2023年12月9日发(作者：山东出版的高一数学试卷)

九年级数学培优竞赛辅导讲座第3讲知识纵横充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．例题求解例1.已知、是方程x2x10的两个实数根，则代数式2(22)的值为．（绍兴市竞赛题）思路点拨所求代数式为、2的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。例2.如果方程(x1)(x2xm)0的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是()B．m（全国初中数学联赛题）A．0m134C．3m14D．3m14思路点拨设方程的根分别为1、x1,x2，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。例3.设x1、x2是方程2x24mx2m23m20的两个实数根，当m为何值时，x12x22有最小值?并求出这个最小值．进行的．（第16届江苏省竞赛题）思路点拨利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．1九年级数学培优竞赛辅导讲座[充满活力的韦达定理]学历训练1．已知方程x2pxq0的两根均为正整数，且pq28，那么这个方程两根为．（“祖冲之杯”邀请赛）2．已知整数p,q满足pq2010,且关于x的一元二次方程67xpxq0的两个根均为正整数，则p=．(“新知杯”上海市竞赛题)23.△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x212xm0的两根，则m的取值范围是．（四川省竞赛题）4.对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x(n2)x2n0的两根记为22111an,bn(n2),则.....________.（a22）(b22)(a32)(b32)(a20072)(b20072)（全国初中数学联赛题）5.设x1,x2是方程xx40的两个实数根，则x15x210的值为（A．-29B．-19C．-15D．-9232）（第21届江苏省竞赛题）6.若方程xpxq0的一个根大于1，另一个根小于1，则pq的值为(A.不大于1B.大于1C.小于1D.不小于12)（2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）7.若ab1，且有5a2001a90及9b2001b50,则22a的值为（b）A．95B．59C．20015D．20019（全国初中数学联赛题）28.设a，b为整数，并且一元二次方程x+（2a+b+3）x+（a+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么以α，β为根的整系数一元二次方程是（）22A．2x+7x+6=0B．2x+x-6=022C．x+4x+4=0D．x+（a+b）x+ab=0（2011年江西省竞赛题）222九年级数学培优竞赛辅导讲座9.设x1x2时关于x的一元二次方程xaxa2的两个实数根，求(x12x2)(x22x1)的最大值。（全国初中数学竞赛题）210.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x+（3a-1）x+2a-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．求实数a的所有可能值．（2011四川省竞赛题）2211.已知关于x的一元二次方程xcxa0的两个整数根恰好比方程xaxb0的两个根都大1，求abc的值。（2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题）223九年级数学培优竞赛辅导讲座4


更多推荐

定理,数学,竞赛题,利用