2024年4月9日发(作者：如何研究高考数学试卷)
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第一部分 名校考研真题
说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题
中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。所选考研真题既注重对基础知识的
掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）
进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第1章 函 数
一、填空题
设
A．0
B．1
（ ）．[浙江大学研]
C．
D．
【答案】B
【解析】
二、解答题
1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。[天津大学研]
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设
确界就是
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证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。
为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，
的极限。
存在。下面证该下
由下确界定义：
（1）对任意的n，有，当然成立，这ε为任意小的正数。
。又因为条件（1），所以（2）对上述任意的ε，存在N，当n>N时，有
成立。
2．设S是非空集合，ξ＝infS，试证明：若ξ∈S，则S中必存在一个严格单调递减的
，使得[北京航空航天大学研]
证明：若ξ＝infS，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在
，使得取，存在，使得。改变n的值，有
依次类推，有
格单调递减的数列，且
而且满足很明显，为一个严
3．设{xy}为所有xy乘积的集合，其中
证明：设
①
，且x≥0及y≥0．证明：
[武汉大学研]
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又
，可取．且使
由，∴存在
由③有
由②，④得证
4．设．[同济大学研]
解：当
当－1≤x＜0时，
当x＜－1时，
5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]
证：
∴取ε＝1，存在N＞0，当
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②
③
④
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内连续．从而有界，即又f（x）在
综上两式知f（x）在R上有界．
6．设
民大学研]
，求f（x）的定义域和f（f（－7））．[中国人
解：由3－x＞0，3－x≠1，49－x
2
≥0，解得
域为
又
，从而f（x）的定义
第2章 序列的极限
1．求下列极限：
（1）．[北京大学研]
．[华中师范大（2）f（x）在[－1，1]上连续，恒不为0，求
学研]
解法1：
①
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由①式及两边夹法则，．
（2）
故
解法2：
f在[－1，1]上连续；因而f（x）有界
2．设数列单调递增趋于
证明：（1）
（2）设
②
证明：，并利用（1），求极限．[中国人民大学研]
证明：（1）（i）先设，由①式，，存在N>0，当n>N时有
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①
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特别取n＝N＋1，N＋2，……
将这些式子统统相加得
此即
③
而
由于以及③式，
（ii）再当时．由①有
④
⑤
下证递增趋于，由④知，．当n>N
1
时，有
⑥
，，即单调递增．由⑥式有
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考研,单调,确界,部分,存在,证明,题库
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