2024年4月6日发(作者：五下房山数学试卷)

第2课时 一元二次方程的解及其估算

1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点)

2．会用“夹逼法〞估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)

一、情景导入

在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的解

以下哪些数是方程x

2

－6x＋8＝0的根？

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.

解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x

2

－6x＋8＝0中，发现当

x＝2和x＝4时，方程x

2

－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x

2

－6x＋8＝0的根．

解：2，4是方程x

2

－6x＋8＝0的根．

方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也

叫一元二次方程的根．

(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分

别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，假设相等，那么这个数是一元

二次方程的根；假设不相等，那么这个数不是一元二次方程的根．

探究点二：估算一元二次方程的近似解

请求出一元二次方程x

2

－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．

解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确

定出x的近似正数根．

解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…

x

x

2

－2x－1

0

－1

1

－2

2

－1

3

2

…

…

由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x

2

－2x－1＜2；

(2)继续列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…

x

x

2

－2x－1

…

…

由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x

2

－2x－1＜0.25；

(3)取x＝2.45，那么x

2

－2x－1≈0.1025.

∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.

方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用

未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax

2

＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计

算ax

2

＋bx＋c的值，在表中找到使ax

2

＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后

再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．

(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax

2

＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正

时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax

2

＋bx＋c＝0成立的x的

值，即方程的根．

三、板书设计

一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法〞：

(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；

(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼〞，逐步获得其近似解．

“估算〞在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹

逼〞的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作

交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.

第4课时

教学内容

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，

-y〕及其运用．

教学目标

理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对

称点为P′〔-x，-y〕的运用．

复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

重难点、关键

1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称

点P′〔-x，-y〕及其运用．

2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决

实际问题．

教具、学具准备

小黑板、三角尺

教学过程

一、复习引入

〔学生活动〕请同学们完成下面三题．

1．点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．

2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后

的图形．

3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．

老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕

二、探索新知

〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A〔-3，1〕、B〔-4，0〕、C〔0，

3〕、•D〔2，2〕、E〔3，-3〕、F〔-2，-2〕，作出A、B、C、D、E、F

点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：

这些坐标与点的坐标有什么关系？

老师点评：画法：〔1〕连结AO并延长AO

〔2〕在射线AO上截取OA′=OA

〔3〕过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．

∵△AD′O与△A′D″O全等

∴AD′=A′D″，OA=OA′

∴A′〔3，-1〕


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