2024年4月16日发(作者：河南濮阳中考一模数学试卷)
弧长及扇形面积
第一部分 知识梳理
（一）、圆的弧长及扇形面积公式
在半径为
R
的圆中,
n
°的圆心角所对的弧长为
C
1
,以
n
°为圆心角的扇形面积为
S
1
n
R
2
n
R1
弧长公式 ： 弧长
C
1
＝
扇形面积公式：
S
1
＝＝
C
1
R
360
1802
注意：计算不规则图形的面积时，要转化成规则图形的面积进行计算。
（二）、圆锥的侧面积：
注意：圆锥的侧面展开图是一个扇形
其中：（1）
h
是圆锥的高,
r
是底面半径；
（2）
l
是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的半径R；
（3）圆锥的侧面展开图是半径等于
l
,弧长等于圆锥底面 周长C 的扇形.
n
R
即： ①
l
=R ②=2πr ③h
2
+r
2
=
l
2
180
圆锥的侧面积 S
侧面积
＝ πrl
圆锥的全面积 S
全面积
＝ πrl＋πr
2
第二部分 中考链接
一、有关弧长计算
（一）、选择题
1
、（
2018•
淄博）如图，⊙
O
的直径
AB=6
，若∠
BAC=50°
，则劣弧
AC
的长为（ ）
8
3
4
A
、
2
π
B.
3
C
4
D.
3
1题图
2
长为（ ）
A
．
3
2题图 3题图 4题图 5题图
的
2
、（
2018•
黄石）如图，
AB
是⊙
O
的直径，点
D
为⊙
O
上一点，且∠
ABD=30°
，
BO=4
，则
4
8
B
．
3
C
．
2π D
．
3
3
、（
2018•
沈阳）如图，正方形
ABCD
内接于
O
，
AB=2
A
．
π B
．
π C
．
2π D
．
π
，则的长是（ ）
4
、（
2018•
陵城区二模）一块等边三角形的木板，边长为
1
，现将木板沿水平线翻滚（如图），
那么
B
点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A
．
B
．
C
．
4 D
．
2
+
5
、（
2018•
明光市二模）如图，
AB
与⊙
O
相切于点
B
，
OA=2
，∠
OAB=30°
，弦
BC
∥
OA
，则劣弧
的长是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
1
6、（2019青岛）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，
则的长度为（ ）A．π B．2π C．2π D．4π
6题图 7题图 8题图
7、（2019烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为
点D，E，连接AC，BC，若AD＝
A． B．π C．π
，CE＝3，则
D．π
恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则
C．2π D．3π
的长为（ ）
的长为（ ）
8、（2019泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，
A．π B．π
（二）、填空题
1
、（
2018•
潍坊）如图，点
A
1
的坐标为（
2
，
0
），过点
A
1
作
x
轴的垂线交直线
l
：
y=x
于
点
B
1
，以原点
O
为圆心，
OB
1
的长为半径画弧交
x
轴正半轴于点
A
2
；再过点
A
2
作
x
轴的垂线交
直线
l
于点
B
2
，以原点
O
为圆心，以
OB
2
的长为半径画弧交
x
轴正半轴于点
A
3
；
…
．按此作法进
行下去，则的长是
．．
1题图 3题图 4题图
5题图 8题图
2
、（
2018•
连云港）一个扇形的圆心角是
120°
．它的半径是
3cm
．则扇形的弧长为
cm
．
3
、（
2018•
永州）如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
（
1
，
1
），以点
O
为旋转中心，将点
A
逆时针旋转到点
B
的位置，则的长为
．
4
、（
2018•
盐城）如图，图
1
是由若干个相同的图形（图
2
）组成的美丽图案的一部分，图
2
中，图形的相关数据：半径
OA=2cm
，∠
AOB=120°
．则图
2
的周长为
cm
（结果保留
π
）．
5、（2018常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，
2
的长是，则⊙O的半径
是 ．
6
、（
2018•
温州）已知扇形的弧长为
2π
，圆心角为
60°
，则它的半径为
．．
7
、（
2018•
白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间
作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为
a
，则勒洛三
角形的周长为
．
8．（2019泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.
若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
（三）、解答题
1
．（
2018•
湖州）如图，已知
AB
是⊙
O
的直径，
C
，
D
是⊙
O
上的点，
OC
∥
BD
，交
AD
于点
E
，
连结
BC
．
（
1
）求证：
AE=ED
；（
2
）若
AB=10
，∠
CBD=36°
，求的长．
二、、有关扇形面积计算
（一）、选择题
1
、（
2018•
德州）如图，从一块直径为
2m
的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
90°
的扇形，则此扇
形的面积为（ ）
A
．
2
B
．
C
．
πm
2
D
．
2πm
2
1题图 2题图
3题图
4题图
2
、（
2018•
广安）如图，已知⊙
O
的半径是
2
，点
A
、
B
、
C
在⊙
O
上，若四边形
OABC
为菱形，
则图中阴影部分面积为（ ）
A
．
π
﹣
2 B
．
π
﹣
C
．
π
﹣
2 D
．
π
﹣
3
、（
2018•
成都）如图，在
▱ABCD
中，∠
B=60°
，⊙
C
的半径为
3
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A
．
π B
．
2π C
．
3π D
．
6π
4
、（
2018•
绵阳）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积
为
25πm
2
，圆柱高为
3m
，圆锥高为
2m
的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）
A
．（
30
+
5
）
πm
2
B
．
40πm
2
C
．（
30
+
5
3
）
πm
2
D
．
55πm
2
5
．（
2018•
十堰）如图，扇形
OAB
中，∠
AOB=100°
，
OA=12
，
C
是
OB
的中点，
CD
⊥
OB
交
点
D
，以
OC
为半径的
A
．
12π
+
18
交
OA
于点
E
，则图中阴影部分的面积是（ ）
C
．
6 D
．
6
于
B
．
12π
+
36
6
、（
2018•
山西）如图，正方形
ABCD
内接于⊙
O
，⊙
O
的半径为
2
，以点
A
为圆心，以
AC
长为
半径画弧交
AB
的延长线于点
E
，交
AD
的延长线于点
F
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A
．
4π
﹣
4 B
．
4π
﹣
8 C
．
8π
﹣
4 D
．
8π
﹣
8
5
题图
6
题图
7
题图
8
题图
7
、（
2018•
广西）如图，分别以等边三角形
ABC
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到
的封闭图形是莱洛三角形，若
AB=2
，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A
．
B
．
C
．
2 D
．
2
8
、（
2018•
威海）如图，在正方形
ABCD
中，
AB=12
，点
E
为
BC
的中点，以
CD
为直径作半圆
CFD
，点
F
为半圆的中点，连接
AF
，
EF
，图中阴影部分的面积是（ ）
A
．
18
+
36π B
．
24
+
18π C
．
18
+
18π D
．
12
+
18π
9题图 10题图 11题图 12题图 13题图
9、（2019枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，
则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）A．8﹣π
10、（2019临沂）如图，⊙O中，
A．2+π B．2+
＝
+π
B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣
1
π
2
，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（ ）
C．4+π D．2+π
11、（2019宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外
接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
4
A．6
3
﹣π B．6
3
﹣2π C．6
3
+π D．6
3
+2π
12. （2019四川南充）如图，在半径为6的⊙
O
中，点A，B，C都在⊙
O
上，四边形OABC是平行四边形，则
图中阴影部分的面积为（ ）A. 6π B.
33
π C.
23
π D. 2π
13.（2019四川资阳） 如图，直径为2
cm
的圆在直线
l
上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ）
A.
5π
B.
6π
C.
20π
D.
24π
（二）、填空题
1、（2018青岛）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的
圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
1题图 2题图 3题图 4题图
2、（2018•安顺）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，
将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的
面积为 cm
2
．
3
、（
2018•
荆门）如图，在平行四边形
ABCD
中，
AB
＜
AD
，∠
D=30°
，
CD=4
，以
AB
为直径的⊙
O
交
BC
于点
E
，则阴影部分的面积为 ．
4
、（
2018•
重庆）如图，在边长为
4
的正方形
ABCD
中，以点
B
为圆心，以
AB
为半径画弧，交
对角线
BD
于点
E
，则图中阴影部分的面积是
（结果保留
π
）
5
、（
2018•
重庆）如图，在矩形
ABCD
中，
AB=3
，
AD=2
，以点
A
为圆心，
AD
长为半径画弧，
交
AB
于点
E
，图中阴影部分的面积是
（结果保留
π
）．
5
题图
6
题图
8
题图
9
题图
10
题图
6
．（
2018•
香坊区）如图，点
A
、
B
、
C
是⊙
O
上的点，且∠
ACB=40°
，阴影部分的面积为
2π
，则
此扇形的半径为
．
7
、（
2018•
哈尔滨）一个扇形的圆心角为
135°
，弧长为
3πcm
，则此扇形的面积是
cm
2
．
5
8、(2019日照)如图，已知动点
A
在函数
y
4
的图象上，
AB
⊥
x
轴于点
B
，
AC
⊥
y
轴于点
C
，延长
CA
(x＞0）
x
交以
A
为圆心
AB
长为半径的圆弧于点
E
，延长
BA
交以
A
为圆心
AC
长为半径的圆弧于点
F
，直线
EF
分别交
x
轴、
y
轴于点
M
、
N
，当
NF
＝4
EM
时，图中阴影部分的面积等于 ．
9、（2019泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB
于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为 ．
10、（2019德州）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点
E，已知BC＝，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ．
11、(2019无锡市)如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半
径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为
A
A
H
O
G
C
B
C
O
O
B
10
，则△ABC的周长为 ．
3
I
O
E
D
F
11题图 12题图
12、（2019四川内江）如图，在平行四边形
ABCD
中，
AB
＜
AD
，∠
A
＝150°，
CD
＝4，以
CD
为直径的⊙
O
交
AD
于点
E
，则图中阴影部分的面积为 ．
（三）、解答题
1、（2019东营）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线，
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
2、（2019无锡市）一次函数
ykxb
的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且
sin∠ABO＝
3
．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3．
2
（1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．
6
y
B
M
A
O
x
3．（2019·武汉）
已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN
于D、C两点
（1） 如图1，求证：AB
2
＝4AD·BC
（2） 如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积
A
D
E
O
M
AD
E
FM
O
B
C
N
B
C
N
图1 图2
4．（2019·衡阳）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D，连接BC，
且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．
B
C
O
A
D
三、圆锥
（一）、选择题
2
、（
2018•
自贡）已知圆锥的侧面积是
8πcm
2
，若圆锥底面半径为
R
（
cm
），母线长为
l
（
cm
），
则
R
关于
l
的函数图象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
、（
2018•
遵义）若要用一个底面直径为
10
，高为
12
的实心圆柱体，制作一个底面和高分别
与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
7
A
．
60π B
．
65π C
．
78π D
．
120π
4
、（
2018•
遂宁）已知圆锥的母线长为
6
，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为
120°
，则该扇形的面积是（ ）
A
．
4πB
．
8π C
．
12π D
．
16π
5
、（
2018•
东阳市模拟）已知一个圆锥的底面半径为
3cm
，母线长为
10cm
，则这个圆锥的侧
面积为（ ）
A
．
30πcm
2
B
．
50πcm
2
C
．
60πcm
2
D
．
3πcm
2
6、（2019东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面爬到AC的
中点D处，则最短路线长为（ ）A．3
B．
C．3 D．3
（二）、填空题
1、（2018烟台）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为
半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON
的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r
1
；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底
面半径记为r
2
，则r
1
：r
2
= ．
1题图 2题图
3题图 7题图 8题图
2、（2018徐州）如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，
所得圆锥的底面半径为 ．
3
、（
2018•
郴州）如图，圆锥的母线长为
10cm
，高为
8cm
，则该圆锥的侧面展开图（扇形）
的弧长为
cm
．（结果用
π
表示）
4
、（
2018•
聊城）用一块圆心角为
216°
的扇形铁皮，做一个高为
40cm
的圆锥形工件（接缝忽
略不计），那么这个扇形铁皮的半径是
cm
．
5
、（
2018•
黑龙江）用一块半径为
4
，圆心角为
90°
的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆
锥的高为
．
8
6
、（
2018•
扬州）用半径为
10cm
，圆心角为
120°
的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆
锥的底面圆半径为
cm
．
7、（2018•苏州）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D
均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r
1
；若用扇形OCD
围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r
2
，则
r
1
的值为
r
2
8、（2019聊城）如图是一个圆锥的主视图，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心
角的度数为 ．
9．（2019无锡市）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm
2
，则这个圆锥的底面圆半径为 cm．
答案与提示：
一、弧长计算
（一）、选择题
1、D 2、D 3、A 4、B 5、B 6、B 7、D 8、C
1
、解：如图，连接
CO
，∵∠
BAC=50°
，
AO=CO=3
，∴∠
ACO=50°
，
∴∠
AOC=80°
，∴劣弧
AC
的长为
=
，故选：
D
．
1
题图
2
题图
3
题图
6
题图
8
题图
2
、解：连接
OD
，∵∠
ABD=30°
，∴∠
AOD=2
∠
ABD=60°
，∴∠
BOD=120°
，
∴的长
==
，故选：
D
．
===， 3、解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于O，∴AB=BC=DC=AD，∴
∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2
∴的长为=π，故选：A．
）2，解得：AO=2，
4、BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×
120
14
=
故选B．
1803
5、连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，
9
∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，
则劣弧
60
11
=
长为
1803
．
6、解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝2π，故选：B．
7、解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴
∵tan∠ABC＝＝
＝，即＝，
，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，
，
π，故选：D．
∵直线DE与⊙O相切于点C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°∴AC＝2AD＝2
∴AB＝4，∴⊙O的半径为2，∴的长为：＝
8、解：连接OA．OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．
2
2
2019
8
（二）、填空题
1、
2π 3、
4、
5、2 6、6 7、πa 8、6π
2、
4
3
3
1
、解：直线
y=
坐标为（
2
，
2
OA
2
=
x
，点
A
1
坐标为（
2
，
0
），过点
A
1
作
x
轴的垂线交
直线于点
B
1
可知
B
1
点的
），以原
O
为圆心，
OB
1
长为半径画弧
x
轴于点
A
2
，
OA
2
=OB
1
，
=4
，点
A
2
的坐标为（
4
，
0
），
），故点
A
3
的坐标为（
8
，
0
），
B
3
（
8
，
8
的长是
）
=
．
这种方法可求得
B
2
的坐标为（
4
，
4
以此类推便可求出点
A
2019
的坐标为（
2
2019
，
0
），则
故答案为：
2、
．
120
3
=2
180
3
、解：∵点
A
（
1
，
1
），∴
OA==
，点
A
在第一象限的角平分线上，
∵以点
O
为旋转中心，将点
A
逆时针旋转到点
B
的位置，∴∠
AOB=45°
，
∴
的长为
=
．故答案为．
10
4
、解：由图
1
得：
则图
2
的周长为：
的长+的长
=
=
的长
∵半径
OA=2cm
，∠
AOB=120°
．
故答案为：
5、连接，由∠BAC=60°得∠BOC=120°，
120
r4
=
得：r=2
1803
6
、解：设半径为
r
，
60
r
=2
，解得：
r=6
，故答案为：
6
180
7
、解：如图．∵△
ABC
是等边三角形，∴∠
A=
∠
B=
∠
C=60°
，
AB=BC=CA=a
，
∴的长
=
的长
=
的长
==
，∴勒洛三角形的周长为×
3=πa
．故答案为
πa
．
(三)、解答题
1
、证明：（
1
）∵
AB
是⊙
O
的直径，∴∠
ADB=90°
，
∵
OC
∥
BD
，∴∠
AEO=
∠
ADB=90°
，即
OC
⊥
AD
，∴
AE=ED
；
（
2
）∵
OC
⊥
AD
，∴，∴∠
ABC=
∠
CBD=36°
，
．
∴∠
AOC=2
∠
ABC=2
×
36°=72°
，∴
二、有关扇形面积计算
1、A 2、C 3、C 4、A 5、C 6、A 7、D 8、C 9、C 10、A 11、A 12、A 13、A
1
、解：连接
AC
，
∵从一块直径为
2m
的圆形铁皮上剪出一个圆心角为
90°
的扇形，即∠
ABC=90°
，
∴
AC
为直径，即
AC=2m
，
AB=BC
，∵
AB
2
+
BC
2
=2
2
，∴
AB=BC=
∴阴影部分的面积是
=
（
m
2
），故选：
A
．
m
，
2
、解：连接
OB
和
AC
交于点
D
，如图所示：
∵圆的半径为
2
，∴
OB=OA=OC=2
，又四边形
OABC
是菱形，∴
OB
⊥
AC
，
OD=OB=1
，
在
Rt
△
COD
中利用勾股定理可知：
CD=
∵
sin
∠
COD==
=
，
AC=2CD=2
，
，∴∠
COD=60°
，∠
AOC=2
∠
COD=120°
，
=2
，
S
扇形
AOC
==
，
∴
S
菱形
ABCO
=OB
×
AC=
×
2
×
2
11
则图中阴影部分面积为
S
菱形
ABCO
﹣
S
扇形
AOC
=π
﹣
2
，故选：
C
．
1
题图
2
题图
5
题图
7
题图
8
题图
3
、解：∵在
□
ABCD
中，∠
B=60°
，⊙
C
的半径为
3
，∴∠
C=120°
，
∴图中阴影部分的面积是：
=3π
，故选：
C
．
4
、解：设底面圆的半径为
R
，则
πR
2
=25π
，解得
R=5
，
圆锥的母线长
==
，所以圆锥的侧面积
=•2π•5•=5π
；
圆柱的侧面积
=2π•5•3=30π
，所以需要毛毡的面积
=
（
30π
+
5
5
、解：如图，连接
OD
，
AD
，
∵点
C
为
OA
的中点，∴
OC=OA=OD
，
∵
CD
⊥
OA
，∴∠
CDO=30°
，∠
DOC=60°
，
∴△
ADO
为等边三角形，
OD=OA=12
，
OC=CA=6
，∴
CD=
，
6
∴
S
扇形
AOD
=
=
﹣
π
）
m
2
．故选：
A
．
，
=24π
，∴
S
阴影
=S
扇形
AOB
﹣
S
扇形
COE
﹣（
S
扇形
AOD
﹣
S
△
COD
）
﹣（
24π
﹣×
6
×
6
）
=18
+
6π
．故选：
C
．
﹣×
46
、解：利用对称性可知：阴影部分的面积
=
扇形
AEF
的面积﹣△
ABD
的面积
=
×
2=4π
﹣
4
，故选：
A
．
7
、解：过
A
作
AD
⊥
BC
于
D
，
∵△
ABC
是等边三角形，∴
AB=AC=BC=2
，∠
BAC=
∠
ABC=
∠
ACB=60°
，
∵
AD
⊥
BC
，∴
BD=CD=1
，
AD=
∴△
ABC
的面积为
∴莱洛三角形的面积
S=3
×
π
﹣
2
×
BD=
，
=
，
S
扇形
BAC
=
，故选：
D
．
=π
，
=2π
﹣
2
8、解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，∴BE=CE=CH=FH=6，
AE=
6
2
+12
2
=6
5
，易得Rt△ABE≌△EHF，∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°，∴∠AEF=90°，
12
∴图中阴影部分的面积=S
正方形ABCD
+S
半圆
﹣S
△ABE
﹣S
△AEF
111
2
=12×12+
2
•π•6﹣
2
×12×6﹣
2
•6
5
×6
5
=18+18π．故选：C．
9、解：S
阴
＝S
△ABD
﹣S
扇形BAE
＝×4×4﹣
10、解：∵＝
＝8﹣2π，故选：C．
，∴AB＝AC，∵∠ACB＝75°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，
作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，
∴S
△ABC
＝BC•AD＝2+，S
△BOC
＝BC•OD＝，
∴S
阴影
＝S
△ABC
+S
扇形BOC
﹣S
△BOC
＝2++﹣＝2+π，故选：A．
12.连接
OA
、
OB
，则
S
60
6
2
阴
=S
扇形
OAB
=
360
=6π 故选A
13
、圆所扫过的图形面积=长方形的面积+圆的面积=2π×2+π=5π
二、填空题
1、
73
2
-
4
3
2、
4
π
3、40π 4、
14
4
π 5、
3
﹣
3
6、8﹣2π 7、6﹣π 8、3
10、
2.5π 11、
3
4
π 12、 13、25 14、
2
3
3
解：∵∠B=90°，∠C=30°，∴∠A=60°，
∵OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠COF=120°，
∵OA=2，∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，∴∠OEC=90°，∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，∴AB=AC=3，∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π故答案为：﹣π
13
9、6π
1题图 3题图 8题图
2
、解：∵∠
BOC=60°
，△
B′OC′
是△
BOC
绕圆心
O
逆时针旋转得到的，
∴∠
B′OC′=60°
，△
BCO=
△
B′C′O
，∴∠
B′OC=60°
，∠
C′B′O=30°
，∴∠
B′OB=120°
，
∵
AB=2cm
，∴
OB=1cm
，
OC′=
，∴
B′C′=
∴
S
扇形
B′OB
==π
，
S
扇形
C′OC
=
，
=
，
=π
；
∴阴影部分面积
=S
扇形
B′OB
+
S
△
B′C′O
﹣
S
△
BCO
﹣
S
扇形
C′OC
=S
扇形
B′OB
﹣
S
扇形
C′OC
=π
﹣
3
、解：连接
OE
、
AE
，
∵
AB
是⊙
O
的直径，∴∠
AEB=90°
，∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AB=CD=4
，∠
B=
∠
D=30°
，
∴
AE=AB=2
，
BE==2
，∵
OA=OB=OE
，∴∠
B=
∠
OEB=30°
，∴∠
BOE=120°
，
∴S
阴影
=S
扇形OBE
﹣S
△BOE
，=
4
、解：
S
阴
=S
△
ABD
﹣
S
扇形
BAE
=
×
4
×
4
﹣
﹣×，=﹣，=﹣，
=8
﹣
2π
，故答案为
8
﹣
2π
．
5
、解：∵矩形
ABCD
，∴
AD=2
，∴
S
阴影
=S
矩形
﹣
S
四分之一圆
=2
×
3
﹣
π
×
2
2
=6
﹣
π
，
6
、解：∵在⊙
O
上，∠
ACB=40°
，∴∠
AOB=2
∠
ACB=80°
，
∴此扇形的半径为：
=3
．故答案为：
3
．
7
、解：设扇形的半径为
Rcm
，∵扇形的圆心角为
135°
，弧长为
3πcm
，
∴
=3π
，解得：
R=4
，
=6π
（
cm
2
），故答案为：
6π
．
＝＝4，
所以此扇形的面积为
8．解：作
DF
⊥
y
轴于点
D
，
EG
⊥
x
轴于
G
，∴△
GEM
∽△
DNF
，∵
NF
＝4
EM
，∴
设
GM
＝
t
，则
DF
＝4
t
，∴
A
（4
t
，），由
AC
＝
AF
，
AE
＝
AB
，∴
AF
＝4
t
，
AE
＝，
EG
＝，
∵△
AEF
∽△
GME
，∴
AF
：
EG
＝
AE
：
GM
，
14
即4
t
：＝：
t
，即4
t
＝
2
，∴
t
＝，
2
图中阴影部分的面积＝
11、解：连接OC，作CH⊥OB于H，
+＝2π+π＝2.5π，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．
11题图
解：在Rt△ABC中，∵BC＝
12题图 13题图
＝2， ，AC＝3．∴AB＝
∵BC⊥OC，∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴BD＝BC，∴AD＝AB﹣BD＝2
在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°，
﹣＝，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝60°，
∵＝tanA＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S
阴影
＝＝．故答案是：．
13、如图，圆心O在△ABC内所能到达的区域是△O
1
O
2
O
3
，∵△O
1
O
2
O
3
三边向外扩大1得到△ACB，∴它的三
10513
，∴O
1
O
2
=，O
2
O
3
=4，O
1
O
3
=，连接AO
1
与CO
2
，并
333
延长相交于I，过I作ID⊥AC于D，交O
1
O
2
于E，过I作IG⊥BC于G交O
3
O
2
于F，则I是Rt△ABC与Rt
O
1
O
2
O
2
O
3
2
△O
1
O
2
O
3
的公共内心，四边形IEO
2
F四边形IDCG都是正方形，∴IE=IF= =，ED=1，
O
1
O
2
O
2
O
3
O
1
O
3
3
边之比也是5∶12∶13， ∵△O
1
O
2
O
3
的面积=
5ACBC55
，设△ACB的三边分别为5m、12m、13m，则有ID==2m=，解得m=，
3ACBCAB36
△ABC的周长=30m=25.
∴ID=IE+ED=
60
2
2
12
14、连接OE,则S
阴
=S
扇形OEC
+S
△OED
=
123
3
36023
15
（三）、解答题
1、
（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°．∴S
扇形BOC
＝
在Rt△OCD中，CD＝OC
∴
，∴
，∴图中阴影部分的面积为．
，
，
1
2
3
OB
由sin∠ABO＝则∠A=60°tan∠BAO=∴OB=2
3
∴B（0，
3
）设直线AB:y=kx+b,将A,B点的坐标
2
2
OA
33
23
代入得：k=
3
,b=∴y=
3
x+
23
120
(23)
2
1
S
阴
=S
扇形MAO
-S
△MAO
=
634
33
3602
2、
作MN⊥OB,垂足为N,连接OM,则MN=OA=3,OA=6 ,A(-6,0)
3、证明：（1）如图1，连接OD，OC，OE．∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，AD＝ED，BC＝EC，∠ODE＝
∴AD//BC，∴∠ODE＋∠OCE＝
11
∠ADC，∠OCE＝∠BCD
22
1
（∠ADC＋∠BCD）＝90°，
2
∵∠ODE＋∠DOE＝90°，∴∠DOE＝∠OCE．
又∵∠OED＝∠CEO＝90°，∴△ODE∽△COE．
∴
OEEC
，
OE
2
＝ED·EC
∴4
OE
2
＝4AD·BC，∴AB
2
＝4AD·BC
EDOE
（2）解：如图2，由（1）知∠ADE＝∠BOE，
∵∠ADE＝2∠OFC，∠BOE＝∠2COF，∴∠COF＝∠OFC，∴△COF等腰三角形。
∵OE⊥CD，∴CD垂直平分OF．∴∠AOD＝∠DOE＝∠OFD＝30°，∠BOE＝120°．
AD
3
，BC＝OBtan60°＝3．∴S
阴影
＝
2S
△
OBC
－S
扇形
OBE
＝3
3
－π．
∴
rOA
tan30
16
A
D
E
M
AD
E
FM
O
O
B
C
N
B
C
N
图1 图2
4、解：（1）证明：连接OB交AC于E，由∠BCA＝30°，∴∠AOB＝60°．
在∆AOE中，∵∠OAC＝30°，∴∠OEA＝90°，所以OB⊥AC．
∵BD∥AC，∴OB⊥BD．又B在圆上，∴BD为⊙O的切线；
（2）由半径为8，所以OA=OB=8．
在∆AOC中，∠OAC＝∠OCA＝30°，∠COA＝120°，∴AC＝8
3
．
由∠BCA＝∠OAC＝30°，∴OA∥BC，而BD∥AC，∴四边形ABCD是平行四边形.∴BD＝8
3
．
∴∆OBD的面积为×8×8
3
＝32
3
，扇形OAB的面积为×π×8
2
＝
1
2
1
6
32
，
3
∴阴影部分的面积为32
3
－
32
．
3
B
C
E
O
A
D
圆锥
1
、
A 2
、
B 3
、
C 4
、
A
5
、
D
1
、解：由题意得，×
2πR
×
l=8π
，则
R=
8
，故选：
A
．
l
2
、解：由题意可得：圆锥的底面半径为
5
，母线长为：
该圆锥的侧面积为：
π
×
5
×
13=65π
．故选：
B
．
3
、解：该扇形的面积
==12π
．故选：
C
．
=13
，
4
、解：圆锥的侧面积
=2π
×
3
×
10
÷
2=30π
．故选：
A
．
5、解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程．设∠BAB′＝n°．
∵
＝4π，∴n＝120即∠BAB′＝120°．
17
∵E为弧BB′中点，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，
∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3，∴最短路线长为3．故选：D．
（二）、填空题
1
、：
2 2
、
60
π
3
、
2 4
、
12
π
5
、
50 6
、
7
、
8
、
9
、
120°10、3cm
1
、解：连
OA
由已知，
M
为
AF
中点，则
OM
⊥
AF
∵六边形
ABCDEF
为正六边形
∴∠
AOM=30°
设
AM=a
∴
AB=AO=2a
，
OM=
∵正六边形中心角为
60°
∴∠
MON=120°
∴扇形
MON
的弧长为：
同理：扇形
DEF
的弧长为：
2、
解：扇形的弧长=
a
则
r
1
=
则
r
2
=
a
故为：
r
1
：
r
2
=
：
2
=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
=6
，∴
2πr=2π
×
6=12π
，
3、
解：设底面圆的半径为
rcm
，由勾股定理得：
r=
4
、解：设这个扇形铁皮的半径为
Rcm
，圆锥的底面圆的半径为
rcm
，
根据题意得
2πr=
，解得
r=R
，因为
40
2
+（
R
）
2
=R
2
，解得
R=50
．
所以这个扇形铁皮的半径为
50cm
．故答案为
50
．
5
、解：设圆锥的底面圆的半径为
r
，根据题意得
2πr=
所以此圆锥的高
==
．故答案为．
，解得
r=
、
r
2
=
cm
．故选：
，
．
，解得
r=1
，
6
、解：设圆锥的底面圆半径为
r
，依题意，得
2πr=
7
、解：∵
2πr
1
=
∴
===
、
2πr
2
=
=
，故答案为：．
，∴
r
1
=
8、解：∵圆锥的底面半径为1，∴圆锥的底面周长为2π，
18
∵圆锥的高是2，∴圆锥的母线长为3，
＝2π，解得n＝120． 设扇形的圆心角为n°，∴
即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．故答案为：120°．
1
9、由
S
侧
=
2
r5=15
得：r=3cm
2
19
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面积,圆锥,扇形,半径,阴影,部分,围成
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