日常生活中常见的梯子，山坡等情景，提出相关的问题后，引导学生在解决问题的过程

中得出正切的概念，并结合具体的问题进行应用。在此基础上，运用类比的方法再引出正弦

和余弦的概念，使直角三角形的边角关系的研究自然展开。

P2、7：体现将直角三角形的边角关系作为解决问题的工具来处理的想法，说明了为什么

1

要研究三角学，而且以正切作为研究边角关系的起源。

整章内容均表现出知识与应用是密切相联系的。

问题 教材上称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”，此处是从函数的

角度研究直角三角形的边角关系吗？

教材上虽然称正弦、余弦和正切为三角函数，但实际上并没有从函数的角度研究它们，

也就是说没有研究随着角的变化，其正切值的变化规律如何？而是研究当角一定时，相应的

边的比值是什么？那么，之所以又引入三角函数的名词，一方面可以与后面高中的学习相衔

接，同时也没有必要再用其他的称呼为之命名。因此教学中，教师应注意此处的要求，做到

心中有数。

第二章： 延续了一次函数的基本思路：模型——探究性质——应用——与一元二次方

程的联系；突出图像在二次函数学习过程中的独特作用。

研究函数性质的具体方法：从借助图像进行讨论开始，再逐步获得相应的代数结论，突

出对于函数数学特性的形象化感受。对于应用二次函数解决实际问题，则提倡多种方法结合。

P34：提供各种类型的背景，强调模型的意义；

问题 “用三种方式表示二次函数”的意义是什么？

有研究表明，函数的多种表示、各种表示之间的联系与转化是函数学习中的“重要思想”。

函数有四种表示形式：语言表示、表格表示、图象表示、代数式表示。其中后三种是数学的

形式。这四种表示形式各有其特点，它们从不同的侧面反映变量之间关系，文字的（或口头

的）、数值的、图象的和符号的，在用不同的表示形式表示同一关系时，它们之间应该是互

相联系的。如

y

=

x

，

y

的值应该在

x

=0处最小，它的图象应该在

x

轴以上且关于

y

轴对称等，

而语言表示向数学表示的转化，及从数学表示回到实际问题，就是数学建模。

关注了各种表示之间的联系与转化，也就关注了学生对函数关系的理解、对数学方法的

理解。

事实上，这一思想渗透在二次函数整章的内容中，如一般二次函数的作图，始终都在考

虑表达式与图象之间的联系、表达式的变化引起图象相应的什么变化等。一直在用分析、推

理的方法，而不只是简单的描点作图。

P38、P46：突出利用图像研究二次函数的做法；

P42、P56：在解决问题的过程中研究二次函数的相应特征；

问题 二次函数的应用题学生感到比较困难，能否换一些简单的题？

培养学生的数学应用意识，是新课程的重要目标之一，教材中选用范围更加广泛、内容

更加贴近实际的应用问题。很明显，新课程在放宽一些要求（如根式的计算）的同时，对应

用数学解决实际问题的要求有所提高。

勿庸质疑，解应用问题确实比较难，这由于应用问题往往没有良好的结构，即不是很

好定义的，需要很好地进行翻译。并且应用问题经常需要进行估算、有多个结果或结果不确

定等。

解决实际问题的过程，就是寻找实际问题和数学之间的一种联系的过程，或者说是建

2

2

立数学模型。由于普通语言结构的灵活性、表达的丰富性和包含在其中的意义的含糊性，使

得寻找与所叙述的实际问题相配的数学结构具有困难性。具体地说这些困难包括读题、理解

题意，把实际问题翻译为数学问题，求解的过程、对解的分析等多个方面，最主要的是“把

实际问题翻译为数学问题”这一步骤。因此解决实际问题往往比较难。这样，应用问题难度

在客观上有所提高。

二次函数的应用问题，一般是利用它有一个最值点，由于这一点，二次函数被广泛地用

来解决一些单变量的最优化问题，教材也安排了这样的应用问题。也就是说教材中的应用问

题是随着知识的线索而展开的，它的难度是与知识的特点相适应的。

P60、P63：采用不同的方法研究应用二次函数解决实际问题；

问题 不管是求精确解还是近似解，解一元二次方程都有很好的方法。利用二次函数

的图象求一元二次方程的近似解意义何在？

求一元方程的解，曾被认为是代数的主要内容。对于一个方程，我们希望能找到它的

一般解，像一元二次方程那样，有公式解。但遗憾的是，五次及五次以上的方程没有公式

解，并且尽管三次方程和四次方程有公式解，由于复杂，人们也不常用。这样，利用图象

法求方程的近似解就是一个很好的求解思路。近来，由于计算机的运算速度的增加和精确

性的提高，人们越来越多地使用方程的近似解。

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，最重要的不是获得解本身，重要的是

方法，是求解的思路，对方程解的理解——包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要

求的精确度等，这些对于学生来说都是有价值的数学。

同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系。

P66、P67：换一个角度看待一元二次方程及其解，加深对相应内容的理解。

问题 在本章的“读一读”栏目中，有“假设在一个变化过程中有两个变量

x

和

y

，

如果对于

x

在某一范围的每一个确定的值，

y

都有唯一确定的值与它确定，那么就说

y

是

x

的函数，

x

叫做自变量”的函数定义，为什么教材不把这个定义写在正文当中？

这个定义与第3册的定义相比，多了“

y

的值唯一”的说法，为学生进一步学习函数，进行

铺垫。

没有放到正文当中，是因为教材试图在这一学段回避从形式上讨论：哪些

y

有唯一确定

的值，哪些

y

不是有唯一确定的值，这种讨论一般是制造一些不符合“唯一性”的“关系”，

从而在“函数”和“关系”之间进行区别。在本学段，对函数的学习我们强调函数的模型思

想，强调一个量是如何依据另一个量的，强调运用函数对变化趋势进行预测等。

教材这样处理，再次体现了“淡化形式、注重实质”的一贯设计思路。

第三章：基本定位；突出对圆的整体特征的认识；对于数学推理的要求高于对形式化证明的

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要求。

问题 圆，小学就已经有所研究，而且课程标准对其要求有所变化，为什么将其单独成

章 并放置于整个初中几何学习的最后？

确实，圆的知识相对而言比较少，课程标准的要求也相对比较低，因此，将圆的有关知

识融合到其他各个章节的学习中，也未尝不可。但各有利弊。几何学习一般可以有两条主线，

一条是图形性质，一是图形性质的探索与研究方法，也就是说方法和知识两条主线。如果以

方法为主线，根据方法将有关知识整合到某些章节进行学习，学生对方法的感受可能比较丰

满，但对图形性质的研究可能是分散的，从而难以形成对图形的整体认识；而如果以图形为

主线，将圆单独成章，可以让学生对圆的有关知识及其研究方法有一个全貌的了解。各种处

理方式各有利弊，教科书可以有不同的选择，但应保持整个教科书的整体风格。

将圆作为初中几何学习的最后一章，和原来的大纲教材一样，主要是考虑到图形的简单

复杂的顺序，前面研究的图形都是直线形，而圆是曲线形，而且圆有关知识的研究可能很需

要借助直线形的有关知识。

问题 圆的教学定位如何？

圆作为几何内容的最后一章，其教学定位就不能仅仅是图形性质的再现，而是希望以图

形性质的研究为载体，对整个初中阶段图形性质的研究方法进行回顾与提升。

在前面的学习中，学生已经通过实践操作、简单推理和严格的论证等方式探索并证明了直

线形的有关性质，这里希望学生迁移前期的学习，继续经历探索与说理的过程（初中阶段，

课程标准对圆的有关知识没有提出严格的证明要求，因此这里只要求学生能探索出有关性

质，并确信所探索性质的正确性即可，不必要求严密的论证）。当然，教学中应关注圆的有

关性质探索方法的多样化，可以在直观观察的基础上进行测量、剪切等活动，从而归纳（猜

想）出有关性质，当然不能停留于归纳，归纳之后仍需要利用以前学习的图形性质进行简单

的说理；部分学生能直接分析图形的特征，特别是和已经研究过的直线形之间的内在联系，

借助几何论证获得有关结论，也是值得赞赏的；此外，教学中，应特别关注圆的特殊性（如

对称性），借助于这些特殊性进行性质探索。

问题 对称观点研究圆的性质的一些案例

圆十分“圆满”，它既是轴对称地图形，又是中心对称图形，更一般的，还是旋转对称

图形（绕圆心旋转任意角度都可以和原图形重合）。事实上，借助变换的有关知识，可以研

究初中阶段关于圆的几乎所有定理；而且借助几何变换，既降低了问题的难度，也提升了学

生对圆的理解水平。在这个方面，老师们可以进行大胆地探索：

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借助几何变换研究圆有关性质的几个案例：

（1） 观察图1，由其轴对称性可以比较方便地探究垂径定理及其有关逆定理

A

B

O

A

O

B

AB

AB

O

O

（2） 观察图2，在直线的平移过程中，整个图形的轴对称性没有发生变化，而且对称

轴也保持不变。在画出其对称轴后，可以引导学生发现切线的性质（切线与过切点的直径垂

直）以及直线与圆位置关系的判别方法（比较圆心到直线的具体与半径的大小）。

（3） 固定圆O

1

，在平移圆O

2

的过程中，整个图形

O1

O1

是否仍然保持轴对称，其对称轴如何？通过这个问题的思

考，学生可以十分自然地得到连心线（连心线所在直线就

是对称轴），从而得到两圆位置关系的判别方法。

(4) 当然，利用圆的轴对称性，还可以帮助学生解决一些问题。

如图4，AB∥CD，图形是否轴对称，连接A、B、C、D四点，你能得到哪些结论？

如果学生得到了AC=BD，还可以研究其的逆问题：

如图5，AC=BD，图形是否是对称图形，连接A、B、C、D四点，你又能得到哪些结论？

当然，图5中弦AC、BD不交，如果它们相交，则成为图6的情形。这时是否仍有相同

的结论呢？

A

C

O

B

D

O1

O1

O1

A

C

O

图5

B

D

C

B

O

A

D

图4

图6

（5） 借助旋转、平移可以得到等弧所对的圆心角相等、等弦对等弧、等弧对等弦。

P88：对称性是圆的一个最为基本的特征，是重点研讨对象。P95、P96：本质上都是

对称（对等）性质的体现。

P100：更关注研究的方法；P109：体现了一个研究数学的过程。

P113与122：在探究问题的大思路方面有很明显的一致性，而且和圆周角与圆心角之

间的关系的研究也相似。

探索图形性质的方法多样化贯穿始终。

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