2022-2023学年江苏省百校大联考高一上学期12月阶段测试数学试题(解析

2024年4月12日发(作者：苏州一模数学试卷2023答案)

2022-2023学年江苏省百校大联考高一上学期12月阶段测试数学试题

一、单选题

∣x

2

4x,N{x|x13}

，则

M



R

N





（

）

1

．已知集合

Mx

A

．

M

【答案】C

【分析】解一元二次不等式得集合

M

，根据补集的概念结合绝对值不等式的解法可得

R

N

，根据集

合间的关系以及集合的运算即可得结果

.

B

．

N

C

．

R



N

D

．

R

M

∣0x4}

，

【详解】由

x

2

4x

，可得

x



x4



0

，所以

M{x

13}

，可得由

N{x||x∣

R

N{x||x∣13}

，所以

R

N{x∣2x4}

，

R

所以

M

是

故选：C.

R

N

的真子集，所以

MN

R

N

.



1



2

．使不等式



1x





1



0

成立的一个充分不必要条件可以为（

）



x



A

．

x



1,



C

．

x



,1







1,



【答案】D

B

．

x



,1







0,1



D

．

x







,2



【分析】根据充分不必要条件以及不等式的解法即可判断求解.

【详解】由题可得



1x



(1x)

0

x



x(x1)(1x)0

不等式可化为



，解集为



,1







0,1



.

x0



对于

A

，



1,



与



,1







0,1



无包含关系，



1



所以

x



1,



是使不等式



1x





1



0

成立的既不充分也不必要条件，



x



故A错误；



1



对于

B

，

x



,1







0,1



是使不等式



1x





1



0

成立的充要条件，



x



故B错误；

对于

C

，

x



,1







1,



与



,1







0,1



无包含关系，

第 1 页 共 17 页



1



所以

x



,1







1,



是使不等式



1x





1



0

成立的既不充分也不必要条件，



x



故C错误；

对于

D

，因为



,2



真包含于



,1







0,1



，



1



所以使不等式



1x





1



0

成立的一个充分不必要条件可以为

x







,2



，



x



故D正确.

故选:D.

2

3

．函数

f



x



log

1



2xx3



的单调递增区间是（

）

2

1



A

．



,



4





13



C

．



,





42



1



B

．



1,



4





1



D

．



,





4



【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.

3



【详解】由

2x

2

x30

，得

(x1)(2x3)0

，则

f



x



的定义域为



1,



.

2



1



ylog

1

t



0,





令

t2x

2

x3

，则在上单调递减，而当

x



1,



时，

t2x

2

x3

为增函数，

2

4



2



13





13



2

fxlog2xx3



1

x,

当的单调递增区间是



,





时，

t2xx3

为减函数，故

42

2





42





故选：C



1



4

．已知幂函数的图象经过点

P



8,



，则该幂函数的大致图象是（

）



4



A． B．

C．

【答案】D

D．

【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性得解.

第 2 页 共 17 页



1



【详解】解：设幂函数的解析式为

yx



，因为该幂函数的图象经过点

P



8,



，



4



1

2

1

2





3



2

y





8

所以，即

22

，解得，即函数

yx

3

，也即，

3

2

3

4

x

1

设

f(x)

3

2

，

x

∣x0



,

所以排除选项

BC.

则函数的定义域为



x

又

f(x)

1

3

x

2

f(x)

，

所以函数

f(x)

为偶函数，图象关于

y

轴对称，所以排除选项

A.

故选：D

5

．

17

世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数

的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞

“

对数的发明在实

效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍

”.

已知

lg20.3010,lg30.4771

，设

N4

7

9

12

，则

N

所在

的区间为（

）

1314

A

．



10,10



1516

C

．



10,10



1415

B

．

10,10

1617

D

．



10,10





【答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.

【详解】因为

N4

7

9

12

,lgNlg4

7

lg9

12

lg2

14

lg3

24

14lg224lg34.21411.450415

.6644

，

15.6644

10

15

,10

16

.

所以

N10



故选：C

6

．设

a,b

是满足

a0b

的实数，那么（

）

A

．

abab

B

．

abba

D

．

abab

C

．

baab

【答案】B

【分析】利用特殊值法，结合完全平方公式逐一判断即可.

【详解】对于

A,a1,b1

，满足

a0b

，则

ab0,ab2

，故

A

不正确

.

对于

B

，因为

a0b

，所以

a

2

b

2

2aba

2

b

2

2ab

，所以

(ab)

2

(ab)

2

，所以

baabab

，所以

B

正确

.

第 3 页 共 17 页

对于

C

，

a1,b1

，满足

a0b

，则

ba2,ab0

，此时

baab

，故

C

不正确

.

对于

D,a1,b1

，满足

a0b

，则

ab2,ab2

，此时

abab

，故

D

不正确

.

故选：B

7

．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数

字中也有类似的

“

黑洞

”.

任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数

以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串

.

重复以上工作，最后会得到一个反复

π



2a

π





（

）

出现的数字串，我们称它为

“

数字黑洞

”

，如果把这个数字串设为

a

，则

sin



3



3

1

1

3

3

A

．

B

．



C

．

D

．



2

2

2

2

【答案】A

【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，

可得答案.

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，

经过第二步之后为

123

，再变为

123

，再变为

123

，所以

“

数字黑洞

”

为

123

，即

a123

，

π



π



π3



2a



,

则

sin



π



sin



82π



sin

3



3



32



3



故选:A.

2





x4x,x4,

8

．设函数

f



x







若关于

x

的方程

f



x



t

有四个实根

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

，且





log

2



x4



,x4,

x

1

x

2

x

3

x

4

，则



3x

1



3x

2

2x

3





1

x

4

的最小值为（

）

2

9

C

．

2

7

A

．

2

【答案】B

B

．

8 D

．

16

【分析】由分段函数画出

f



x



图象，可确定

x

1



x

2

4

，

log

2



x

3

4



log

2



x

4

4



，即



x

3

4



x

4

4



1

，借鉴基本不等式

(3x

1



3x

2





xx







12



和



2



2

11

2x

3

x

4

2



x

3

4







x

4

4



1012

放缩即可求得

.

22

【详解】作出

f



x



的大致图象，如图所示

.

第 4 页 共 17 页

易得

x

1



x

2

4

，其中

x

2

2x

1

0

.

因为

log

2



x

3

4



log

2



x

4

4



，即



x

3

4



x

4

4



1

，其中

x

4

5x

3

4

，

所以



3x

1



3x

2

(3x

1



3x

2





xx







12



4

，



2



2

当且仅当

x

1

23,x

2

23

时，等号成立，此时

t1

.

又因为，

2x

3



111

x

4

2



x

3

4







x

4

4



1022



x

3

4







x

4

4



1012

，

222

9

当且仅当

x

3

,x

4

6

时，等号成立，此时

t1

，

2

所以



3x

1



3x

2

2x

3





1

x

4

的最小值是

8.

2

故选：B

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（

）

A

．不论

a

取何实数，命题

p:

“

x0,x

2

2ax20

”

为真命题

B

．不论

b

取何实数，命题

p

：

“

二次函数

yx

2

b

的图象关于

y

轴对称

”

为真命题

C

．

“

四边形

ABCD

的对角线垂直且相等

”

是

“

四边形

ABCD

是正方形

”

的充分不必要条件

D

．

“

ab

”

是

“

a

2

b

2

”

的既不充分也不必要条件

【答案】ABD

【分析】结合一元二次函数和一元二次不等式的性质可判断AB；根据充分条件、必要条件的概念可

判断CD.

【详解】对于

A

，关于

x

的一元二次方程

x

2

2ax20

满足

Δ2a

2

40

，

即有不等实根

x

1

,x

2



x

1

x

2



，显然

x

1

x

2

2

，即

x

1

0x

2

，

因此不等式

x

2

2ax20

的解集为



x

1

,x

2



，

第 5 页 共 17 页

当

x



0,x

2



时，

x

2

2ax20

，故

A

正确

.

对于

B,bR

，二次函数

yx

2

b

图象的对称轴为直线

x0

，即

y

轴，故

B

正确

.

对于

C

，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为菱形，反之成立

.

故

C

错误

.

对于

D

，令

a2,b3

，则

a

2

4,b

2

9a

2

，即充分性不成立，

令

a2,b1

，则

a

2

4,b

2

1a

2

，而

21

，故必要性也不成立，

即

“

ab

”

是

“

a

2

b

2

”

的既不充分也不必要条件，故

D

正确

.

故选：ABD.

10

．一般地，对任意角



，在平面直角坐标系中，设



的终边上异于原点的任意一点

P

的坐标为



x,y



，

xrr

它与原点的距离是

r

.

我们规定：比值

,,

分别叫作角



的余切､余割､正割，分别记作

yyx

cot



,csc



,sec



，把

ycotx,ycscx,ysecx

分别叫作余切函数､余割函数､正割函数

.

下列叙述正确

的有（

）

A

．

cot

7π

1

4

B

．

sin



sec



1

π



∣xk

π



,

kZ



C

．

ysec



的定义域为



x

2



D

．

2sec

2



sin

2



2csc

2



cos

2



9

【答案】ACD

【分析】根据题目对余切､余割､正割的定义，结合三角函数同角三角函数的关系、诱导公式、函数

的性质即可求解.

【详解】对于

A,cot

7π1

1

，故

A

正确；

4

tan

7π

4

对于

B,sin



sec



sin





对于

C

，

ysec





1

tan



，故

B

错误；

cos



1

，

cos



π



∣xk

π



,

kZ



，故

C

正确；

其定义域为



x

2



2222

对于

D

，

2sec



sin



2csc



cos



1

22



cos

2



sin

2



1

22

1

sin

2



cos

2



sin

2





1sin

2





第 6 页 共 17 页

1

2

1



1







sin

2









2



4



2

9

2

，当

sin





1

时，等号成立，故

D

正确

.

2

故选：ACD.

11．下列说法正确的是（

）

x1

A

．函数

f



x



a2(a0

且

a1)

的图象恒过定点

1,2

∣x1

或

x2}

，则

ac2

B

．若关于

x

的不等式

ax

2

2xc0

的解集为

{x

2

C

．函数

f



x



x16

9

x

2

16

的最小值为

6

D

．若

ac

2

bc

2

1

，则

ab

【答案】BD

【分析】根据指数幂的运算性质，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判

断即可.

x1

【详解】对于

A

，函数

f



x



a2(a0

且

a1)

的图象恒过定点

1,1

，故

A

错误

.

∣x1

或

x2}

，故必有

对于

B

，关于

x

的不等式

ax

2

2xc0

的解集为

{x

2



12





a2



a



，进而得到

ac2

，故

B

正确

.



cc4





12



a



2

对于

C,f



x



x16

9

x16

2

2x

2

16

9

x16

2

2

6

，当且仅当

x16

9

x

2

16

时取等

号，

x

2

169

方程无解，等号不成立，故

C

错误

.

22222

对于

D,acbc1,acbc1,



ab



c1

，所以

ab0,ab

，故

D

正确

.

故选：BD

【点睛】关键点睛：判断运用基本不等式时要考虑等号成立的条件是解题的关键.

12

．设

xR

，用



x



表示不超过

x

的最大整数，则

y



x



称为高斯函数，也叫取整函数

.

令函数

f



x



x



x



，以下结论正确的有（

）

A

．

f



2.3



0.7

B

．

f



x



为奇函数

C

．

f



x1



f



x



第 7 页 共 17 页

D

．

f



x



的值域为



0,1



【答案】AC

【分析】根据题中定义，结合奇函数的性质、函数的周期的性质逐一判断即可.

【详解】对于

A,f



2.3







2.3







3



0.7

，故

A

正确

.

对于

B

，取

x=



1

.1

，则

f



1.1



0.9

，而

f



1.1



1.110.1

，故

f



1.1



f



1.1



，所以

f



x



不

为奇函数，故

B

错误

.

对于

C,f



x1



x1



x1



x1



x



1f



x



，故

C

正确

.

对于

D

，由

f



x1



f



x



可知，

f



x



为周期函数，且周期为

1

，

当

x0

时，

f



0



0



0



0

，当

0x1

时，

f



x



x



x



x0x

，

当

x1

时，

f



x



1



1



110

；

当

0x1

时，

0f



x



1

，则

f



x



的值域为



0,1



，故

D

错误，

故选：AC

【点睛】关键点睛：根据题中定义进行求解是解题的关键.

三、填空题

13

．请写出能够说明

“

存在两个不相等的正数

a,b

，使得

ab2ab

”

是真命题的一组有序数对：



a,b



为

__________.

（答案不唯一）

11

【答案】

(,)

（答案不唯一）

24

【分析】对已知等式进行变形，利用代入法进行求解即可.

【详解】因为

a,b0

，所以由

ab2ab

111

1

2a

当

b

时，

1

a2

，

4

4

11

1

2

，显然

2

，

b

ba

11

故这样的有序实数对可以是（

,

），

24

11

故答案为：

(,)

24



14

．已知

f



sinx



tan3x,



0x90



，则

f



cos20





__________.

第 8 页 共 17 页

【答案】

3

3

【分析】先利用诱导公式得到

cos20sin70

，从而代入

x70

即可得解

.

【详解】因为

cos20cos



9070



sin70

，

f



sinx



tan3x

，

所以

f



cos20



f



sin70



tan210tan



18030



tan30

故答案为：

3

.

3

3

.

3

x

2

2y

2

z

2

15

．已知正实数

x,y,z

，则的最小值为

__________.

xy3yz

【答案】

25

5

【分析】利用不等式进行求解即可.



2

y

2



9y

2

2



xz



【详解】

x

2

2y

2

z

2



5



5





xy3yzxy3yz

9y

2

y

2

z

2

时，取等号，

当且仅当

x

且

5

5

2

2



9y

2

2



2

y

2z



2x



55





25

，

xy3yz5

即当且仅当

y5x,5z3y

时，等号成立，

故答案为：

25

5

四、双空题

16

．对于函数

g



x



，若

g



x



x

，则称

x

为

g



x



的

“

不动点

”

，若

g



g



x





x

，则称

x

为

g



x



的

“

稳

2

定点

”.

若函数

f



x



xx3

，则

f



x



的

“

不动点

”

为

__________

，将

f



x



的

“

稳定点

”

的集合记为

A

，

∣f



f



x





x

，则集合

A

__________.

即

Ax



【答案】

1,3

；

1,3,3,3

.

【分析】根据不动点、稳定点的定义，通过解方程进行求解即可.

【详解】空一：令

x

2

x3x

，得

x=



1

或

x3

.

2

空二：由

f



x



xx3

，且

f



f



x





x

，得



x

2

x3







x

2

x3



3x

，即

2





x

22



x

2

x3x



0

，也即



x1



x3



x

2

30

，解得

x3x

2

,



xx3)x]





2





A1,3,3,3

.



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