第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级B卷复赛(含答案)

2023年12月20日发(作者：新津区初升高数学试卷)

第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛

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考生须知：

1. 每位考生将获得考卷一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共

50分。

3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛B卷

（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）

一、选择题（每小题4分，共40分）

31．函数yx2x1的自变量的取值范围是（ ）

A．x≥－2 B．x＞－1 C．x≠－1 D．x≥－2且x≠－1

2．如图，四边形ABCD、APQR是两个全等的正方形，CD与PQ相交于点E，若∠BAP=20°，

则∠PEC等于（ ）

A．60° B．65° C．70° D．75°

第2题图

第

4

题图

3．已知(x1)x211，则x的值为（ ）

A．±1 B．－1、2 C．1、2 D．0、－1

4．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA、OB分别大致表示大明在运

行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点

的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC能大致表示大明在停止运行（即静止）

的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）

A． B． C． D．

5．若关于x的分式方程2xmp A．m≠n

n

B．2xm≠－q有解，则必须满足条件（ ）

n C．np≠－mq D．p≠－q，m≠n

6．如图，在△ABC中，有一点P在AC边上移动，若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最

小值为（ ）

A．8 B．8.8 C．9.8 D．10

7．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积

是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形

的面积是（单位：平方厘米）（ ）

A．40 B．25 C．26 D．36

第6题图

第7题图

第8题图

第10题图

8．如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q

从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动

的过程中，当△PBQ为直角三角形时，运动时间为（ ）

A．43秒 B．52秒或83秒 C．52秒 D．483秒或3秒

9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5

厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存

放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内

部高度至少是（ ）

A．16厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．19厘米

图①

图②

图③

10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，

线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB

与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的

坐标为（ ）

A．（52，52） B．（3，3） C．（77994，4） D．（4，4）

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．若整数m满足条件(m1)2=m+1且m＜12，则m的值是____________．

12． 若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则一次函数y=ax+c的图象不可能经过第_______

象限．

13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位．那么i1=i，i2=

－1，i3=－i，i4=1，i5=i，i6=－1…，那么i2015＝_____________．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C点作CF∥AB，连

接AF与BC相交于点G，若GF=2AC，则∠BAG=_____________．

15．已知ax+by=3，ay－bx=5，则（a2+b2）（x2+y2）的值为_____________．

如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，

OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，则

PM的长为_____________．

三、解答题（共5小题，共50分）

17．已知a=2+1，b=2－1，求ab－（abba）的值．（8分）

18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）

19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，

点H在AB上，且∠EHF=90°，求证：CH⊥AB．（10分）

20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、

乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调

出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：

到超市的路程运费

（千米） （元/斤•千米）

甲养殖场

200 0.012

乙养殖场

140 0.015

（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5

分）

（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安

排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）

21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=23x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB

沿直线l92：y=2x－2折叠，使点B落在点C处．

（1）点C的坐标为______________；（3分）

（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的

解析式；（4分）

（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点

E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正

方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（6分）

备用图

八年级B卷答案

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.B 10.D

5.由分式方程2xmn2xpq解得x=npmq2p2q，由原分式方程有解，得n－2x=

npnqnpmqpq≠0．解得m≠n，p=－q．

+BP+CP=BP+AC，当BP⊥AC时，AP+BP+CP的值最小，作AD⊥

BC，AD=52324，SBCADACBP△ABC=22=645BP22，

∴BP=4.8，即AP+BP+CP的最小值为5+4.8=9.8．

7.设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，

可得ab+a（b－a）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，

可得（b－a）2=14a2－3②，将①②联立解方程组可得：a=4，b=5，∴大正方形的边长为5， ∴面积是25．

8.设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4－t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ， 即4－t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4－t），t=83，

∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．

9.如图，CO2=5，CO1=5.5，则O1O2=5.52525.25，

六个碗叠放的总高度是5×5.25+5.5=131.25+5.5，

∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52，

11＜131.25＜11.5，∴16.5＜131.25+5.5＜17，

因此高度至少是17厘米．

10.过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，

∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，

∴∠MCP=∠DPN，∵P（1，1），∴OM=BN=1，PM=1，在△MCP和△NPD中，

CMPDNP，

MCPDPN，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN=PM，PN=CM，

PCPD, ∵BD=2AD，∴设AD=a，BD=2a，∵P（1，1），∴BN=2a－1，则2a－1=1，a=1，即BD=2． ∵直线y=x，∴AB=OB=3，在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=5，在Rt△MCP

中，由勾股定理得：CM=2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y=kx+3，

把D（3，2）代入得：k=－13，即直线CD的解析式是y=－13x+3，

 即y1x3,解得：x94,993yx,9，即Q的坐标是（4，4）．

y4.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.0或－1 12.三 13.－i 14.26° 15.34 16.3

11.∵(m1)2=m+1，∴m+1≥0，即m≥－1，又∵m＜12＜1，∴－1≤m＜1且为整数，

∴m=0或－1．

12.∵实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴一次函数y=ax+c的图象经

过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．

13.根据题意得：i2015=i2014•i＝（i2）1007•i＝－i．

14.如图，取FG的中点E，连接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，

∴EC=12FG=AC， ∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，设

∠BAG=x，则∠F=x，∵∠BAC=78°，∴x+2x=78°，∴x=26°，

∴∠BAG=26°．

15.由题意得，ax+by=3 ①，ay－bx=5②，

①2得a2x2+b2y2+2abxy=9③，②2得a2y2+b2x2－2abxy=25④，

③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=34，a2（x2+y2）+b2（x2+y2）=34，∴ (a2+b2)(x2+y2)=34．

16.作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连P1P2与OA交于点M、与OB交

于点N，连PM、PN，则此时△PMN的周长可取最小值．

∵∠AOB=30°，由对称性可知∠AOP1=∠AOP，∠BOP2=∠BOP，

故∠P1OP2=2∠AOB=60°，又OP1=OP=OP2=6，∴△P1OP2为等边三角形．

易证得△P1OM≌△POM则MP1=MP，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，

则∠3=2x，又OP平分∠AOB，则在等边△P1OP2中OP也为角平分

线，故OP⊥P1P2，∴∠MPO=90°－2x，∠OPP1=75°，

∴90°－2x+x=75°，解得x=15°，∴∠3=30°，在Rt△PMG中，

设PG=m，则PM=2m，MG=3m，∴P1P2=4MG=43m，故43m=6，

m=32，PM=3．

三、解答题（共5小题，共50分）

17.解：∵a=2+1，b=2－1，∴ab=（2+1）（2－1）=1，a－b=2+1－2+1=2，

∴ab－（abba）=1－（abbaba）=1－（1b1a）=1－（abab）=1－（a－

b）=1－2=－1．

18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324．

所以能被45整除．

19.证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC，DF∥CE，

∴四边形CEDF是平行四边形．∵∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形，

得OD=OC=OE=OF．在Rt△EHF中，OH=11EF=OE=OF，∴OH=CD=OC=OD，

22 ∴在△CHD中，∠CHO=∠OCH，∠OHD=∠ODH．

∵∠CHO+∠OCH+∠OHD+∠ODH=180°，

∴∠CHO+∠OHD=90°，即CH⊥AB．

20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，从乙养殖场调运鸡蛋y斤，

2000.012x1400.015y2670，x500, 根据题意得：解得：

y700.xy1200,

图① 图②

∵500＜800，700＜900，∴符合条件．

答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；

（2）从甲养殖场调运了x斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x）斤鸡蛋，

根据题意得：x800,x900,解得：300≤x≤800，

1200 总运费W=200×0.012x+140×0.015×（1200－x）=0.3x+2520，（300≤x≤800），

∵W随x的增大而增大，∴当x=300时，W最小=2610元，

∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．

21.解：（1）（0，3）；

（2）①点D在第一象限时（如图①中点D1），∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，

∴点D的纵坐标为3，当y=3时，－23×x+4=3，解得x=332，∴点D的坐标为（2，3），

∴直线OD的解析式为y=2x；

②点D在第二象限时（如图①中点D2），AC=4－3=1，设点D到y轴的距离为a，则

S△CDB=S△ACD+S△ABC=12×1•a+12×1×6=12a+3，∵△CDB与△CDO面积相等，

∴12a+3=12×3a，解得a=3，∴点D的横坐标为－3，当x=－3时，y=－23×（－3）+4=2+4=6，

∴点D的坐标为（－3，6），∴直线OD的解析式为y=－2x．

（3）如图②，设OD平移后的解析式为y=2x+b，令y=0，则2x+b=0，解得x=－b2，

令x=0，则y=b，所以，OE=b2，OF=b，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于

Q，∵四边形EFMP是正方形，∴易证△MNF≌△FOE≌△EQP，∴MN=OF=EQ，NF=OE=

PQ，∵M（m，3），∴ON=b+b2=3，解得b=2，∴OE=1，OF=2，∴OQ=OE+QE=1+2=3，

∴点M（－2，3），点P（－3，1），故存在点M（－2，3）和点P（－3，1），使四边

形EFMP为正方形．