2024年4月16日发(作者：南京初一数学试卷推荐)

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例 利用二重积分的性质，估计积分

2222

(x2yxy)d



D

的值，其中

D

为半圆形区域

xy4,y0

．

解 我们先求函数

f(x,y)x2yxy

在区域

D{(x,y)x

2

y

2

4,y0}

上的最大值和

最小值．

2222

22

f

x

2x2xy

2

0,

由

解得

D

内驻点为

(2,1)

，

f(2,1)2

．

2

f4y2xy0,

y

在边界

L

1

:y0

(2x2)

上，

g(x)f(x,0)x

在

L

1

上

f(x,y)

的最大值为

4

，

最小值为

0

．

22

在边界

L

2

:xy4

(y0)

上，

2

h(x)f(x,4x

2

)x

4

5x

2

8(2x2)

3

由

h

(x)4x10x0

得驻点

x

1

0,x

2



55

,x

3

，

h(0)f(0,2)8

．

22

h(

5537

)f(,)

．

2224

综上，

f(x,y)

在

D

上的最大值为

8

，最小值为

0

．又

D

的面积为

2

，所以由二重积分的

估值性质知

02



(x

2

2y

2

x

2

y

2

)d

82

，

D

即

0



(x

2

2y

2

x

2

y

2

)d

16

．

D

例 设

D

为xoy平面上以

(1,1),(1,1),(1,1)

为顶点的三角形区域，

D

1

为

D

在第一象限的

部分，则



(xycosxsiny)dxdy(

D

D

1

)

．

（A）

2



cosxsinydxdy

（B）

2



xydxdy

D

1

（C）

4



(xycosxsiny)dxdy

（D）

0

D

1

解 区域D如图所示，并记

D

0

为以

(1,1),(1,1),(0,0)

为顶点的三角

.

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形区域，则

D

0

关于

y

轴对称，且

D

1

为

D

0

在

y

轴右侧的部分区域，区域

DD

0

关于

x

轴对

称．

又

xy

关于

x

和

y

均为奇函数；而

cosxsiny

关于

x

为偶函数．关于

y

为奇函数，由二

重积分的奇偶对称性得



xydxdy0,



D

0

D

0

D

1

DD

0

xydxdy0

，故



xydxdy0

；

D



cosxsinydxdy2



cosxsinydxdy,



故

cosxsinydxdy0

，

DD

0



cosxsinydxdy2



cosxsinydxdy

．

DD

1

所以



(xycosxsiny)dxdy



xydxdy



cosxsinydxdy2



cosxsinydxdy

．

DDDD

1

因此我们选（A）．

例 设区域

D{(x,y)x

2

y

2

4,x0,y0}

，

f(x)

为

D

上的正值连续函数，

a,b

为

常数，则



D

af(x)bf(y)

f(x)f(y)

d

．

解 由题意知，

D

关于直线

yx

对称，由二重积分轮换对称性得



D

af(x)bf(y)

f(x)f(y)

d



D

af(y)bf(x)

f(y)f(x)

d

af(x)bf(y)af(y)bf(x)

1

[]d



2

D

f(x)f(y)f(y)f(x)

1abab1ab

2

(ab)d

d

π2π

．



2

D

2

D

242

因此，我们应填“

例 计算二次积分

ab

”

π

．

2

2

2

0

dx

x

siny

dy

y

解 积分区域如图，则

原式

2

0

dy

y

0

2



2

siny

dx

sinydy

sinydy

sinydy

00

y

.


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区域,性质,轮换,对称性