南京大学数学系试卷-流形与几何

.....................线.....................订.....................装.....................南京大学数学系试卷共4页第1页2005/2006学年第二学期课程名称流形与几何试卷类型A卷考试形式开卷使用班级硕士及博士研究生命题人梅加强考试时间2006年6月20日题号一二三四五六七八九十总分阅卷人得分说明：1.请将班级、学号、姓名写在试卷左侧装订线外。2.本试卷共8题,满分100分,考试时间150分钟。1.叙述微分流形的定义并举一个非平凡的例子.（10分）2.叙述微分流形余切丛的定义并给出其局部平凡化和连接函数.（15分）学号姓名班级南京大学数学系试卷共4页第2页3.记O(2,1)={A∈M3×3|AI2,1AT=I2,1},这里M3×3是3阶实方阵全体,I2,1是对角矩阵diag{1,1,−1}.(i)证明O(2,1)是3维李群;(ii)证明O(2,1)有4个连通分支.（20分）4.考虑映射π:SO(n)→Sn−1,π把正交方阵A映为A的最后一列.证明,(SO(n),Sn−1,π)为纤维丛,其纤维和结构群均为SO(n−1).（15分）5.设M为紧流形,p,q为M上两个不同的点.分别给定p处的切向量Xp及q处南京大学数学系试卷共4页第3页切向量Xq.证明(i)存在连接p,q的光滑曲线σ,使得σ˙(0)=Xp,σ˙(1)=Xq;(ii)存在M上的光滑向量场X,使得X(p)=Xp,X(q)=Xq;(iii)存在微分同胚φ:M→M,使得φ(p)=q.（10分）6.设A为n阶实方阵,把它视为如下线性映射：A:Rn→Rn,x→A·x,这里x=(x1,x2,···,xn)T看成列向量.证明A∗(dx1∧dx2∧···∧xn)=(detA)dx1∧dx2∧···∧xn（10分）南京大学数学系试卷共4页第4页7.证明任何微分流形上都存在黎曼度量.（10分）8.在上半欧氏空间Hn={(x1,x2,...,xn)∈Rn:xn>0}上定义黎曼度量为n1