血吸虫病数学模型的非协调有限元分析

2023年12月22日发(作者：北海2017中考数学试卷)

血吸虫病数学模型的非协调有限元分析

许超;周家全;唐启立

【摘 要】论文针对描述血吸虫病传播的数学模型提出一个非协调有限元格式, 通过借助单元插值算子的一些特性和非协调误差估计技巧, 在不采用投影算子的情况下,

得到了L2模的最优误差估计和H1模的超逼近结果, 并通过构造插值后处理算子得到了超收敛结果.%In the paper, a nonconforming finite element scheme was

considered for schistosomiasis mathematical using of some

special properties of the finite element interpolation and some techniques

of error estimates, the optimal error estimates in L2-norm and some

superclose results in H1-broken norm were derived without the projection

the same time, based on the interpolated postprocessing trick,

the global superconvergence result in H1-broken norm was obtained.

【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2019(043)002

【总页数】6页(P33-38)

【关键词】血吸虫病数学模型;非协调元;最优误差估计;超逼近和超收敛

【作 者】许超;周家全;唐启立

【作者单位】洛阳理工学院 数理部, 河南 洛阳 471023;洛阳理工学院 数理部, 河南 洛阳 471023;湘潭大学 数学与计算科学统计学院, 湖南 湘潭 411105

【正文语种】中 文

【中图分类】O242.21

血吸虫广泛分布于亚洲、非洲及拉丁美洲的70多个国家和地区,血吸虫病是人或哺乳动物感染血吸虫所引起的一种疾病,其传播环节多、流行因素复杂,不仅严重危害人体健康,同时对家畜也会造成极大的危害而影响农业和畜牧业的发展,从而严重影响疫区经济发展.因此,血吸虫病的防治是世界上重要的公共卫生问题之一.

血吸虫病数学模型由Macdonald创立于20世纪60年代[1],随后又得到进一步的发展和应用.通过对血吸虫病数学模型解的性态研究、数值方法与数值模拟研究,可对血吸虫病的流行过程做比较详细、定量的描述,从理论上揭示其流行特征,进而预测其发生与发展趋势,对该病的流行病学和防治研究都具有十分重要的理论意义和应用价值[2].因此,有关血吸虫病数学模型的研究一直备受关注,并取得了许多有意义和价值研究成果.文献[3]研究了该模型所决定相平面上轨线的拓扑结构与分枝曲线以及相应突破点曲线与传播参数的依赖关系;文献[4-6]分别研究了时间有关血吸虫病传播动力学模型解的渐近性质和稳定性分析;文献[7]研究了日本血吸虫病动力学模型的周期解;文献[8]给出了血吸虫病模型的交替方向有限元法;文献[9]考虑了3维血吸虫病模型的离散算子数值解法及其理论分析.然而,以上研究中,文献[8-9]仅研究了血吸虫病模型的协调有限元方法,到目前为止,还未见到血吸虫病数学模型的非协调有限元方法研究的相关报道.近来,文献[10-11]给出了一类非协调元的二阶椭圆方程收敛性和超收敛性分析,由于该类单元插值算子具有某种正交性和高精度特性,随后还被应用于许多有意义的实际问题[12-17],得到了一系列有价值的研究成果.

论文给出了血吸虫病数学模型的非协调有限元逼近格式,在不采用以往文献中发展方程有限元分析必不可少的Ritz投影算子的情况下,通过借助单元插值算子的一些特性和非协调误差估计技巧,得到了其数值解与精确解的L2模最优误差估计和H1模超逼近结果.并通过构造插值后处理算子,得到了整体超收敛结果.

1 有限元构造

为简便起见,设Ω是R2中的一个有界凸多边形区域,其边界∂Ω平行于x轴和y轴,Th是Ω的一个矩形正则剖分簇,即对任意K∈Th,设其中心点为(xK,yK),两边分别平行于x轴和y轴,边长分别为2hx和2hy,则K的4顶点分别为a1=(xK-hx,yK-hy),a2=(xK+hx,yK-hy),a3=(xK+hx,yK+hy),a4=(xK-hx,yK+hy);4条边分别为

记

有限元空间Vh定义如下

⊂∂K,∀K∈Th},

其中:P=span{1,x,y,x2,y2},[v]代表v跨过单元边界的跳跃度.当l⊂∂Ω时,[v]=v.显然有限元空间Vh⊄

有限元空间Vh上插值算子Ih定义如下:Ιh:H2(Ω)→Vh,Ιh|Kv=IKv,∀v∈H2(Ω),满足

此外,论文中Wm,p(Ω)为标准的Sobolev空间,且Wm,2(Ω)=Hm(Ω),Hm(Ω)上的范数和半范数分别为||·||m和|·|m.当m=0时,记H0(Ω)=L2(Ω),L2(Ω)上的范数为||·||0.

2 血吸虫病数学模型及其非协调有限元格式构造

论文考虑如下人、牛共患的血吸虫病数学模型[4]

(1)

其中:X=(x,y),Ω⊂R2为有界凸区域,其边界∂Ω分段光滑;T>0是常数;u(X;t)和v(X;t)分别为t时刻平均每个人、每条牛所携带的血吸虫成虫数;d1,d2>0为扩散系

数;β1,β2分别为血吸虫成虫在人、牛体内的自然死亡率;k1,k2分别表示单位时间内能成功入侵每个人、每条牛的尾蚴数;F(u,v)为单位时间后感染性钉螺与钉螺总数之比,且分别表示单位时间内每个人、每条牛逸送毛蚴感染螺群的能力,p为单位时间内钉螺的存活概率,φ1(u),φ2(v)分别表示人、牛体内成虫的配对率,具体定义如下[3]

由文献[8]知,F(u,v)对u,v的偏导数直到二阶有界,且0≤F(u,v)<1.在易受传染人口总数不变的情况下,F(u,v)关于u,v满足Lipschitz条件,即存在常数L1,L2,使得

|F(u,v)|≤L1|u1-u2|+L2|v1-v2|.

血吸虫病数学模型(1)的变分问题为:求使得对任意有

(2)

其中:

问题(2)的非协调有限元半离散逼近格式为:求(uh,vh)∈Vh×Vh,使得对任意φh∈Vh,有

(3)

其中:为Vh上的离散内积.此外,记容易验证||vh||h是Vh上的范数.

为了进行误差分析,给出以下重要引理.

引理1[11-12] 设则对任意φh∈Vh，有

((u-Ihu),φh)=0,

(4)

(5)

进一步,若有

(6)

其中:n为单元边界∂K的单位外法向量，这里及下文中出现的C均为与h无关的正常数,且不同地方可取不同值.

3 收敛性分析

首先,给出血吸虫病数学模型的L2模的最优误差估计.

定理1 设是(2)的解,且满足ut,vt∈H2(Ω),uh,vh是(3)式的解,有

||u-uh||0+||v-vh||0≤Ch2(|u|2+|v|2+m0),

(7)

其中:

证明 令

u-uh=(u-Ιhu)+(Ιhu-uh)≐η+ξ, v-vh=(v-Ιhv)+(Ιhv-vh)≐ρ+θ.

由类似文献[12]的方法可得

||η||0+||ηt||0+h||η||h≤Ch2(|u|2+|ut|2),

(8)

||ρ||0+||ρt||0+h||ρ||h≤Ch2(|v|2+|vt|2).

(9)

由(2),(3)式和引理1的(4)式,可得如下误差方程

(ξt,φh)+d1(ξ,φh)=k1(F(u,v)-F(uh,vh),φh)-

(10)

(θt,φh)+d2(θ,φh)=k2(F(u,v)-F(uh,vh),φh)-

(11)

在(10)式中取φh=ξ,可得

(ξt,ξ)+d1(ξ,ξ)

由Cauchy-Schwarz不等式、引理1的(6)式和Young不等式,可得

(||η||0+||ξ||0)||ξ||0+||ηt||0||ξ||0+h2|u|3||ξ||h),

又由于F(u,v)关于u,v满足Lipschitz条件,有

||F(u,v)-F(uh,vh)||0≤L1||u-uh||0+L2||v-vh||0≤

L1(||η||0+||ξ||0)+L2(||ρ||0+||θ||0).

进而可得

(12)

类似上述过程,在(11)式中取φh=θ,有

(13)

将(12),(13)式相加,再由(8)，(9)式可得

注意到ξ(0)=θ(0)=0,上式两端从0到t取积分,再利用Gronwall引理,有

(14)

由(8),(9)和(14)式及三角不等式,即可得(7)式.

注1 如果在上述过程中对边界的估计利用引理1的(5)式,相比于(14)式只能得到如下结果

(15)

而无法得到L2模的最优误差估计(7).

下面给出H1模的最优误差估计.

定理2 设是(2)的解,且满足ut,vt∈H2(Ω),uh,vh是(3)式的解，有

||u-uh||h+||v-vh||h≤Ch(|u|2+|v|2+m1)，

(16)

其中：

证明 在(10)式取φh=ξt,由Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和引理1的(5)式,有

即

(17)

同理,在(11)式取φh=θt,有

(18)

将(17),(18)式相加,并利用(8)，(9)式，有

注意到ξ(0)=θ(0)=0,上式两端从0到t取积分,再利用引理1的(5)式、Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式、Gronwall引理以及(15)式,有

Ch2((h2(

(19)

由(8),(9)和(19)式及三角不等式,即可得到(16)式.

完全类似于定理2的证明,利用引理1的(6)，(14)式,通过精细估计可以得到下面的超逼近结果.

定理3 设是(2)的解,且满足ut,vt∈H3(Ω),uh,vh是(3)式的解，有

||Ιhu-uh||h+||Ιhv-vh||h≤Ch(|u|3+|v|3+m0+m2),

(20)

其中：

进一步地,类似于文献[10],构造满足如下性质的插值后处理算子I2h

I2hIhu=I2hu, ||I2hu-u||h≤Ch2|u|3, ∀v∈H3(Ω)，

||I2hv||h≤C||v||h,∀v∈Vh，

(21)

并由类似于文献[10]的方法可得如下超收敛结果.

定理4 在定理3假设下,有

||u-I2huh||h+||v-I2hvh||h≤Ch2(|u|3+|v|3+m0+m2).

(22)

注2 引理1中的(4)，(6) 式是论文定理1，3和4成立的关键所在.可以证明正方形网格剖分下的旋转Q1元[18]满足上述引理,因而论文的结论对此非协调元也成立.

参考文献：

【相关文献】

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