2024年3月18日发(作者：2022高考数学试卷大学)
GAOJIAOSHIYE
高
教视野
3
导数定义和洛必达法则求不定式极限的差异分析
◎许
昌林
（
北方民族大学数学与信息科学学院
，
宁夏银川
750021）
【
摘要
】
不定式极限问题的求解是高等数学教学中的重
点和难点
．
学生利用洛必达法则求不定式极限时
，
往往容易
忽略洛必达法则的使用条件
．
本文通过具体实例分析了利
用一元函数导数定义和洛必达法则求不定式极限时存在的
差异
，
使学生能够注意洛必达法则求极限的使用条件以及
加深对一元函数在某一点可导的理解
，
化解了学生学习中
的难点
．
【
关键词
】
极限
；
导数
；
洛必达法则
【
基金项目
】
宁夏高等教育一流学科建设资助项目
（NXYLXK2017B09）
；
自治区重大教学改革项目
（NXJG2017003）；
北方
民族大学教育教学改革重大项目
（2018ZDJY06）
；
北方民族大学教育教学改革研究项目
（2018JY0804）．
一
、
引言
极限是一个重要而又应用广泛的工具
，
函
在微积分中
，
数的连续性
、
函数的导数以及函数的定积分等定义都要用
到极限工具来精确刻画
．
但是
，
关于函数极限的计算
，
尤其
是不定式极限的计算
，
很多学生往往能想到的方法就是洛
必达法则
．
然而
，
在具体使用洛必达法则求不定式极限时容
易忽略洛必达法则的使用条件
，
从而导致解题犯错
．
另外
，
导数对研究函数的极限
、
单调性
、
凸凹性
、
极值和最值
，
证明
不等式以及实际应用等问题中起着非常重要的作用
．
对导
数概念的理解和应用是学生学习的重点
，
它们既以极限概
［1］－［7］
．
因此
，
本文从导
念为基础
，
又是极限概念的具体应用
数定义和洛必达法则出发讨论求不定式极限的差异
．
二
、
由导数定义和洛必达法则求不定式极限时的差异
导数作为微分学的基本概念
，
是用于刻画函数的变化
率问题
，
它是通过极限形式进行精确定义的
，
首先给出一元
［3］［4］
［2］
．
函数在定义域内某点处的导数
［3］［4］
［2］
若
函数
y=f（x）
在
x
0
某邻域内有定义
，
定
义
相
当
x
在
x
0
处
取得增量Δ
x（
点
x
0
+
Δ
x
仍
在该邻域内
）
时
，
应的函数值取得增量Δ
y=f（x
0
+
Δ
x）－f（x
0
）
；
如果
Δ
y
与
Δ
x
之比在Δ
x
→
0
时的极限存在
，
则称函数
y=f（x）
在点
x
0
处
可导
，
并称这个极限为函数
y=f（x）
在点
x
0
处
的导数
，
记
即
为
f\'（x
0
）
，
f（x
0
+
Δ
x）－f（x
0
）
Δ
y
=lim．
f\'（x
0
）=lim
Δ
x
→
0
Δ
x
Δ
x
→
0
Δ
x
则
上式变为
若
令
x=x
0
+
Δ
x，
f（x）－f（x
0
）
f\'（x
0
）=lim
．
x
→
x
0
x－x
0
如
果函数
y=f（x）
在开区间
I
内的每一点都可导
，
则称
［2］
［3］［4］
．
函数
y=f（x）
在开区间
I
内可导
所以根据导
由
于定义给出的结论都是充分必要条件
，
数的定义和函数可导必连续的性质
，
如果函数
y=f（x）
在点
数学学习与研究
2019.13
x
0
处
的导数存在或可导
（
函数
y=f（x）
在点
x
0
处
一定连
f（x
0
+
Δ
x）－f（x
0
）
那么不定式
lim
续
）
，
的
极限就存在
．
因
Δ
x
→
0
Δ
x
此
，
在函数可导的条件下
，
也反过来可利用导数的定义来求
不定式的极限
．
另一方面
，
洛必达法则是以导数为工具研究不定式的
极限问题
，
即两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极
0
∞
限问题
（
简称
型
和
型
）．
然而在实际问题中利
用洛必达
0
∞
法则求不定式极限问题时
，
学生很容易轻视洛必达法则求
极限的前提条件
．
下面首先介绍教材中常常提到的洛必达
0
∞
［4］
［2］
，
不定式
型
（
或
型
）
极
限存在的充当
x
→
x
0
时
，
法则
0
∞
分条件
．
［4］
［2］
（
洛
必达法则
）
若函数
f（x）
和
g（x）
满足下
定理
列条件
，
即
：
lim
g（x）=0（
或
∞
）
；
（
ⅰ
）lim
f（x）=0（
或
∞
）
，
x
→
x
0
x
→
x
0
f\'（x）
和
g\'（x）
都存在
，
（
ⅱ
）
在
x
0
点的某去心邻域内
，
且
g\'（x）
≠
0；
f\'（x）
（
ⅲ
）lim
存
在
（
或为无穷大
）
；
x
→
x
g\'（x
）
0
f（x）f\'（x）
=lim．
那么
lim
x
→
x
0
g（x
）
x
→
x
0
g\'（x
）
+
x
→
x
0
－
，x
→
±
∞
，
若
将定理中
x
→
x
0
的条件换成
x
→
x
0
，
x
→
∞
，
可以得到同样的结论
．
条
件
（
ⅱ
）
做类似的修改
，
在求不定式极限时
，
洛必达法则的条件容易验证
，
但往
往会忽视条件的严谨性
，
比如
，
条件
（
ⅱ
）
要求函数
f（x）
和
g（x）
在
x
0
点
的某去心邻域内可导
，
且
g\'（x）
≠
0，
这与函数
而这一条件往往是学生容
在
x
0
这一点可导是存
在区别的
，
易忽略的
，
或者容易将条件
（
ⅱ
）
理解为函数在某一点可导
．
举例说明如下
．
且
f（x
0
）=0，
求
例
1
若函数
y=f（x）
在点
x
0
处
可导
，
f（x）
lim
．
x
→
x
x
0
－x
0
这是一道函数求极限问
分
析从题目最终要求来看
，
0
题
，
而且通过初步判断是
型
的不定式极限问题
．
所以对大
0
部分学生来说
，
最容易想到的方法就是利用洛必达法则求
极限
，
从而得到
f（x）f\'（x）
（1）
=lim=－f\'（x
0
）．
lim
x
→
x
x
0
－x
x
→
x
00
－1
且
f（x
0
）=0，
若利用条件函数
y=f（x）
在
点
x
0
处
可导
，
由导数定义可得
f（x）－f（x
0
）
f（x）
=－f\'（x
0
）．
=－lim
x
→
x
x
0
－x
x
→
x
x－x
0
00
lim
（2）
但是仔细
虽
然这两种解法最终得到的结果是相同的
，
4
高
教视野
GAOJIAOSHIYE
函数
f（x）
和
g（x）
在
由
函数导数和连续性的定义知
，
x=0
处是可导的
，
但是两者在
0
处的任意邻域内却是不可
导的
，
而且还可以看出
f（x）
在
0
处的任一邻域内也是不连
续的
．
所以
，
函数在某一点的可导性和连续性与函数在某一
点的邻域
（
或空心邻域
）
的可导性与连续性存在本质差异
．
【
参考文献
】
［1］
J］．
工科
——
兼析微分概念
［
李定荣
．
导数概念剖析
—
1993（2）
：103－105．
数学
，
［2］
M］．
北
同济大学数学系
．
高等数学
（
上册
）
：
第
7
版
［
2014．
京
：
高等教育出版社
，
［3］
J］．
中国校
康玉玲
．
浅谈导数定义在解题中的应用
［
2012（32）
：66+3．
外教育
，
［4］
．
南宁
：
广西民族出
刘士强
．
数学分析
（
上册
）
［M］
2000．
版社
，
［5］J］．
高教学李思彦
．
关于高阶导数教学的几点思考
［
2018（8）
：122－123+126．
刊
，
［6］
．
高教学
景慧丽
．
函数的导数易错题分析研究
［J］
2016（10）
：260－262．
刊
，
［7］
．
高师理科学
王玉霞
．
广义洛必达法则的应用
［J］
2017（10）
：18－20．
刊
，
根据题目
分
析发现
（1）
式的求解过程中有两处错误
．
首先
，
的条件
，
函数
f（x）
不满足洛必达法则的条件
（
ⅱ
）
，
即不满足
这
与函数在
x
0
这
一
函数
f（x）
在
x
0
点的某去心邻域内可导
，
f（x）f\'（x）
=lim
点可导是有区别的
，
所以
lim
不
成立
；
其次
，
x
→
x
x
0
－x
x
→
x
00
－1
所以
由于条件没有说明导函数
f\'（x）
在点
x
0
处
是否连续
，
f\'（x）
lim
=－f\'（x
0
）
也
不成立
，
故不满足洛必达法则的条件
x
→
x
0
－1
（
ⅲ
）．
由此可看出
，
对导数概念的理解以及对洛必达法则使
用条件的判断是非常重要的
．
由函数可导定义知
，
函数在某一点可导是通过逐点进
行定义的
，
而洛必达法则条件
（
ⅱ
）
中要求函数在某一点的
去心邻域内可导
，
这两者是有本质区别的
．
另外
，
学生往往
容易认为如果函数在某一点可导或连续
，
那么函数在这一
点的某个邻域内一定可导或连续
，
这种认识是错误的
．
由于
函数的可导性和连续性都是通过逐点进行定义的
，
所以如
果函数在某一点可导或连续
，
并不一定在这一点的某个邻
2
域内也可导或连续
．
例如
，
函数
f（x）=x
D（x）
，
狄利克
其中
，
1，x
∈
Q，
［4］
（Q
为
有理数集
）
［2］
雷
（Dirichlet）
函数
D（x）=
c
0，x
∈
Q
{
以
及函数
g（x）=
{
x
2
cos
π
，x
≠
0，
x
0，x=0
．
（
上
接
2
页
）
III=2
i，j，k=1
i
≠
j，j
≠
k
∑
2
k
5
Ｒ
ijji
u
2
k
+2
i，j，k=1
i
≠
j，j
≠
k
∑
5
2
Ｒ
ijij
u
ii
u
jj
u
2
k
+4
∑
Ｒ
illi
u
l
+
i，l=1
i
≠
l
5
四
、
结
束语
在本文中
，
主要研究了五维空间形式上有界凸区域中
与带有
0
边值
Dirichlet
条件下的严格凸解的一个微分不等
式
，
此微分不等式中φ的构造与μ的水平集的平均曲率有
关
，
后续可以得到方程解的水平集的平均曲率估计
．
2
i，j，k=1
i
≠
k，j
≠
k
∑
Ｒ
5
ikik
uu
jj
u．
ii
III=2
5
i，j，k=1
i
≠
j，j
≠
k，i
≠
k
∑
5
2
Ｒ
ijji
u
2
k
+2
∑
Ｒ
ijji
u
i
+2
i，j=1
i
≠
j
5
5
i，j，k=1
i
≠
j，j
≠
k，k
≠
i
5
∑
5
Ｒ
ijij
u
ii
u
jj
u
2
k
+
【
参考文献
】
［1］ChenChuanqiang，MaXi－Nan，ShiShujun．Curvature
estimatesforthelevelsetsofsolutionstotheMonge－Ampère
equationdetD
2
u=1［J］．ChineseAnnalsofMathematics，2014
i，k=1
i
≠
k
2
k
2
2
∑
Ｒ
ijij
u
ii
u
jj
u
2
i
+4
∑
Ｒ
illi
u
l
+2
i，j=1
i
≠
j
i，l=1
i
≠
l
ii
5
5\'
=4
ε
=2
ε
i，j，k=1
i
≠
j，i
≠
k，j
≠
k
∑
5
uu
jj
u+2
ε
∑
uu
jj
u－40
ε
∑
u
2
k
2
i
i，j=1
i
≠
j
2
k
k=1
55
iijj2
k
i，j，k=1
i
≠
j，j
≠
k，k
≠
i
5
ii
∑
2
Ｒ
ikik
u
ii
u
jj
u
2
k
+2
∑
Ｒ
ikik
u
k
5
（35B）
：895－906．
［2］HongJiaxing，HuangGenggeng，WangWeiye．
ii2
i
i，j，k=1
i
≠
j，i
≠
k，j
≠
k
5
∑
（u
u
jj
+uu
ii
）u
－40
ε
∑
u+2
ε
∑
uu
jj
u．
k=1i，j=1
i
≠
j
5
ExistenceofglobalsmoothsolutionstoDirichletproblemfor
degenerate
635－656．
［3］
．
北京
：
高等教育出版
白正国
．
黎曼几何初步
［M］
2004．
社
，
［4］
于雪梅
．
四维空间形式中
Monge－Ampère
方程解的
J］．
哈尔滨师范大学自然科学学报
，2015（3）
：
微分不等式
［
1－3．
［5］
于雪梅
．
空间形式上蒙日
－
安培方程解水平集的曲
D］．
哈尔滨
：
哈尔滨师范大学
，2015．
率估计
［
ellipticMonge－Ampèreequations［J］．
CommunicationsinPartialDifferentialEquations，2011（36）：
又
因为
i，j，k=1
i
≠
j，i
≠
k，j
≠
k
5
2
k
∑
u
ii
u
jj
u
2
k
+
5
i，j，k=1
i
≠
j，i
≠
k，j
≠
k
ii
∑
5
2
u
jj
u
ii
u
2
ε
＞
k
≥
24
∑
u
k
，
k=1
0．
所
以
，III
≥
8
ε
∑
u+2
ε
∑
uu
jj
u
≥
0．
2
i
k=1i，j=1
22
由柯西施瓦茨不等式
∑
（u
ijl
u
k
－u
ijk
u
ijl
u
k
u
l
）
≥
0，
有
I
≥
0；
k，l=1
2
4
由
牛顿不等式σ
2
（D
u）
≥
C
（
σ
5
（D
u）
）=C
detDu=
2
10，
有
II=4
σ
2
（D
u）－40
≥
0．
5
2
5
22
5
2
从
而有
∑
u
φ
ij
≥
0．
ij
i，j=1
数学学习与研究
2019.13
更多推荐
函数,导数,法则,定义,条件,可导,研究
发布评论