第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第一试

2023年12月17日发(作者：高考 上海 数学试卷)

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第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第一试

〔分析与讨论〕这一题如果直接计算，需要先通分，公分母很大，最后还要约分．所以应该寻找像上面这样较简捷的算法．

2．说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？

〔解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2〔可以是零个，下同〕，至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子

〔1＋2＋4＋8〕×〔1＋3＋9〕×〔1＋5〕

展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于

〔1＋2＋4＋8〕×〔1＋3＋9〕×〔1＋5〕

=15×13×6=1，170

答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。

〔分析与讨论〕把360的24个约数都列出来的做法是相当费时间的，因而是不可取的。有的同学先把这些约数分类，例如按能否被2，4或8整除来分类，这样可以简化一些。如果再考虑能否被3，9或5整除，即考虑所有质数幂因数，那就可以最终简化成上面的方法了。这是数论中常用的一种技巧。

3．观察下面数表〔横排为行〕：

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在这一行中，它位于由左向右的第几个？

〔解〕我们先注意，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．由此可以看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1。

其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，…，即自左起第几个数的分母就是几。

4．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．

〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块〔增加了2块〕，否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同〔即没有3条直线交于一点〕，则将圆形纸片划分成7块〔增加了3块〕，否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形

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由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数。〔为什么？〕这样划分出的块数，我们列个表来观察：

直线条数纸片最多划分成的块数

11＋1

21＋1＋2

31+1+2+3

41+1＋2+3+4

51＋1＋2+3+4+5

……

不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。〔为什么？〕我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50？我们知道

1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。

答：至少要画10条直线。

5．某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，更立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？

〔解〕我们先画一个图如下，其中A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点．

的距离的2倍．汽车从A到C用了40分种÷2＝20分钟，而劳模从1点钟开始步行，从B走到C一共用了1小时+20分钟=80分钟，是20分钟. .

的4倍。这就是说，劳模走汽车的一半路程，用了4倍于汽车的时间．因此汽车的速度是劳模步行速度的4×2=8〔倍〕

答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。

6．在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子．一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚．当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

其中最后取的是黑子前面的一个子〔即反时针方向第一个子〕．这时还剩下995枚白子．下一次取走黑子后面一个子〔即顺时针方向第一个子〕．由于995是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，〔为什么？〕共

=249枚白子，还剩下248枚白子．由于248是偶数，第四圈操作最后取走黑

答：圆周上还剩下124枚白子。

〔分析与讨论〕在上面的讨论中我们看到了这样的规律：除第一圈操作取走白子的一半外，以后每圈操作有两种可能情形：

甲〕若白子数是奇数，则取走棋子数的一半，且不取走黑子；

乙〕若白子数是偶数，则取走白子数的一半，并且最后取走黑子。

这样我们只需要依次检查每圈操作后剩下的白子数就行了。有兴趣的同学不妨试做下面几个问题：

1〕若先从黑子起按顺时针方向数200个棋子，再开始每隔一枚取走一枚的操作，答案应该是什么？

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2〕若把1990换成2046，答案应该是什么？

3〕若改为每隔两枚棋子取走一枚，答案应该是什么？

下向一个问题就难些了：

4〕在黑子取走后仍继续操作，最后剩下的棋子是哪一枚？

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