高中数学一对一讲义——集合

2024年3月10日发(作者：初一数学试卷小结)

晨光高中数学一对一讲义——《集合》

熊老师

一、本章复习建议：

解不等式是高中数学的主要工具之一，建议将 “不等式”拆开，把不等式的解法安排集合里.

二、知识回顾：

基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用

集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

集合间的交、并、补运算.

元素与集合、集合与集合的关系；

集合的文氏图、数轴法表示的应用.

交：AB{x|xA,且xB}

并：AB{x|xA或xB}

补：C

U

A{xU,且xA}

主要性质和运算律

包含关系：

AA,A,AU,C

U

AU,

AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.

等价关系：

ABABAABBCBU

U

A

集合的运算律：(注意结合“文氏图”)

交换律：

ABBA;ABBA.

结合律:

(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)

分配律:.

A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)

0-1律：

A,AA,UAA,UAU

等幂律：

AAA,AAA.

求补律：A∩

U

A=φ A∪

U

A=U 

U

U=φ 

U

φ=U 

U

(

U

A)=A

反演律：

U

(A∩B)= (

U

A)∪(

U

B) 

U

(A∪B)= (

U

A)∩(

U

B)

有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.

基本公式：（1、2、3、5了解；4要记住）

(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)

(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)

card(AB)card(BC)card(C

card(ABC)

(3) card(

U

A)= card(U)- card(A)

（4）设有限集合A, card(A)=n,则

(ⅰ)A的子集个数为

2

；

n

A)

(ⅱ)A的真子集个数为

21

；

n

n

(ⅲ)A的非空子集个数为

21

；(ⅳ)A的非空真子集个数为

22

.

（5）设有限集合A、B、C， card(A)=n，card(B)=m,m

nm

(ⅰ) 若

BCA

,则C的个数为

2

；

n

nm

1

； (ⅱ) 若

BCA

,则C的个数为

2

nm

1

； (ⅲ) 若

BCA

,则C的个数为

2

nm

2

. (ⅳ) 若

BCA

,则C的个数为

2

不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若

ab,cd

，则

acbd

（若

ab,cd

，则

acbd

），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相

乘：若

ab0,cd0

，则

acbd

（若

ab0,0cd

，则

ab



）；

cd

nn

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若

ab0

，则

ab

或

n

a

n

b

；

1111

4．若

ab0

，

ab

，则



；若

ab0

，

ab

，则



。如

ab

ab

对于实数

a,b,c

中，给出下列命题：

①

若ab,则acbc

； ②

若acbc,则ab

；

22

③

若ab0,则aabb

； ④

若ab0,则

2222

11



；

ab

ba



； ⑥

若ab0,则ab

；

ab

11

ab



⑦

若cab0,则

； ⑧

若ab,

，则

a0,b0

。

ab

cacb

⑤

若ab0,则

其中正确的命题是______

不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；