小学数学竞赛三十八 逆推法

2024年4月9日发(作者：城北高考数学试卷及答案)

三十八 逆 推 法

在解数学问题时，除了可以采用从已知条件出发顺着推出所需结果的

方法外，还可以采用从结果出发，按照题目中所叙述过程的相反顺序来思

考问题．特别是在顺着推不太容易时，逆着推有时能帮助我们迅速解决问

题．

问题38．1 王奶奶卖鸡蛋，第一次卖去篮子里鸡蛋的一半又半个，第二

次又卖去了剩下鸡蛋的一半又半个，篮子里还有一个鸡蛋，问王奶奶原来

共有多少个鸡蛋？

分析 乍一看，因为鸡蛋无法卖半个，会以为这个问题不妥．其实仔细推

敲一下就会发现这是一个正确而有趣的问题．例如3个鸡蛋卖去一半又半

个即卖去了2个鸡蛋．

从第一次卖出了多少个鸡蛋出发去求解本题是无法进行的，现从第二

次卖出鸡蛋后的情形出发逆推回去．由于最后还剩下1个鸡蛋，所以第二

次卖的鸡蛋数为：

这说明第一次卖后剩下的鸡蛋数为：

2+1=3．

第一次卖的鸡蛋数为：

所以，原来所有的鸡蛋数为：

4+3=7．

问题38．2运动会连续开了四天，组织者事先准备了一批奖章．第一

多少枚奖章？

解 从第四天发的奖章数逆推回去．因为第四天发了4枚奖章，由题意，

第三天之前的奖章数为：

第二天之前的奖章数为：

第一天之前的奖章数为：

所以，组织者事先准备了16枚奖章．

问题38．3海滨山崖上一棵蟠桃树是5个猴子的共同财产．蟠桃熟了，第

一个猴子来了，它将树上的桃子分成相等的5份，多出一个扔进海里，然

后摘下四份去找其它的猴子．第二个猴子来了，又将树上剩下的桃子分成

5份，多出一个扔进海里，然后摘下四份去找其它的猴子．第三、第四、

第五个猴子都照前面办理．第五个猴子走后，树上只剩下一个桃子．问最

初树上有多少个桃子？

逆推法也可以用来解一些游戏问题．

问题38．4甲、乙两个从1开始轮流报数，每人每次都在前一个人报过的

数后的连续三个自然数中任报一个数，谁报到30谁就获胜．甲先报数（可

在1、2、3三数中任报一个）．问甲、乙谁能获胜，确保获胜的方法是什

么？

分析 我们从最后一次报到30出发，来逆推报数的过程．

如果“某人”最后能报到30，那么他就必须使“对手”在此之前只

能报27、28或29三个数之一．按照轮流报数的规则“某人”只要在最后

一次报数之前的一次报数中能报到26就行了．对于“某人”来说，能否

抢报到数26是能否获胜的关键一步，我们把26称为一个“关键数”．仿

照上面的分析知26之前的关键数是22．倒推回去可得到所有的关键数如

下：

30，26，22，18，14，10，6，2．

这说明，如果“某人”先报数，则“某人”有绝对获胜的办法；如果

“某人”后报数，而对手又没有报错数，则“某人”必败无疑．

由上面的分析可知，甲获胜．甲确保获胜的方法是

（1）先报2；