高等数学上册典型例题精选集合

2024年4月16日发(作者：五三数学试卷高中必修一)

最新高等数学上册典型例题精选集合

第一章函数

例

1

求函数

/(x)

亦

+1

的定义域。

| X

| +兀—

1

解:

2x>0

,解之得5呜，即定义域为:

| x|

+兀一

1

工

0

[0

丄

)5

：

,+oo)

。

2 2

例

2

已知于(兀),求于[/(兀)]的定义域。

1 + X

解：由

W

右，得心讣世

故所求定义域为兀

H —1,

兀

H -2

的全体实数。

例

3

求函数

y = ln

吐竺的定义域°

1 x + l

------ =■ 二,

1 X + 2

1 + - ----

1 + x

a-bx

解：解不等式凹£ >

0,

当°,〃同号时吐工>

0

的解为|

x<^

a-bx a-bx

当

a\"

异号时兰丈竺〉

0

的解为|

x |<-£

・

b

a-bx b

故所求的定义域为:

|x|<|y|.

b

例

4

设

f (x) = x, g(x) = y[x^

,问

f(x)

和

g(x)

是否表示同一函数？

解：值域不同。当

xvO

时，对应规律不同，故为不同的函数。

Y~ —

1

一

例

5

设

/(x) = ----------

，

g(x) = x + 1

，

问

f(x)

和

g(x)

是否表示同一函数？

x-

解：定义域不同，故表示不同的函数。

例

6

证明；若函数丿=

/(x),(-oo,-|-oo)

的图形关于直线

x=a

和

x

二

b (b>a)

对称，则

f(x)

为周期函数。

证明：由于函数

y

二

f(x)

关于直线

x=a

对称，因此，对于任意的

x

皆有

/(兀)=

fa

+ S 一

x)l = f(2a

一 兀)，

又函数

y

二

f(X

)

关于直线

X=b

对称，因此有

f(2a-x) = f[h + (/? - 2^z + x)] = /([x+ 2(b - a)],

可知，对于任意的

x

皆有

/(x) = /fx + 2(Z>-a)],B

卩

f(x)

是以

2(b

・

a)

为周 期

的函数。

例

7

设

f(x)

是以正数

G

为周期的周期函数，且已知当

0 vxSa

时，

f(x) = x

试

求周期函数

/

(

X

)

.

解：设兀=

u + na,

其中

u w (O,aJ,xe (na,(w4-l)a],(n = 0,±1,±2,…

)

由周期函数的定义得

/(x) = /(u),u = x-na,

且/(«) = 于是得

/(x) = (x-

(〃

0,(

川 +

1

)

4],(

川

=0,±1,±2,…

)

例

8

已知定义在

[0,4]

上的函数/(兀)=

3\",

先把它延拓到卜

4,0],

使它成为 偶函

数，然后再把已延拓到卜

4,4]

上的函数延拓到整个实数轴上，使其成为 以

8

位周期的函数。

解：由题设，由偶函数的定义，延拓到卜

4,4]

上的偶函数是

3

一\'

g(x-8k),ke Z,

知, 其次,因周期是&故由条件

g(x) =

g

(

x) =

3

X

0

当

8*

即

OS

兀一

8E5 4

时有

h(x) = g(x - 8k) = 3

x

~

sk

,

而当

8k-4

即一

4

时有

h(x) = g(x-8k) = 3~

(x

-

8k)

,