2023年12月3日发(作者：如何区分高中物理跟数学试卷)
注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
2017-2018学年陕西省咸阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（1+i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
， 则f′2．（5分）若y＝f（x）在（﹣∞， +∞）可导， 且（a）＝（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图所示， 则f′（xA）与f（\'xB）的大小关系是（ ）
A．f′（xA）＞f\'（xB）
C．f′（xA）＝f\'（xB）
4．（5分）积分A． B．＝（ ）
C．πa2 D．2πa2
B．f′（xA）＜f\'（xB）
D．不能确定
5．（5分）设随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a（）k， 其中k＝0， 1， 2， 那么a的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）把10个苹果分成三堆， 要求每堆至少1个， 至多5个， 则不同的分法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
7．（5分）已知袋子内有6个球， 其中3个红球， 3个白球， 从中不放回地依次抽取2个球， 那么在已知第一次抽到
红球的条件下， 第二次也抽到红球的概率是（ ）
第1页（共12页）
A． B． C． D．
8．（5分）从甲地到乙地， 每天有直达汽车4班， 从甲地到丙地， 每天有5个班车， 从丙地到乙地， 每天有3个班车， 则从甲地到乙地不同的乘车方法有（ ）
A．12种 B．19种 C．32种 D．60种
9．（5分）在某一试验中事件A出现的概率为p， 则在n次试验中出现k次的概率为（ ）
A．1﹣pk
C．1﹣（1﹣p）k
B．（1﹣p）kpnk
﹣
D．10．（5分）在平面上， 我们如果用一条直线去截正方形的一个角， 那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长， 由勾股定理有：c2＝a2+b2．设想正方形换成正方体， 把截线换成如图的截面， 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN， 如果用S1， S2， S3表示三个侧面面积， S4表示截面面积， 那么你类比得到的结论是（ ）
A．S4＝S1+S2+S3
C．S43＝S13+S23+S33
B．S42＝S12+S22+S32
D．S44＝S14+S24+S34
11．（5分）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测， 算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为．1﹣9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示， 则的运算结果可用算筹表示为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）在如图的四个图象中， 其中一个图象是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f\'（x）的图象， 则f（﹣1）等于（ ）
第2页（共12页）
A． B．﹣ C． D．﹣或
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分， 共20分）
13．（5分）设i为虚数单位， 若复数z满足＝ ．
14．（5分）在（x﹣2）8的展开式中， x7的系数为 ．
15．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ， σ2）， 若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，
则P（2≤ξ＜4）等于 ．
16．（5分）某城市的电话号码， 由六位升为七位（首位数字均不为零）， 则该城市可增加的电话部数是 ．
三、解答题（本大题共6小题， 共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在下列条件下， 分别求出有多少种不同的做法？
（Ⅰ）5个不同的球， 放入4个不同的盒子， 每盒至少一球；
（Ⅱ）5个相同的球， 放入4个不同的盒子， 每盒至少一球．
18．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx在x＝2处取得极值为﹣16．
（Ⅰ）求实数a， b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（12分）已知函数y＝f（x）对任意实数x， y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy， 且f（1）＝1．
（Ⅰ）求f（2）， f（3）， f（4）的值， 猜想f（n）（n∈N+）的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（I）中的猜想．
20．（12分）2017年10月9日， 教育部考试中心下发了《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》， 在各科修订内容中明确提出， 增加中华优秀传统文化的考核内容，
积极培育和践行社会主义核心价值观， 充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．鞍山市教育部门积极回应， 编辑传统文化教材， 在全是范围内开设书法课， 经典诵读等课程．为了了解市民对开设传统文化课的态度， 教育机构随机抽取了200位市民进行了解， 发现支持开展的占75%， 在抽取的男性市民120人中支持态度的为80人．
第3页（共12页）
＝i， 其中为复数z的共轭复数， 则|z|
男性
女性
合计
（1）完成2×2列联表
支持
不支持
合计
（2）判断是否有99.9%的把握认为性别与支持有关？
附：K2＝P（K2≥k）
k
0.15
2.072
0.10
2.706
．
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
10.828
21．（12分）某公司的一次招聘中， 应聘者都要经过三个独立项目A， B， C的测试， 如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A， B， C每个项目测试的概率都是．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X， 求X的概率分布和数学期望．
22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx， g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为（﹣， 1）， 求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若∃x∈（0， +∞）， 使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立， 求实数a的取值范围．
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2017-2018学年陕西省咸阳市高二第二学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题， 每小题5分， 共60分， 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1．【考点】A5：复数的运算．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算， 是基础题．
2．【考点】61：变化的快慢与变化率．
【解答】解：∵∴•即f′（a）＝1，
则f′（a）＝，
故选：D．
＝1，
，
【点评】本题主要考查导数的计算， 根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
3．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【解答】解：根据题意， 由导数的几何意义，
f\'（xA）为点A处切线的斜率， f\'（xB）为点B处切线的斜率，
由图象分析可得：f\'（xA）＜f\'（xB）；
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义， 准确理解导数的几何意义是解题的关键
4．【考点】67：定积分、微积分基本定理；69：定积分的应用．
【解答】解：根据定积分的几何意义， 则的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
表示圆心在原点， 半径为a第5页（共12页）
故选：B．
【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识， 考查考查数形结合思想．属于基础题．
5．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【解答】解：∵随机变量ξ的概率分布列为P（ξ＝k）＝a（）k， 其中k＝0， 1， 2，
∴P（ξ＝0）＝＝a，
P（ξ＝1）＝a（）＝，
P（ξ＝2）＝a（）2＝，
∴a+解得a＝故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法， 是基础题， 解题时要认真审题， 注意离散型随机变量的性质的合理运用．
6．【考点】D1：分类加法计数原理．
＝1，
．
【解答】解：分类：三堆中“最多”的一堆为5个， 其他两堆总和为5， 每堆至少1个， 只有2种分法．即1和4， 2和3个有两种方法．
三堆中“最多”的一堆为4个， 其他两堆总和为6， 每堆至少1个， 只有2种分法．即2和4；3和3两种方法．
三堆中“最多”的一堆为3个， 那是不可能的．
所以不同的分法共有2+2＝4．
故选：A．
【点评】本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始， 分别计算不同分法， 然后求和．用列举法也可以， 形象、直观易懂．
7．【考点】CM：条件概率与独立事件．
【解答】解：第一次抽到红球后， 袋中还有2个红球， 3个白球，
故第二次还抽到红球的概率为．
故选：C．
第6页（共12页）
【点评】本题考查了条件概率的计算， 属于基础题．
8．【考点】D3：计数原理的应用．
【解答】解：分两类：第一类直接到达， 甲地到乙地， 每天有直达汽车4班共有4种方法，
第二类：间接到达， 从甲地到丙地， 每天有5个班车， 从丙地到乙地， 每天有3个班车， 共有5×3＝15种方法，
根据分类计数原理可得4+15＝19，
故选：B．
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理， 属于基础题．
9．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【解答】解：根据题意， 在n次试验中出现k次， 则A出现（n﹣k）次；
根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式可得其概率为∁nk（1﹣p）kpnk，
﹣故答案为：∁nk（1﹣p）kpnk．
﹣故选：D．
【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式的运用， 解题时注意结合对立事件的意义， 分析出n次试验中出现k次， 则A出现（n﹣k）次是解题的关键．
10．【考点】F3：类比推理．
【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比， 于是作出猜想：S42＝S12+S22+S32
故选：B．
【点评】本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．
11．【考点】F4：进行简单的合情推理．
【解答】解：根据题意，
用算筹记数表示为故选：D．
；
＝36＝729，
【点评】本题考查合情推理的应用， 关键是理解题目中算筹记数的方法
12．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
【解答】解：函数的导数f′（x）＝x2+2ax+（a2﹣1），
则f′（x）是一个开口向上的抛物线， 故第三个图象是，
第7页（共12页）
则f′（0）＝0， 即f′（0）＝a2﹣1＝0， 则a2＝1， 得a＝±1，
又对称轴﹣＝﹣a＞0， 则a＜0， 则a＝﹣1，
即f′（x）＝x2﹣2x， 则f（x）＝x3﹣x2+1， 则f（﹣1）＝﹣﹣1+1＝﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查三次函数的图象和二次函数的图象和性质， 求出函数的导数， 利用图象确定a的值是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分， 共20分）
13．【考点】A8：复数的模．
【解答】解：数z满足则z＝1+i．
∴|z|＝．
．
＝i， ∴＝i（1﹣i）＝1﹣i，
故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式， 考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．
14．【考点】DA：二项式定理．
【解答】解：由题意， 含有x7的项为：其系数为：8×（﹣2）＝﹣16，
故答案为：﹣16．
，
【点评】本题主要考查二项式定理的应用， 二项式展开式的通项公式， 二项式系数的性质， 属基础题．
15．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（μ， σ2）， 若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，
对称轴为μ＝4，
∴P（2≤ξ＜4）＝0.5﹣P（ξ＜2）＝0.35．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查了正态分布的对称性， 属于基本知识的考查．
16．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
第8页（共12页）
电话号码是六位数字时， 该城市可安装电话9×105部，
同理升为七位时为9×106．
∴可增加的电话部数是9×106﹣9×105＝81×105．
故：81×105．
【点评】本题考查分步乘法原理， 两次使用分步计数原理， 这个问题分步很明确， 先排首位， 再排列第二位， 以此类推．得到结果即可， 本题是一个基础题．
三、解答题（本大题共6小题， 共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【解答】解：（Ⅰ）第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有C52＝10种方法，
再把4个元素（包含一个复合元素）放入4个不同的盒子中有A44＝24种，
根据分步计数原理放球的方法有10×24＝240种；
（Ⅱ）利用插板法， 把5个球排成一排， 不包含两端， 形成了4个空， 插入3个板，
有C43＝4种，
故5个相同的球， 放入4个不同的盒子， 每盒至少一球， 有C43＝4种．
【点评】本题主要考查了排列组合混合问题， 先选后排是关键．
18．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ax3+bx， 可得f′（x）＝3ax2+b，
由函数f（x）＝ax3+bx在x＝2处取得极值为﹣16，
得解得：；
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝x3﹣12x，
f′（x）＝3x2﹣12，
令f′（x）＞0， 解得：x＞2或x＜﹣2，
令f′（x）＜0， 解得：﹣2＜x＜2，
故f（x）在（﹣∞， ﹣2）， （2， +∞）递增， 在（﹣2， 2）递减．
f（x）的单调增区间：（﹣∞， ﹣2）， （2， +∞）；单调减区间：（﹣2， 2）．
【点评】本题考查了函数的单调性问题， 考查导数的应用以及转化思想， 是一道中档题．
19．【考点】RG：数学归纳法．
第9页（共12页）
【解答】解：（Ⅰ）令x＝y＝0得f（0+0）＝f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）＝0
∵f（1）＝1，
∴f（2）＝f（1+1）＝1+1+2＝4，
f（3）＝f（2+1）＝4+1+2×2×1＝9，
f（4）＝f（3+1）＝9+1+2×3×1＝16，
∴猜想f（n）＝n2，
（Ⅱ）数学归纳法证明之①当n＝1时， f（1）＝1， 猜想成立；
②假设当n＝k时， 猜想成立， 即 f（k）＝k2
则当n＝k+1时， f（k+1）＝f（k）+f（1）+2k×1＝k2+2k+1＝（k+1）2 即当n＝k+1时猜想成立．
由①②可知， 对于一切n∈N*猜想均成立．
【点评】本题考查抽象函数及其应用， 考查数学归纳法的应用， 考查代入法， 考查计算能力， 属于中档题．
20．【考点】BL：独立性检验．
【解答】解：（1）抽取的男性市民为120人， 持支持态度的为200×75%＝150人，
男性公民中持支持态度的为80人， 列出2×2列联表如下：
男性
女性
合计
（2）由表中数据， 计算K2＝所以有99.9%的把握认为性别与支持有关．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题， 是基础题．
21．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．
支持
80
70
150
不支持
40
10
50
＝合计
120
80
200
≈11.11＞10.828，
【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为
； ……（4分）
（2）因为每人可被录用的概率为
，
第10页（共12页）
所以，
，
，
；
故随机变量X的概率分布表为：
X 0 1 2 3
P
…………（8分）
所以， X的数学期望为
． ……（10分）
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题， 是基础题．
22．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）∵g\'（x）＝3x2+2ax﹣1， 若函数g（x）单调减区间为（﹣，由g\'（x）＝3x2+2ax﹣1＜0， 解为﹣＜x＜1，
∴﹣， 1是方程g\'（x）＝0的两个根，
∴﹣+1＝﹣⇒a＝﹣1，
∴g（x）＝x3﹣x2﹣x+2；
（Ⅱ）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，
即2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2成立．
所以2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1， 在x＞0时有解，
所以2a≤2lnx﹣3x﹣最大值，
令h（x）＝2lnx﹣3x﹣， 则h′（x）＝，
当0＜x＜1时， h\'（x）＞0， h（x）单增，
当x＞1时， h\'（x）＜0， h（x）单减．
∴x＝1时， h（x）max＝﹣4，
第11页（共12页）
1）， ∴2a≤﹣4，
即a≤﹣2．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质， 要求熟练掌握导数和函数单调性， 最值之间的关系， 考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题， 则需要转化为最值恒成立．
注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
密……封……圈……内……不……能……答……题 密……封……圈……内……不……能……答……题
第12页（共12页）
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