幂指函数型不定式计算中学生应掌握的一个结论_图文

2024年3月18日发(作者：数学试卷如何1分写完的)

第１７卷第２期　

天津职业院校联合学报　

Ｎｏ．２　Ｖｏ１．１７　

２０１５年２月　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｉａｎｊ　ｉｎ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｓ　

Ｆｅｂ．２０１５　

幂指函数型不定式　

计算中学生应掌握的一个结论　

石德刚，董春芳　

（天津冶金职业技术学院，天津　３００４００）　

摘要：　确定幂指函数型不定式是研讨函数极限问题时经常遇到的问题，现今高等数学教材和参考书中对这　

一

问题的处理，大都介绍先取对数再使用洛必达法则法计算幂指函数型不定式。但是由于幂指函数往往是由复合函　

数构成的，以至于幂指函数取对数后比较复杂，进而致使运用洛必达法则后所得的表达式更为复杂，从而导致学生计　

算幂指函数型不定式时经常出错．针对这一问题，笔者在三十多年的教学研究中，总结了一个在幂指函数型不定式的　

计算中起着重要作用的结论，奉献给读者并与读者分享。　

关键词：　幂指函数；不定式；极限；取对数；洛必达法则　

中图分类号：Ｏ１３　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—５８２Ｘ（２０１５）Ｏ２—００９７—０３　

一

、

用取对数法统一处理０。型、Ｏ０。型、１　型不定式　

设函数，（ｚ）＞０，则函数Ｉｆ（ｘ）］　一ｅｇ（Ｘ）Ｉｎｆ（　．　

（１）若极限ｌｉａｒ　Ｉｆ（ｘ）］　曲为０。型不定式，则极限ｌｉｍ［ｇ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）］是０・。。型不定式；　

（２）若极限ｌｉｍ［厂（ｚ）］　为∞。型不定式，则极限ｌｉｍ［ｇ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）］是０・ｏ。型不定式；　

（３）若极限ｌｉａｒ［厂（ｚ）］　为ｌ　型不定式，则极限ｌｉｍ［ｇ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）］是∞・０型不定式．　

因此，求幂指函数型不定式的极限ｌｉａｒ［，（ｚ）］“　时，可以先求其自然对数的极限ｌｉｍＥｇ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）］　

（０・ｏｏ型不定式）．在求出极限ｌｉｍＥｇ（ｘ）ｌｎｆ（ｘ）］的值后，再用求复合函数极限的定理与指数函数的连续　

性，即可求得极限ｌｉａｒ［厂（ｚ）］　的值，即ｌｉａｒ　Ｅｆ（ｘ）］　一ｌｉｍｅｇ（ｘ）ｌｎｆ（　一ｅｌｉｍ［　］．　

二、用等价无穷小或等价无穷大与取对数法统一处理０。型、∞。型、１　型不定式　

ｒ，　、　

定义１设函数，（　）与ｇ（ｚ）在ｚ的同一变化过程中都是无穷大．若ｌｉｍ　一１，则称函数厂（ｚ）与　

ｇ　．ｚ　

ｇ（ｚ）是等价无穷大，记作厂（　）～ｇ（　）．　．　

因为无穷大的倒数是无穷小。所以等价无穷大具有与等价无穷小替换法则完全类似的等价无穷大替　

换法则．　

引理１（１）ｌｉａｒｚ　一１（ａ＞Ｏ）；　

一十∞　

（２）ｌｉｍｘ　一１（ａ＞Ｏ）；　

Ｔ一０　

（３）设，（ｚ）与ｆｌ（ｚ）是正值可导函数．若厂（ｚ）与ｆｌ（ｚ）是　的同一变化过程中的等价无穷小或等价　

无穷大，则ｌｎｆ（ｘ）～ｌｎｆ　（　）．　

证（１）ｌｉｍｚ｛＿一　÷　ｎｚ—ｅ２ｍ．妄一ｅ￣２ｍ．　一　一１（ａ＞Ｏ）；　

一　一　

（２）ｌｉａｒ一一出　一出生一ｅ　｝一出眚一ｅ。一１（ａ＞Ｏ）；　

一０’　

收稿日期：２０１４—１１—１１　

作者简介：石德刚（１９６０一），男，天津冶金职业技术学院副教授，数学教研室主任，大学本科、主要研究方向：　

高等数学教学研究；董春芳（１９８２一），女，天津冶金职业技术学院讲师，硕士研究生，主要研究方　

向：高等数学教学研究。　

・

９７・　

（３）因为＿厂（　）与，　（ｚ）是ｚ的同一变化过程中的等价无穷小或等价无穷大，所以　或　

是百０型或詈型不定式．因此由洛必达法则得ｌｉｍ　

ｍ　１ｉｍ　

：ｌｉｍ　

一１＇目　

一１，进而由洛必达法则得　

）～ｌｎ　ｚ）　

定理１（１）０。型极限计算公式：若极限ｌｉｍＩｆ（ｘ）］　为０。型不定式，且＿，（ｚ）～ｆ　（ｚ）、ｇ（　）～ｇ　（　）　

，

贝４　ｌｉａ［＿ｒ厂（ｚ）］　一ｌｉａｒ　Ｉｆ１（ｚ）］　

＝ｌｉａ［ｆ】（ｚ）ｒ　

㈤一㈤　

’；　

；　

（２）。。。型极限计算公式：若极限ｌｉｍ［＿厂（　）］“　为ｏ。。型不定式，且　（　）～　（　）、ｇ（ｚ）～ｇ　（　），则　

ｌｉｍ［厂（　）］　

（３）１　型极限计算公式：若极限ｌｉａｒ　Ｉｆ（ｘ）］　为ｌ　型不定式，则ｌｉａｒ　Ｉｆ（ｘ）］　一　“　“　“　．　

证（１）（（２）的证明完全类似）由＿厂（　）～ｆ　（ｚ）、ｇ（ｚ）～ｇ　（－ｚ）与等价无穷小替换法则及引理１（３）得　

ｌｉａ［，（Ｉｒｚ）］　一ｇ“　”　一ｅｌｉｍ［ｇ￣（ｘ　ｉｎ＾　：ｌｉａ　ｒＩｆｌ（－ｚ）　．　

（３）因为［－厂（－ｚ）　一８“圳　，ｌｎｆ（ｘ）一ｌｎ［１＋＿厂（ｚ）一１］，且在－ｚ的同一变化过程中，厂（－ｚ）一１与　

．　ｌｎ［－１＋，（ｚ）一１］是等价无穷小，所以ｌｉａ［－ｒ厂（　）］　一ｅ“　“”ｎ，　＝８“　Ⅱ　

例１求函数极限ｌｉｍ（ａｒｃｓｉｎｘ）　。　．　

一０　

解这是０。型不定式．由当ｚ一０。　时，ａｒｃｓｉｎｘ～　、ａｒｃｔａｎ　

ｌｉａ（ａｒｃｓｉｎ　）一ｔｒａ　

一０　

～　＝ｚ÷和０。型极限计算公式得　

＝１ｉｍ－ｚ　

—０　

一１．　

例２求函数极限ｌｉａ（１一ｃｏｓｘ）…．ｒ　

解这是０。型不定式．由当ｚ一０时，ｓｉｎｘ～　、１一ＣＯＳＸ～妻　。和０。型极限计算公式得　

ｌｉｒａ（１一ｃｏｓｚ）　一ｌｉｍ（—　１　

ｚ　）　一ｅｌ　ｉｒｒ￣　ｎ÷　—Ｐ　一ｅ　圭一ｅ－２ｌ　ｉｍ。ａ—ｅ。一１

．　

例３求函数极限ｌｉａ（ｒ　＋ｖ厂　Ｆ　）　．　

解这是。。。型不定式．由　±　＋　厶Ｚ　一÷　（二ｚ一＋　１＋√１＋　）一　一１，知当ｚ－＋＋ｏｏｔ￣，，　＋ｖ厂可　

～

２ｚ，进而由ｏ０ｏ型极限计算公式得ｌｉｍ（　十　

例４求函数极限ｌｉａ（ｃｏｔｒｘ）　．　

ｒ＋＿　１

Ｆ　）　一ｌｉｍ（２　）　一ｌｉｍ２士．１ｉｍｘ￣一１．　

解这是Ｏ０。型不定式．由ｌｉｍ　ｃｏｔｘ—ｌｉａ　ｒ

一（）　上　一（）　ｔａｎ　

—ｌｉｍ三一ｌ，知当ｚ一０＋时，ｃｏｔｚ～　

，一０　Ｚ　Ｚ　

，进而由（３０　ｏ型　

极限计算公式得Ｉｉｍ（ｃｏｔ　）　一Ｉｉｍ（　）　一ｅ　亡　÷一ｅ　

例５求函数极限ｌｉｍ（一１＋Ｐ÷）．　

解这是１　型不定式，由１　型极限计算公式得　

一Ｐ～．　

ｌｉｒａ（—　＋ｅ＝　－）　一Ｐ　（÷＋广一１）一　１＋　ｔ　ｚ（　一一１）：　ｌ＋１）ｎ２　÷一　２

．　

例６求函数极限ｌｉａ（ｒ　＋、／，　Ｆ　）　．　

解这是１　型不定式，由１　型极限计算公式得　

ｌｉａ（ｚ＋、ｒ　＿二Ｆ—　）士一ｇ　＿＿１）一ｅ　巧ｐ一８　等一ｅ。一１

．　

由例１一例６可以看出，计算幂指函数型不定式时，用本文给出的定理１，虽然可以极大地简化运用洛　

必达法则所带来的求导运算，甚至可以避免运用洛必达法则．但是也必须注意，对某些情形，也只能用取对　

・９８　・　

数法计算幂指函数型不定式．　

例７求函数极限ｌｉａ（１ｒｎｘ）　．　

一—　∞　

解这是ＯＯ。型不定式，由取对数法得　ｌｉｍ（１ｎｚ）÷一　÷ｌｎ（　＝　１２ｍ　一Ｐ。＝１　

一＋∞　

例８求函数极限ｌｉｍｘ　一．　

ｚ一０　

解本题是由０。型不定式构成的０。型不定式，由取对数法得　

ｌｉｍ　…州一１＝ｅ—ｌｉａｒ［ｚ　一１Ｊｉｎｘ：：：　

—Ｏ　

㈦～堋ｉ］Ｉ　：已一ｌｉｍｌｎ（　＋　・ｌ　眦＝￡　ｚ　ｎ　ｚ　

：ｅ　山　ｚ—　辛：Ｐ　＝　哗＝出盛一　：１

．　

例９求函数极限ｌｉｍ［　

一０　ｅ　

］÷　

解本题是由１　型不定式构成的　

１　型不定式，由取对数法得．　

ｌｉｍ［　

４Ｏ　ｅ　

＝　

］　：ｌｉｍ［　

—Ｏ　

］　＝ｌｉｍ［　ｌｎ（　一　］÷＝ＰｌｉｍＥ÷　“…］　

Ｐｌｉｍ

￣　

＊　。

÷・［÷１ｎ（１＋　）１］＝　÷妇‘＝

疵　

一　

‘＝

已

÷　

参考文献：　

［１］冯翠莲．微积分学习辅导与解题方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　

［２］徐小湛．高等数学学习手册［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．　

Ｅ３３同济大学数学系．高等数学（第六版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．　

ｒ４］毛纲源．高等数学解题方法技巧归纳（第２版）［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２０１０．　

Ｅ５－１陈文灯．高等数学复习指导：思路、方法与技巧（第２版）［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１１　

Ａ　Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ　Ｓｃｈｏｏｌ　Ｓｔｕｄｅｎｔｓ　

Ｓｈｏｕｌｄ　Ｍａｓｔｅｒ　ｆｏｒ　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｐｏｗｅｒ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｉｎｆｉｎｉｔｉｖｅ　

ＳＨＩ　Ｄｅ—ｇａｎｇ，ＤＯＮＧ　Ｃｈｕｎ—ｆａｎｇ　

（Ｔｉ口ｎｊｉｎ　Ｍｅｔａｌｌｕｒｇｉｃａｌ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔｉａｎｊｉｎ，３００４００）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｗｅ　ｏｆｔｅｎ　ｈａｖｅ　ｔｏ　ｍａｋｅ　ｓｕｒｅ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｆｉｎｉｔｉｖｅ　ｗｈｅｎ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ　ｌｉｍｉｔ　ｏｆ　ｆｕｎｃ‘　

ｔｉｏｎ．Ｔ０　ｓｏ１ｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｍｏｓｔ　ａｄｖａｎｃｅｄ　ｍａｔｈ　ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ　ａｎｄ　ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ　ｂｏｏｋｓ　ｇｕｉｄｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｔｏ　ｔａｋｅ　ｔｈｅ　

ｅ　ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｆｉｎｉｔｉｖｅ　Ｈｏｗｅｖｅｒ

ｌｏ　．　

ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｕｓｅ　Ｌ　Ｈｏｓｐｉｔａｌ

’　

　

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・　＇　０　

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ｙ　ｃｏｍｐｒｉｓｅｄ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｔ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ａｆｔｅｒ　ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｏｇ‘　

，

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ａｒｉｔｈｍ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｇａｉｎｅｄ　ａｆｔｅｒ　ｕｓａｇｅ　ｏｆ　Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ’ｓ　ｒｕｌｅ　ｗｉｌｌ　ｂｅ　ｍｏｒｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ－Ａｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ，　

ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｏｆ　ｅｎ　ｍａｋｅ　ｍｉｓｔａｋｅｓ　ｗｈｅｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｆｉｎｉｔｉｖｅ．Ｔｏ　ａｄｄｒｅｓｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ＇ｔｈｅ　

ａｕｔｈ０ｒ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ　ａ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｗｉｌｌ　ｐｌａｙ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎｔｉｎ　。　

ｔｉｒｅ　ｔＯ　ｓｈａｒｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅａｄｅｒｓ　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｆｉｎｉｔｉｖｅ；ｌｉｍｉｔ；ｔａｋｅ　ｔｈｅ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍ；Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ’ｓ　ｒｕｌｅ　

・

９９・