2023年12月24日发(作者：广西17年高考数学试卷)

思想方法一、函数与方程思想

方法1 构造函数关系，利用函数性质解题

根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。

232352525例1 （10安徽）设a(),b(),c(),则a,b,c的大小关系是（ ）

555A.acb

B.abcC.cabD.bca

例2 已知函数f(x)12xax(a1)lnx,a1.

2（1） 讨论函数f(x)的单调性；

（2） 证明：若a5,则对任意x1,x2(0,),x1x2,有

f(x1)f(x2)1.

x1x2方法2 选择主从变量，揭示函数关系

含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。

例3 对于满足0p4的实数p，使xpx4xp3恒成立的x的取值范围是 .

2方法3 变函数为方程，求解函数性质

实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

例4 函数f(x)sinx(0x2)的值域是（ ）

54cosx11B.,3311C.,2222D.,33

11A.,44

思想方法二、数形结合思想

方法1 函数与不等式问题中的数形结合

研究函数的性质可以借助于函数的图像，从函数图像上能直观地观察单调性、周期性、对称性等性质。不等式问题与函数的图像也有密切的联系，比如应用二次函数的图像解决一元二次不等式，就体现了数形结合的思想方法。因此，解决不等式问题要常联系对应的函数图像，利用函数图像，直观地得到不等式的解集，避免复杂的运算。

例1 （10新课标全国卷）已知函数f(x)1取值范围是（ ）

lgx,0x10,x6,x10.2若a,b,c互不相等，且f(a)f(b)f(c),则abc的A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

3x6,x2,若不等式f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是 . 变式：函数f(x)2xx2,x2.方法2 解析几何中的数形结合

解析几何是用方程研究曲线的问题，蕴含着丰富的数形结合思想，往往要先把题目中的几何语言转化为几何图形，然后再结合这种图形（一般为曲线）的几何特征，用代数语言即方程表现出来，从而用代数的方法解决几何问题。

x2y20例2 已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且ab只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.(1,2]B.(1,2)C.[2,)D.(2,)

例3 已知P为抛物线y12，则PAPM的（2,0）x上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标为4方法3 参数范围问题中的数形结合

最小值是 .

如果参数具有明显的几何意义，那么可以考虑应用数形结合思想解决问题。一般地，常见的对应关系有：（1）ykxb中的k表示直线的 ，b表示直线在 轴上的 ；

（2）bn表示连接(a,b)和(m,n)两点直线的 ；

am22（3）(am)(bn)表示两点(a,b)和(m,n)之间的 ；

\'（4）导数f(x0)表示曲线在点(x0,f(x0))处的 。

利用这些对应关系，由数想形，可以巧妙的利用几何法解决。

例4 若直线ykx1与圆xy1交于P、Q两点，且POQ120（其中O为原点），则k的值为（ ）

220A.3或3B.3C.2或2D.2

39变式：直线ykx3与圆(x)2(y3)2交于M、N两点，若MN33，则k的取值范围值是（ ）

2243A.,0433B.,33C.3,32D.,03

思想方法三、分类讨论思想

方法1 概念分类型

有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整得解决问题。

例1 若函数f(x)axa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是

x

方法2 运算需要型

分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论.

例2 设函数f(x)x\'392x6xa.

2（1） 对于任意实数x,f(x)m恒成立，求m的最大值.

（2） 若方程f(x)0有且仅有一个实数，求a的取值范围.

方法3 参数变化型

很多问题中参数的不同取值会对结果产生影响，因此，需要对参数的取值进行分类，常见的问题有：含参不等式的求解；解析式中含有参数的函数的性质问题；含参二元二次方程表示的曲线类型；参数的几何意义等.

（x+ax2a3a）e(xR),其中aR. 例3 已知函数f(x)（1） 当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2） 讨论函数f(x)的单调性.

22x思想方法四、转化与化归思想

方法1 抽象问题与具体问题化归

具体化原则，就是把一些抽象问题化归为具体问题，从而解决问题.一般地，对于抽象函数、抽象数列等问

题，可以借助于熟悉的具体函数、数列等知识，探寻抽象问题的规律，找到解决问题的突破口和方法.

例1 若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列说法一定正确的是（ ）

A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数

方法2 一般问题与特殊问题化归

数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性.解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题.其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化，降低难度，然后解这个特殊（或一般）性的问题，从而使原问题获解.

e4e5e6,,（其中e为自然常数）的大小关系是（ ） 例2

162536e4e5e6A.162536e6e5e4B.362516e5e4e6C.251636e6e4e5D.361625

方法3 正向思维与逆向思维化归

逆向思维能力是指从正向思维序列到逆向思维序列的转换能力.如果经常注意对问题的逆向思考，不仅可以加深对可逆只是的理解，而且可以提高思维的灵活性.

例3 已知集合Ayy(aa1)ya(a1)0,Ayy6y80，若A取值范围为 .

2222B0，则实数a的

方法4 命题与等价命题化归

有的命题若直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为他的等价命题，往往柳暗花明.解题时要注意命题与等价命题的转化，尤其是原命题与逆否命题的转化.

例4 设函数f(x)x3bx3cx有两个极值点x1、x2,且x11,0,x21,2.

32（1）求b,c满足的约束条件； （2）证明：10f(x2).

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