2023年12月19日发(作者：芙蓉区真题小学数学试卷)
期中测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
2．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2)
3．如图，∠1＝100°，∠2＝145°，那么∠3＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
(第3题) (第5题) (第6题) (第7题)
4．已知一个正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为( )
A．40° B．45° C．60° D．70°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中的全等三角形有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝35，∠BAC的平分线AD交BC于点D.若DCDB＝25，则点D到AB的距离是( )
A．10 B．15 C．25 D．20
8．如图，在△ABC中，AC＝2，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，高BE与AD相交于点H，则DH的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
(第8题) (第9题) (第10题)
9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，则EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为( )
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
10．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD.以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．一木工师傅有两根木条，木条的长分别为40 cm和30 cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是____________．
12．由于木制衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不大方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是________cm.
(第12题) (第13题) (第14题)
13．如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是______________．
14．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝________．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是________．
(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)
16．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．
17．如图，在2×2的正方形网格中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出网格中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有________个．
18．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20 cm，BC＝16 cm，点D是AB的中点，点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由A点向C点运动．当△BPD与△CQP全等时，点Q的速度为__________________．
三、解答题(19，20题每题6分，21～23题每题10分，其余每题12分，共66分)
19．已知：如图，点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E.求证OB＝OC.
(第19题)
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P是BC上一点，且∠BAP＝90°，CP＝4 cm.求BP的长．
(第20题)
21．如图，在平面直角坐标系中，A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标：A1________，B1________，C1________；
(3)求△A1B1C1的面积；
(4)在y轴上画出点P，使PB＋PC的值最小．
(第21题)
22．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F.
(1)试判断DF与EF的数量关系，并给出证明；
(2)若CF的长为2 cm，试求等边三角形ABC的边长．
(第22题)
23．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，连接CF，交AD于点G.
(1)求证AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
(第23题)
24．如图，把三角形纸片A′BC沿DE折叠，点A′落在四边形BCDE内部点A处．
(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角．
(2)设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少(用含x或y的式子表示)?
(3)∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律，并说明理由．
(第24题)
25．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1 s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以第(1)题②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，经过多少时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
(第25题)
答案
一、1.A 2.A 3.B 4.D 5.A 6.D
7．A 8.D 9.C 10.D
二、11.10 13．AB＝DC(答案不唯一) 14.25° 15.10.5 16.55° 17.5 51418.2 cm/s或3 cm/s 点拨：∵AB＝AC＝20 cm，点D为AB的中点， 1∴∠B＝∠C，BD＝2×20＝10 (cm)． 设点P，Q的运动时间为t s， 则BP＝2t cm，PC＝(16－2t)cm. ①当BD＝PC时，16－2t＝10，解得t＝3，则BP＝CQ＝2t＝6 cm，AQ＝AC－CQ＝20－6＝14 (cm)， 14故点Q的运动速度为14÷3＝3(cm/s)． ②当BP＝PC时，CQ＝BD＝10 cm，则AQ＝AC－CQ＝10 cm. ∵BC＝16 cm， ∴BP＝PC＝8 cm. ∴t＝8÷2＝4. 5故点Q的运动速度为10÷4＝2(cm/s)． 三、19.证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB， ∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°. 在△BEO与△CDO中， ∠BEO＝∠CDO， OE＝OD，∠EOB＝∠DOC，∴△BEO≌△CDO(ASA)． ∴OB＝OC. 20．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， 1∴∠B＝∠C＝2(180°－∠BAC)＝30°. ∵∠PAC＝∠BAC－∠BAP＝120°－90°＝30°， ∴∠C＝∠PAC. ∴AP＝CP＝4 cm. 在Rt△ABP中，∵∠B＝30°， ∴BP＝2AP＝8 cm. 21．解：(1)△A1B1C1如图所示． (第21题) (2)(3，2)；(4，－3)；(1，－1) 111(3)△A1B1C1的面积＝3×5－2×2×3－2×1×5－2×2×3＝6.5. (4)如图，连接B1C，与y轴交于点P，P点即为所求． 22．解：(1)DF＝EF. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°. 又∵AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC. ∴∠DAC＝30°. ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°. ∴∠DAF＝∠EAF＝30°. ∴AF为△ADE的中线，即DF＝EF. (2)∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°. ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°. ∴∠CDF＝∠ADC－∠ADE＝30°. ∵∠DAF＝∠EAF，AD＝AE， ∴AF⊥DE. ∴∠CFD＝90°. ∴CD＝2CF＝4 cm. ∵AD⊥BC，AB＝AC， ∴BD＝CD， ∴BC＝2CD＝8 cm. 即等边三角形ABC的边长为8 cm. 23．(1)证明：∵BF∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠CBF＝180°－90°＝90°. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°. 又∵DE⊥AB， ∴∠BDF＝45°. ∴∠BFD＝45°＝∠BDF. ∴BD＝BF. ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD. ∴BF＝CD. 在△ACD和△CBF中， AC＝CB，， ∠ACD＝∠CBF＝90°CD＝BF，∴△ACD≌△CBF(SAS)． ∴∠CAD＝∠BCF. ∴∠CGD＝∠CAD＋∠ACF＝∠BCF＋∠ACF＝∠ACB＝90°. ∴AD⊥CF. (2)解：△ACF是等腰三角形． 理由：由(1)可知BD＝BF. ∵DE⊥AB， ∴AB是DF的垂直平分线． ∴AD＝AF. 又由(1)可知△ACD≌△CBF， ∴AD＝CF. ∴AF＝CF. ∴△ACF是等腰三角形． 24．解：(1)△EAD≌△EA′D，其中∠EAD与∠EA′D、∠ADE与∠A′DE是对应角． (2)∵△EAD≌△EA′D， ∴∠A′ED＝∠AED＝x， ∠A′DE＝∠ADE＝y. ∴∠AEA′＝2x，∠ADA′＝2y. ∴∠1＝180°－2x， ∠2＝180°－2y. (3)规律为∠1＋∠2＝2∠A. 理由：由(2)知∠1＝180°－2x，∠2＝180°－2y， ∴∠1＋∠2＝180°－2x＋180°－2y＝360°－2(x＋y)． ∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°， ∴∠A＝180°－(x＋y)． ∴2∠A＝360°－2(x＋y)． ∴∠1＋∠2＝2∠A. 25．解：(1)①△BPD与△CQP全等． 理由：运动1 s时，BP＝CQ＝3×1＝3(cm)． ∵D为AB的中点，AB＝10 cm， ∴BD＝5 cm. ∵CP＝BC－BP＝5 cm， AED与∠A′ED、∠ ∴CP＝BD. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△BPD和△CQP中， BD＝CP，∠B＝∠C， BP＝CQ，∴△BPD≌△CQP(SAS)． ②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， ∴BP≠CQ. 又∵∠B＝∠C， ∴两个三角形全等需BP＝CP＝4 cm，BD＝CQ＝5 cm. 4∴点P，Q运动的时间为4÷3＝3(s)． 415∴点Q的运动速度为5÷3＝4(cm/s)． (2)设x s后点Q第一次追上点P. 15根据题意，得4－3x＝10×2， 80解得x＝3. 80∴点P共运动了3×3＝80(cm)． ∵△ABC的周长为10×2＋8＝28(cm)， 80＝28×2＋24＝28×2＋8＋10＋6， ∴点P与点Q第一次在△ABC的AB边上相遇．
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