2024年4月4日发(作者：济宁编制面试数学试卷)

毕业论文开题报告

数学与应用数学

级数敛散性判定方法的研究

一、选题的背景、意义

级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在生活中的应用也很广泛，但是在十八

世纪，数学家们不去考虑级数的敛散性，而是不加辨别地使用无穷级数，结果得到了一些完全荒谬

的答案，这也就迫使一些数学家们开始进行对级数敛散性的研究.

从Fourier在他的《热的解析理论》一书中提出了一个无穷级数收敛的满意的定义，到Gauss

对级数的敛散性做出了第一个重要而严密的研究，再到Cauchy给出了第一个关于级数敛散性这一

课题的具有广泛意义的论述，接着到Abel对Cauchy给出的一些理论的完善，以及Weierstrass

关于一致收敛的概念等，都对级数的发展做出了非常巨大的贡献.

级数的敛散性对物理学的研究也有很大的用处，如Laplace的《天体力学》中所用到的级数，

都有利用收敛级数的性质.并且级数作为微积分中的一种重要工具，也为微积分的发展做出了很大

的贡献.

因此，在当今的学科和生活领域中，级数的作用是很值得重视的，并且，很多专家学者仍在潜

心研究级数的敛散性问题，从而，本课题的研究也是很有必要的.

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

本课题拟对级数的敛散性判别法进行研究，旨在通过分析不同类型的级数，得到解决不同类

型级数的敛散性的判别方法.

传统的判断数项级数敛散性的方法有很多，对于正项级数收敛，判断其敛散性的方法有：看

它的部分和数列是否有上界，若有则收敛，没有则发散；或者用比较法；还有D’Alembert判别法；

Cauchy判别法；积分判别法以及Raabe判别法等等.对于一般项级数，判断其敛散性的方法有

Leibniz判别法；Abel判别法；Dirichlet判别法等等.

本课题的研究将在上述结论的基础上，通过阅读相关文献，整理出一些新的方法.

对于正项级数，我们主要将讨论以下方法：

（一） P级数判别法

定理1 设

u

n

为一正项级数，

1

p

为P级数，且

limnu

n

，则

p0



p

n

n

1.当

0

2.当

0



且

p1

时，正项级数

u

n

收敛.



且

0p1

时，正项级数

u

n

发散.

定理

1

2 设

u

n

为一正项级数，

p

n

p0

为P级数，且

limu

n

n

0

，若当

1

n

时，

u

n

O

p

，则当

p1

时，正项级数

u

n

收敛.

n

1



如级数

1cos

可以利用P级数来判断其收敛.

n



（二）Kummer判别法

定理3 设

a

n

0

，

b

n

0

，

c

n

b

n

a

n

b

n1

，且存在某自然数

N

0

及常数

k

，

a

n1

1.当

nN

0

时，有

c

n

k0

，级数

a

n

收敛.

n1

1



，则级数

a

n

发散. 2.当

nN

0

时，有

c

n

0

，且

lim

n

k1

b

k

n1

1

g

2

gLg

2n1

如级数



2

g

4

gLg

2n

n1





s

，当

s1,3

时的收敛性可以利用Kummer判别法的特例

Raabe判别法来得到.

（三）一类正项级数收敛判断的推广

定理

1

4 若

0a

1

a

2

La

n

a

n1

L

，则

n1

a

n

收敛的充要条件是级数


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