手工开根号原理及其步骤

2024年4月14日发(作者：厦门集美初中数学试卷)

开根号原理：

这里以1156为例，1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观

察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所

满足的关系式来进行分析．根据两数和的平方公式，可以得到1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a

＋a^2，所以1156-302＝2×30a＋a^2，即256=(3×20+a)a，这就是说，a是这样一个正整数，

它与3×20的和，再乘以它本身，等于256．为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：

根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，

与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得

到1156＝34^2，上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数

的算术平方根。

开根号步骤：

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开(竖式中的11’56)，

分成几段，表示所求平方根是几位数，小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的

精度+1为准；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数

(竖式中的256)；4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试

商(3×20除256，所得的最大整数是4，即试商是4)；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商

就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=

256，说明试商4就是平方根的第二位数)；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的

具有任意精确度的近似值．我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经

典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记

载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世

界上是遥遥领先的．

下面再举两个例子：