2024年3月5日发(作者：人教版中学数学试卷答案)

1. 设（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，1]都有f(x1x2)f(x1)f(x2).（Ⅰ）设f(1)2,求f(1),f(124);（Ⅱ）证明f(x)是周期函数。2. 设函数f(x)x2|x2|1,xR.（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.

3． 已知函数f(x)2sinx(sinxcosx)（Ⅰ）求函数f(x)

的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数

yf(x)在区间,上的图象22

12

yOx22OO

sin4xcos4xsin2xcos2x4．（本小题满分12分）求函数f(x)的最小正周期、最2sin2x大值和最小值.

6.△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos求出这个最大值

7.设a为实数，函数f(x)xax(a1)x在(,0)和(1,)都是增函数， 求a的取值范围.3

2

22

5．（本小题满分12分）已知f(x)ax3xx1在R上是减函数，求a的取值范围.32

BC取得最大值，并2

8. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;9.已知函数f(x)xaxx1，aR．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；32（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．

2313sinB4cosAsinC，求b.

10.在ABC中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c.已知ac2b，且3

22

〔0,3〔,都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围.(Ⅱ)若对于任意的x

11. 已知函数f(x)x3x6.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；42（Ⅱ）设点P在曲线yf(x)上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数yf(x)的单调增区间；-

e

and

A-13-2ll

thin12ogs128438

in1258

th32y（Ⅲ）画出函数yf(x)在区间[0,]上的图像34784

12. 设函数f(x)sin(2x) (0),yf(x)图像的一条对称轴是直线xx

8

13. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)（Ⅰ）若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（Ⅱ）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围

5

解答：2. 解：（Ⅰ）f(2)3,f(2)7.

由于f(2)f(2),f(2)f(2),故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

581

由于f(x)在[2,)上的最小值为f(2)3,在(,2)内的最小值为f(1)3.

24

12(sin2xcoscos2xsin)12sin(2x)444所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1（Ⅱ）由（Ⅰ）知

xy38188112间[,]上的图象是22

故函数yf(x)在区6

3. 解f(x)2sinx2sinxcosx1cos2xsin2x212故函数f(x)在(,)内的最小值为3.42.38

2xx3,x2,（Ⅱ）f(x)2xx1,x2.

4. 解：f(x)(sin2xcos2x)2sin2xcos2x22sinxcosx1sin2xcos2x2(1sinxcosx)

12(1sinxcosx)114sin2x2. 所以函数f(x)的最小正周期是，最大值是314,最小值是4.

5. 解：函数f(x)的导数：f(x)3ax26x1.

（Ⅰ）当f(x)0（xR）时，f(x)是减函数.

3ax26x10(xR)

a0且3612a0所以，当a3时,由f(x)0,知f(x)(xR)是减函数；

（II）当a3时，f(x)3x33x2x381=3(x13)9,由函数yx3在R上的单调性，可知

当a3时，f(x)(xR）是减函数；

（Ⅲ）当a3时，在R上存在一个区间，其上有f(x)0,所以，当a3时，函数f(x)(xR)不是减函数.综上，所求a的取值范围是

6. 解：由

ABCBC,得22A2,所以有

cosBC2sinA2.

cosA2cosBC2cosA2sinA2

12sin2AA22sin2

2(sinA212)232.7

a3.

当sinA1BC3,即A时,cosA2cos取得最大值.22322

其判别试4a12a12128a.（ⅰ）若128a20,即a222(ⅱ) 若128a0,恒有f\'(x)0,f(x)在(,)为增函数.2即

a(,66)(,).222解得

当x(,x1)或x(x2)时,f\'(x)0,f(x)为增函数;当x(x1,x2)时,f\'(x)0,f(x)为减函数.

依题意x1≥0得x2≤1.由x1≥0得a≥32a,解得 1≤a2

（ⅲ）若128a0,即a32a2a32a2x1,x2.336.2

66a,令f\'(x)0,22

所以

a23,28

所以a6.2当x(,)或x(,)时,f\'(x)0,f(x)在(,)为增函数.23a3

6,2

f\'(x)3x22ax(a21),

7. 解：

由x2≤1得32a,≤3a,解得

2从而

a[1,综上，a的取值范围为,gsaa23，递增；3ll

thin（2）（法一）∵函数f(x)在区间，内是减函数，

in23

thaa23aa23aa23即f(x)在，，递增，递减，33313eiraa23当a3，由f(x)0求得两根为x32

Aaa23aa23，递减，∴

33

21（法二）只需在区间－－）恒成立即可。3x2+2ax+10(,33222210. 解：由余弦定理得令∴只需：g(x)=3x+2ax+1,acb2bccosA，422227a393

∴∴4 a21112g(22。∴b－－2bccos2b，即b02ccos)=3A2a+1aA393∴的取值范围为a[2,+)∵，+10a－－c)032b,b2ag(9e

aa≥2。ndaa

当a2≤3时，≤0，f(x)≥0，f(x)在R上递增；3229. 解：（1）f(x)xaxx1求导：f(x)3x2ax1a232≤33a31≥332

，且a2即

a(,6][1,).2

3，解得：666][,)[1,),222

6).266a.22

由正弦定理及sinB4cosAsinC得2cosAsinBb，2sinC2c11. 解：（Ⅰ）f`(x)4x6x4x(x3令f`(x)0得因此，fx在区间((0,（Ⅱ）设点P(x0,f(x0))，由l过原点知，l的方程为yf`(x0)x，因此f(x0)f`(x0)x，即x03x06x0(4x06x0)0，整理得22(x01)(x02)0，解得x02或x02。所以的方程为y2x或4

6)为减函数。22y2x

666,0)和(,)为增函数；在区间(,)和2223令f`(x)0得x66或0x2212. 解：（Ⅰ）x

8)1,3.466；x0或x228是函数yf(x)的图像的对称轴，sin(24k

2,kZ.

0,（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得

32k,kZ.24235所以函数ysin(2x)的单调增区间为[k,k],kZ.4883（Ⅲ）由ysin(2x)知42k2x10

33,因此ysin(2x).44

66)(x)22

∴bb2，即b4。2

x08－1380581780y121-284382583478x13. 解：（Ⅰ）f(x)2x0的解集为(1,3).f(x)2xa(x1)(x3),且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.①由方程f(x)6a0得ax(24a)x9a0.

in2

their因为方程②有两个相等的根，所以[(24a)]4a9a0，nd12a2a24a1 （Ⅱ）由f(x)ax2(12a)x3aa(x)aa2

e

aa24a1及a0,可得f(x)的最大值为.aa24a10,由 解得

a23或23a0.aa0,

A1解得a1或a.51由于a0,舍去a1.将a代入①得f(x)的解析式5163f(x)x2x.555ll

thin即

5a24a111

be-13-2ing②2

aroe

g1oo32y

故函数yf(x)在区间[0,]上图像是2222

故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(,23)(23,0).12


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