2024年4月7日发(作者：数学试卷分析检验士考试)

解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧

性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能

力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。

一、区域涂色问题

1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。

例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种

颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

①

②

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方

法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的

涂色方法有

5434240

2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理

求出不同的涂色方法种数。

例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不

能同色。

分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：

（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有

A

4

；

（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有

A

；

（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有

A

；

4

4

4

4

4

4

③

④

⑤

⑥

②

①

③

④

（4）③与⑤同色、②与④同色，则有

A

4

；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有

A

4

；

所以根据加法原理得涂色方法总数为5

A

4

=120

例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要

求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？

分析：依题意至少要用3种颜色

1)当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，

2

2)区域3与5必须同色，故有

A

4

种；

1

3

4

4

3

1

4

5

3)

4)

当用四种颜色时，若区域2与4同色，

则区域3与5不同色，有

A

4

种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，

有

A

4

种，故用四种颜色时共有2

A

4

种。由加法原理可知满足题意的着色方

法共有

A

4

+2

A

4

=24+2

24=72

34

44

4

3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入

手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。

例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一

种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同

的涂色方法？

分析：可把问题分为三类：

21

4

（1）四格涂不同的颜色，方法种数为

A

5

；

（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只

有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为

12

2C

5

A

4

；

34

5)两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为

A

5

，

因此，所求的涂法种数为

A

5

2C

5

A

4

A

5

260

2122

2

4、根据相间区使用颜色的种类分类

例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一

区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色

可

A

1

解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，

有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，

此时，B、D、F各有3种着色方法故有

4333108

种方法。

22

C

D

E

F

B

A

（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有

C

3

A

4

种着色方法，此时B、

D、F有

322

种着色方法，故共有

C

3

A

4

322432

种着色方法。

（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有

A

4

种着色方法，此时B、D、

F各有2种着色方法。此时共有

A

4

222192

种方法。

2

3

3

22

故总计有108+432+192=732种方法。

说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。

如：如图，把一个圆分成

n(n2)

个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四

色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？

解：设分成n个扇形时染色方法为

a

n

种

（1）当n=2时

A

1

、

A

2

有

A

4

=12种，即

a

2

=12

2

A

1

A

2

A

n

A

4

A

3

A

3

（2）当分成n个扇形，如图，

A

1

与

A

2

不同色，

A

2

与

A

3

不同色，

，

A

n

1

与

A

n

不同色，共有

4

3

n

1

种染色方法，但由于

A

n

与

A

1

邻，所以应排除

A

n

与

A

1

同色的情形；

A

n

与

A

1

同色时，可把

A

n

、

A

1

看成一个扇形，与前

n2

个扇形加在一起为

n1

个扇形，此时有

a

n

1

种染色法，故有如下递推关系：

a

n

4

3

n

1

a

n

1

a

n



a

n

1

4

3

n

1



(

a

n

2

4

3

n

2

)

4

3

n

1

a

n

2

4

3

n

2

4

3

n

1



a

n

3

4

3

n

3

4

3

n

2

4

3

n

1

4

[3

n

1

3

n

2

(

1)

n

3]

(

1)

n

3

3

n

二、点的涂色问题

方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨

论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例6、将一个四棱锥

SABCD

的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异

色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的

四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D

分别同色，故有

C

5

A

4

60

种方法。

（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，

3

12


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