《数学分析3》课程教学大纲

2024年2月27日发(作者：月考数学试卷讲解)

《数学分析3》课程教学大纲

课程名称

课程编码

适用范围

学分数

学时数

其中实践学时

制定单位

执笔者

一、教学大纲说明

（一）课程的性质、地位、作用和任务

《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。本课程以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。

本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，使学生获得数学的逻辑性、严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，使学生获得初步应用的能力,为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。

（二）教学目的和要求

本课程教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。

1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类正常积分、数项级数和幂级数有关概念、性质、计算及应用。

2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理、一般有理函数的不定积分及万能变换、非正常积分、欧拉变換、隐函数定理的证明、函数项级数的一致收敛性、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数、斯托克斯公式。

3、了解——要求能应用基本理论，不要求掌握证明方法；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧。包括各类近似计算问题、上、下极限问题、可积性理论及积分在物理中的应用、数项级数的拉贝判别法，傅里叶级数的收敛定理的证明、n重积分与反常二重积分、复变量的指数函数与欧拉公式、场论初步，流形上的微积分。

（三）课程教学方法与手段

本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。由于本课程具有强烈的几何背景，结合培养目标，教学过程可恰当地使用现代教育技术手段，把传统的板书与现代化手段相结合，重要的定理、图表、数学分析3

131500008 课程类型

院级课程

4 先修课程

64 其中实验学时

考核方式

数学与信息科学学院

审核者

学科基础课程库

初等数学

考试

图像制成多媒体，利用黑板进行问题分析与推理。另外由于本课程与数学应用联系密切，课程的教学中可适当介绍数学实验以及数学建模的基础内容，提高学生应用数学建模方法来解决各种实际问题的能力。

（四）课程与其它课程的联系

《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。因此要学习本课程，需先修初等数学，而本课程的多元微积分部分需运用空间平面、直线等有关知识，故需先修空间解析几何知识。而后继课程包括：常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、点集拓扑、概率论与数理统计、物理学及其他应用数学相关课程。

（五）教材与教学参考书

教材：华东师范大学数学系，《数学分析》(第四版)(上、下册)，高等教育出版社，2010年

教学参考书：1、邓东皋、尹小玲，《数学分析简明教程（第2版）》（上、下册），高等教育出版社，2010年

2、陈纪修，《数学分析》（第二版）（上、下册），高等教育出版社，2004年

3、Г．М．菲赫金哥尔茨，《微积分学教程（第1卷）》（第8版）、《微积分学教程（第2卷）》（第8 版）、《微积分学教程（第3卷）》（第8版），高等教育出版社，2006年

4、James Stewart，《微积分》（第5版）（上、下册），高等教育出版社，2004年

5、毛羽辉、韩士安、吴畏，《数学分析学习指导书》（第四版）（上、下册），高等教育出版社，2011年裴礼文，《数学分析中的典型问题与方法》（第2版），高等教育出版社，2006年

二、课程的教学内容、重点和难点

第十三章 函数列与函数项级数

教学内容：函数列与函数项级数一致收敛性的概念、判别与性质。

重点：函数列与函数项级数一致收敛性的概念（注：对于不以实变函数为后继课程的非师范类学生可作为一般內容），函数项级数一致收敛的M判别法，一致收敛的函数列的极限函数与函数项级数的和函数的连续性、可积性与可导性。

难点：一致收敛性的概念，一致收敛函数项级数的和函数的连续性、可积性与可导性。

第十四章 幂级数

教学内容：幂级数的收敛半径、收敛域与和函数，幂级数的性质，函数在x 处的幂级数展开。

重点：幂级数的收敛半径与收敛域的求法，幂级数的主要性质，利用逐项积分与逐项求导求某些幂级数的和函数，几个重要函数的幂级数展开式，将函数展开成幂级数的方法。

难点：幂级数的收敛区间端点处的性质，初等函数幂级数展开式收敛性的证明。

第十五章 傅里叶级数

教学内容：正交函数系与三角级数，函数展开成各类型的傅里叶级数及其收敛性。

重点：函数在区间 上展开成傅里叶级数与在 上展开成正、余弦级数及其收敛情况。

难点：收敛性定理及其证明。

第十六章 多元函数的极限与连续

教学内容：R 空间上的完备性定理，二元函数与多元函数，二重极限与累次极限，二元函数的连续性与有界闭区域上连续函数的性质。

重点：邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的极限求法，二元函数极限存在性的证明，重极限与累次极限的关系。

难点：R 空间上的完备性定理，二元函数重极限存在判别及求法。

第十七章 多元函数微分学

教学内容：多元函数的可微性与全微分，偏导数与高阶偏导数，多元复合函数求偏导数的链式法则，方向导数与梯度，二元函数的中值公式与中值定理，泰勒公式，二元函数的极值问题，多元

函数的最值问题。

重点：二元函数的可微性、全微分概念，一阶全微分形式不变性，二元函数的偏导数及高阶偏导数的概念及求法，方向导数的概念与求法，梯度的概念及意义，二元函数的极值与判定，曲面的切平面与法线。

难点：全微分概念与可微性判定，二元函数的中值公式与中值定理，泰勒公式。

第十八章 隐函数定理及应用

教学内容：隐函数、隐函数组、反函数组的概念、存在性与求（偏）导法，平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值问题。

重点：隐函数、隐函数组、反函数组的存在条件与求（偏）导法，雅可比行列式，平面曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线，用拉格朗日乘数法解条件极值问题。

难点：隐函数、隐函数组、反函数组的概念，反函数组与坐标变換的关系，条件极值的概念。

三、学时分配

教学内容

章节

十三

十四

十五

十六

十七

十八

四、课内实践教学安排

无

主要内容

函数列与函数项级数

幂级数

傅里叶级数

多元函数的极限与连续

多元函数微分学

隐函数定理及其应用

合计

各教学环节学时分配

学时

讲授 实验 讨论 习题 实践 其它

分配

10

8

10

12

14

10

64

8

8

8

10

12

8

54

2

2

2

2

8

2

2

采用何种多媒体

教学手段

部分内容采用PPT

部分内容采用PPT

部分内容采用PPT

部分内容采用PPT

部分内容采用PPT

部分内容采用PPT