高等数学2_习题集(含答案)

2024年1月3日发(作者：数学试卷哪部分题最难)

《高等数学2》课程习题集

【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题1

120212101536的值。

1. 计算 行列式D31242.

1计算行列式D231458220145的值。

2313.

1用范德蒙行列式计算4阶行列式D413917491515的值。

4166427343125

a114. 已知a21a31a12a22a32a13a11a12a13a232， 计算：10a2110a2210a23的值。

a33a31a32a335.

01计算行列式

D1的值。

10第 1 页 共 72 页

36. 计算行列式6 的值．

87.

3计算行列式D26的值。

23的值．

410920341207128. 计算行列式D34a19. 已知a2a3b1b2b3c1a3c210，求a1c3a2xab3b1b2c3c1的值．

c2ax10. 计算行列式Dnaaaa的值。

x11.

32005300设矩阵A，求A1。

00340012

12.

111求A121的逆．

11313.

设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求(A*)1。

第 2 页 共 72 页

520014. 求矩阵A21000012的逆。

0011

14315. 求A153的逆矩阵。

164410016. 求矩阵A32000021的逆。

003211117. 求A113的逆矩阵。

232

18.

112求矩阵A210的逆．

101119. 求矩阵A12235的逆。

324

1122120. 设矩阵A0215120313，求矩阵A的秩R(A)。

1104121.

求向量组1,2,3,4的秩，其中，1(1,0,1)，2(2,3,1)，4(3,2,4)。

第 3 页 共 72 页

3(2,1,1)，

111122. 求矩阵A1123的秩。

2250110100123. 求矩阵A1110110的秩。

221101124.

10求矩阵A=101

001001的秩。

11102031425. 求矩阵A=35427的秩。

15201

1026. 求矩阵A=01

100110的秩。

01100127. 求向量组α1、α2、α3的秩，并求一个最大无关组。其中α1=（1，2，-1，4）T，α=（9，100，10，4）T，α=（-2，-4，2，-8）T。

2328.

求向量组α1、α2、α3的秩，并求一个最大无关组。其中α1=（1，2，1，3）T，α2=（4，-1，-5，-6）T，α3=（1，-3，-4，-7）T。

29. 判断向量1(1,2,3)，2(4,5,6)，3(7,8,9)是否线性相关．

第 4 页 共 72 页

1201330. 给定

A(Ab)21111

01002问：该线性方程组几个方程，几个未知量？写出原方程组．

31. 试判别二次型

22x24x1x24x2x3

f(x1,x2,x3)2x1是否正定．

32. 计算排列3 2 1 4 5和3 4 1 2 5的逆序数，并说明奇偶性。

33. 求满足下列等式的矩阵X．

1124332X

311113



34. A为任一方阵，证明AAT，AAT均为对称阵．

35. 设三阶行列式为

101

D120

132求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13．

36. 设矩阵

120123

A

B011

212301 求AB．

37. 已知

第 5 页 共 72 页

1123113

A

B3011

1212212 求(AB)T和BTAT

38. 用初等变换法解矩阵方程 AX=B 其中

11111

A022

B11

1102139. 把向量用1，2，3表出．

其中1(1,3,2)，2(3,2,1)，3(2,5,1)，(4,11,3)

40. 已知



ab2101bc10，求a,b,c,d的值。

cd41.

设向量组1，2，3可由向量组1，2，3线性表示。

11232123

1233试将向量1，2，3 由

1，2，3线性表示。

42. 证明：

1、若1，2，3 线性无关，则12，23，31线性无关。

2、若1，2，3，4线性无关，则

12，23，34，41线性相关。

43. 求i,j使25i4j1为偶排列。

44. 判断向量1(2,3,0)，2(1,4,0)，3(0,0,2)是否线性相关。

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45. 解矩阵方程AXB，其中

2533

A362，

B1

2434

46. 设A的特征值为11,22，对应的特征向量分别为

10011,21， 求A，A．

10

47. 写出四阶行列式中带有负号并含有因子a24的项。

12112222AB48. 已知34，24，求A，B，AB，(AB)(AB)。

49. 求与10可交换的一切矩阵。

1150. 当()时，

x1x32xx14x1x2x32x30000 有非零解。

51. 证明：若方阵A与B相似，则有AB。

52. 求排列13(2n1)24(2n)的逆序数。

53. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。

54. 若A为n阶方阵且AATE，证明A1或1。

55. 解矩阵方程AXB，其中

120145

A121，

B231213

第 7 页 共 72 页

112，验证A2A。

56. 已知A21122

57. 求向量组

1(1,2,3,4)，2(2,4,6,8)，3(3,6,9,12)

的一个极大无关组．

58. 求i，j使8i351j27为奇排列。

59. 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。

(1) A出现，B、C不出现；

(2) A、B都出现，而C不出现；

(3) 所有三个事件都出现；

(4) 三个事件中至少一个出现；

(5) 三个事件中至少两个出现；

(6) 三个事件都不出现；

(7) 不多于一个事件出现；

(8) 不多于两个事件出现；

(9) 恰有一个事件出现。

60. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

61. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

62. 在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件：

(1)AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC；（6）BC

63. 袋中有6只形状大小轻重完全一样，但颜色不同的乒乓球，其中4只是白色，2只是红色，问从袋中任取一只是白球的概率为多少？

64. 写出下列随机试验的样本空间：

第 8 页 共 72 页

1. 一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；

2. 对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；

3. 二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况；

4. 袋中装有5只白球，2只红球，采用有放回抽样，每次抽一只，记录首次抽到红球时，抽球的次数。

65. 任意把6只手表放在货柜架上，求其中指定的二只被放在一起的概率是多少？

66. 计算下列各题：

1. 二人独立去破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为,11，求能将此密码破54译的概率为多少？

2. 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任意一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。

67. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

1、A发生，B与C不发生；

2、A，B，C都发生；

3、A，B，C中不多于一个发生。

68. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，…，9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。

69. 写出下列随机试验的样本空间：

①一袋里有四个球,它们分别标号1,2,3,4。从袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球,记录两次取球的结果。

②将①的取球方式改为第一次取球后放回袋中再作第二次取球,记录两次取球的结果。

③将①的取球方式改为一次从袋中任取两个球,记录取球的结果。

70. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。

71. 某人坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4。如果他坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到的概率为0.3；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到（迟到的概率为0）。现在这人迟到了，推测他坐哪种交通工具来的可能性大。

72. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。试用A、B、C的运算关系表示下列事件：

第 9 页 共 72 页

（1）至少有一人命中目标

（2）恰有一人命中目标

（3）恰有二人命中目标

（4）最多有一人命中目标

（5）三人均命中目标

73. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。

74. 设A，B，C是三事件，且P(A)P(B)P(C)14，P(AB)P(BC)0，P(AC)18，A，B，C至少一个发生的概率。

75. 有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑处一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

76. 一本500页的书，印刷上共有500个错字，每个错字可能出现在每一页上，试求在指定的一页上至少有3个错字的概率。

277. 若K为服从[0，5]上均匀分布的一个随机变量，求方程4x4KxK20的两个根都为实根的概率。

78. 设连续型随机变量X的分布函数为

x2F(x)ABe02x0x0

求（1）系数A及B；（2）X的概率密度f(x)；（3）X的取值落在（1，2）内的概率。

79. 假设X是连续随机变量，其密度函数为

2cx,0x2

f(x)

0,其他求：（1）c的值；（2）P(1X1)

第 10 页 共 72 页

80. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数F(x,y)A(Barctanx)(Carctany)，求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(x),(y)．

81. 设随机变量X的分布函数为

0,x1

FX(x)lnx,1xe

1,xe（1） 求P{X2},P{0X3},P{2X52}；（2）求概率密度fX(x)

82. 设Ｘ服从参数为的指数分布，即Ｘ有密度函数

xe,x0f(x)

其他0,求：E（X），E（X）。

283. 搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1et（λ>0），求为了发现沉船所需的平均搜索时间。

84. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：

（1）同一时刻有8100户以上用电的概率；

（2）若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？

标准正态分布部分表

Z

1.8

1.9

2.4

2.5

第 11 页 共 72 页

0 1 2 3 4 5 6 7

0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

ex85. 设X的概率密度为f(x)2xe2

x0，试求|X|的数学期望。

x086.

X*XE(x)称为对随机变量X的标准化

D(x)**随机变量，求E(X)及D(X)。

1x1x087. 设随机变量X的概率密度为f(x)1x0x1，求E(X)，D(X)。

0其它

88. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s=7200（小时）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02）?

（查表见后面的附表）

概率论与数理统计附表

标准正态分布部分表

Z

1.8

1.9

2.4

2.5

χ分布部分表

n a=0.995 a=0.99 a=0.05 a=0.025 a=0.01 a=0.005

2220 1 2 3 4 5 6 7

0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

第 12 页 共 72 页

24

25

26

9.886

10.520

11.160

10.856

11.524

12.198

36.415

37.652

38.885

39.364

40.646

41.923

42.980

44.314

45.642

45.559

46.928

48.290

常用抽样分布

UXnXS/n~N(0,1)

T~t(n1)



2(n1)S22~2(n1)

89. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。

（查表见后面的附表）

概率论与数理统计附表

标准正态分布部分表

Z

1.8

1.9

2.4

2.5

χ分布部分表

n

24

25

26

a=0.995

9.886

10.520

11.160

a=0.99

10.856

11.524

12.198

a=0.05

36.415

37.652

38.885

a=0.025

39.364

40.646

41.923

a=0.01

42.980

44.314

45.642

a=0.005

45.559

46.928

48.290

20 1 2 3 4 5 6 7

0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

第 13 页 共 72 页

常用抽样分布

UXnXS/n~N(0,1)

T~t(n1)



2(n1)S22~2(n1)

90. 某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ,σ2均未知，现测得16只元件，其样本均值为x241.5，样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？

T分布表

N

13

14

15

16

常用抽样分布

a=0.25

0.988

0.6924

0.6924

0.6901

a=0.10

1.502

1.3450

1.3406

1.3368

a=0.05

1.7709

1.7613

1.7531

1.7459

a=0.025

2.1604

2.1448

2.1315

2.1199

UXnXS/n~N(0,1)

T~t(n1)



2(n1)S22~2(n1)

91. 某种工件长度服从正态分布，总体均值为2000毫米。从一批这种工件中抽取25第 14 页 共 72 页

根，测得工件长度的样本均值为x1920毫米，样本标准差s=150毫米，检验这批工件是否合格（a=0.01）。

函数(x)21xet22dt部分数值表

x

1.6

1.7

…

…

…

3

0.9484

0,9582

4

0.9495

0.9591

5

0.9505

0.9699

6

0.9515

0.9608

7

0.9525

0.9616

…

…

…

对应于概率P(tta)a及自由度n的ta数值表 常用的统计量

n a ….

23

24

25

….

….

….

0.01 0.005 ….

2.50 2.81

2.49 2.80

2.48 2.79

….

….

….

Ux/nxs/n

T

92. 求总体分布密度为

2(x)0xf(x)2

0其它X1,X2,,Xn为一组样本，求参数λ的矩法估计，并分析估计值的无偏性是“无偏的”还是“有偏的”。

93. 一计算机网络中有300台计算机，每台计算机在网络上传输信息占用带宽为10MB（兆字节），各台计算机传输信息为相互独立的，并且对线路占有率为0.08。现要多宽频带（MB）传输线路，才能保证各台计算机在传输信息时使用率达到0.95（计算结果保留整数）。

第 15 页 共 72 页

函数(x)21xet22dt部分数值表

x

1.6

1.7

…

…

…

3

0.9484

0,9582

4

0.9495

0.9591

5

0.9505

0.9699

6

0.9515

0.9608

7

0.9525

0.9616

…

…

…

对应于概率P(tta)a及自由度n的ta数值表 常用的统计量

n a ….

23

24

25

….

….

….

0.01 0.005 ….

2.50 2.81

2.49 2.80

2.48 2.79

….

….

….

Ux/nxs/n

T

94. 设有一批产品。为估计其废品率p，随机取一样本X1，X2，…，Xn，其中

0取得合格品 （i=1,2,…,n）

Xi1取得废品1nˆXXi是p的一致无偏估计量。

则pni195. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）

标准正态分布部分表

Z

1.8

1.9

2.4

2.5

常用抽样分布

0 1 2 3 4 5 6 7

0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693

0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756

0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949

UXn~N(0,1)

TXS/n~t(n1)

2(n1)S22~2(n1)

第 16 页 共 72 页

296. 设X1,,Xn是来自N（，2）的样本，求，的最大似然估计。

97. 设总体X在[a,b]上服从均匀分布

1

f(x,a,b)ba0x[a,b]x[a,b] ，试求参数a,b的矩法估计量。

二、计算题2

98. 设f(x)为x 的三次多项式，已知f(0)0,f(1)1，f(2)4，f(1)1，求f(x)。

x1x22x3399. 求线性方程组的解：x13x2x31

2x2x32

100. 求解下列线性方程组：

x12x2x33x4x52

2x14x22x36x43x56

x2xxx3x412345

101. 当a、b为何值时，线性方程组

x1x2x3x4x5a3x2xxx3x012345

x2x2x6xb23455x14x23x33x4x52有解，当其有解时，求出其全部解。

第 17 页 共 72 页

x12x25x32x40102. 求解齐次线性方程组2x1x23x35x40

5x7xx0124103. 求解下列线性方程组：

x1a1x2a12x3a1n1xn12n1x1a2x2a2x3a2xn1

xaxa2xan1x1n2n3nn1其中，aiaj

ij,i,j1,2,,n.

104. 求解齐次线性方程组

x1x2x3x402x15x23x32x40

7x7x3xx02341105. 求解齐次线性方程组

2x1x23x35x45x50x1x2x34x43x50

3xx5x6x7x503412

106. 求非齐次线性方程组

x1x2x3x41x1x2x33x45的通解。

2x2x2x6341107. 求解非齐次线性方程组

2x14x25x33x473x16x24x32x47

4x8x17x11x212341211108. 求A031的特征值与特征向量．

213

第 18 页 共 72 页

422109. 求方阵

A202 的特征值和相应的特征向量。

111111110. 求方阵

A131 的特征值和相应的特征向量。

111111. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵。

222

f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x24x1x38x2x3

112. 设矩阵

011A101

110求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P．

113. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵。

22x24x1x24x2x3

f(x1,x2,x3)2x1114. 设矩阵

101A011

112求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。

答案

一、计算题1

1. 解：

第 19 页 共 72 页

2. 解：

第 20 页 共 72 页

3. 解 ：

对照范德蒙行列式，此处

a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5

所以有

a11a12a134. 解：原式=10a21a22a2310220

a31a32a33

5. 解：

6. 解：对于行列式，使用性质进行计算。

第 21 页 共 72 页

3有

6（第3列减第2列）

8199119921199419951（第2列减第1列）

9111199411（由于2，3列对应相等）

199711=0

7. 解：因为第三列中有三个零元素，按第三列展开，得：

3

D2*（-1）2+32085

1670对于上面的三阶行列是，按第三行展开，得：

D-2*5*（-1）3+33216=-200

8. 解

1（第2行乘以1加到第1行，第3行乘以1加到第1行，第4行乘以D341241231加到第1行）

第 22 页 共 72 页

111110234134124123行乘以（-4）加到第4行）

（第1行乘（-2）加到第2行，第1行乘以（-3）加到第3行，第111110121（第2行乘以（-1）加到第3行，第2行乘以3加到第4行）

10012103211110010011100100

12412011041104

（第3行乘以1加到第4行）

0040041011(4)(4)=160

9. 解：

a3a1a2

b3b1b2b1b3b2c3c1

c2c1c3

c2b1b2b3c1c2

c3a1a3a2

a1(1)2a2a310

10. 解：

第 23 页 共 72 页

axDnaaxaaa（把其它列都加到第1列）

xxa(n1)xa(n1)xa(n1)axaaax

ax(xa(n1))1a11aa(第1行减去其它行)

x1(xa(n1))aa0

0xa00xa(xa(n1))(xa)n1

11. 解：

=1

=2

第 24 页 共 72 页

于是

12. 解：

13. 证： 因为A可逆，所以|A|≠0，

且*

-1 于是有 A=|A|A

对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得

|A|=||A|A| =|A||A|

*-1n-1第 25 页 共 72 页

又因

|A|≠0 （∵A可逆，由定义知A可逆）

∴|A|≠0

所以A是可逆的．

再由（1）式，即

**-1-1

可知

14. 解：

令 ，于是

则

用伴随矩阵极易写出

15. 解：利用初等变换法

第 26 页 共 72 页

143100AE153010

164001……

100223010110

00112123所以A12110

12116. 解：可以利用分块矩阵的性质来求，

取A14132，

A22132

于是有

AA100A

2根据分块矩阵逆的性质，则

A1A110

0A12用伴随矩阵法容易求出A1，A112，即

A111521342515123545，A23

251500所以A13545000021

0032

17. 解：利用初等变换法

111AE100113010

132001……

第 27 页 共 72 页

12

100111201022021

001512211112所以A12202

115221

18. 解：用伴随矩阵法来求，因为

A*112214

113而

112A21010

101由

A11*AA

12

111214

113211214

113

19. 解：用初等行变换来求，因为

1121001235010032400102A101721

511

第 28 页 共 72 页

002107015012111

20. 解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有

最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3

21. 解：把排成 的矩阵A

这是一个\"下三角形\"矩阵

11111111122. 解：A112300322250003200

所以，r(A)=2

第 29 页 共 72 页

111032000

23.

001解：因为11010， A有3阶非零子式

011所以r(A)=3

10024. 解：因为01010， A有3阶非零子式

101所以r(A)=3

25.

2012031415A3542702022415201010112

1520101011200000

所以r(A)=2

1026. 解：A=0110011100001100101001110000110110100110

011000

所以r(A)=3

27. 解：把矩阵A=(α1，α2，α3)用初等行变换化成行最简形：

第 30 页 共 72 页

92192192192121004 （α1，α2，α3）=11020100100004480320010000 所以r(A)=2，α1、α2为其一个最大无关组。

28.

解：把矩阵A=（α1，α2，α3）用行初等变换化成行最简形：

114114114213095095 （α1，α2，α3）=15409500036701810000所以r(A)=2，α1、α2为其一个最大无关组。

29. 解：因为

系数行列式为0．所以

线性相关．

30.

x12x2x43解：3个方程，4个未知量， 原方程组为：

2x1x2x3x41

x22

31. 解：

其顺序主子式

第 31 页 共 72 页

∴f不是正定二次型．

32. 解：

N（3 2 1 4 5）=2+1=3

N（3 4 1 2 5）=2+2=4

可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列；

5级排列3 4 1 2 5是偶排列.

33. 解： 将上述等式看成 A－2Ｘ＝B

由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得

2Ｘ＝A－B

∴

=

34.

证：对称阵：

∴ 是对称阵.

第 32 页 共 72 页

∴

是对称阵

35.

解：

，

，

，

36. 解： AB

37. 解：

第 33 页 共 72 页

∴ 而

38. 解：

第 34 页 共 72 页

∴ X=AB

-1

39. 解：令 的一个线性组合等于 ．用分量写出．

．即有 使

是K的线性方程组，又可写成： AX=B．

其中

． 下面用初等变换法解矩阵方程从而求得

由最后的矩阵（A又化为单位阵）得：即

． 且表法唯一．

．

第 35 页 共 72 页

40. 解：

41. 解：由上视为 的线性方程组，解出 来。

111212211所以

223

221131322

第 36 页 共 72 页

42. 解：1、 作

2 、作

由 ， 无关

无关。

线性无关。 必须 。

齐次线性方程组

有非零解。所以

线性相关。

43. 解： 对于排列25i4j1，i只能取3或6，对应j只能取6或3，而要使得25i4j1为偶排列，应有i6,j3．

2302344. 解：因为14020

14002第 37 页 共 72 页

所以1,2,3线性无关．

45. 解：若A 可逆，则XA1B.

用初等变换法来解，把A 与B 并列排在一起AB，对它们进行行初等变换

2533

AB3621

2434……

10010101

00121所以

X1即为所求解．

2

46. 解：因为A的特征值为11,22，对应的特征向量分别为1

1,21，101101ΛP那么有APP-1，其中P，，1111

210可求得A32

而A100PΛ100P1

101所以A100PΛP112100

0

210047. 解：根据全排列的要求及性质，包含有因子a24并为负的项应该是

a13a32a41a24，

a33a42a11a24，

a43a12a31a24．

48. 解 ：

1212710A234341522



111115B224241014



71015815A2B21522101458

第 38 页 共 72 页

210316

(AB)(AB)5810815



49. 解：设为 X，由于要满足

1010X1111X

所以X必为2列2行矩阵，设为

x1x2Xxx

43有

x1x210x1x2x2

11xxxxx

44433

x210x1x2x111xxxxxx

432431

由于要求上面二式应该相等，所以比较矩阵有

x1x1x2

x1x3x3x4

xxx442

解得：x20,x1x4,x3任意数，所以

a0Xba，其中 a，b为任意数．



50.

解 ：

10D00210000

200120011000110401101041

401

第 39 页 共 72 页

由于有非零解，所以D0，即410，所以

1.

451. 证： 因为A~B，所以存在可逆方程P，使

P1APB

上式两边取行列式，有

B=P1APP1AP

P1PA

A

故：AB．

52. 解：

对于13(2n1)24(2n)，有t(n1)(n2)21

n(n1)

253. 解：根据行列式的定义，含有因子a11a23的项应是a11a23a32a44，a11a23a34a42

54. 证：因为AATE，取矩阵的行列式有AATE1，

而AATAATAAA，所以：A1，即A1或1．

2255. 解：若A 可逆，则XA1B.

用初等变换法来解，把A 与B 并列排在一起AB，对它们进行行初等变换

12014

AB12125

31213……

111005801050013657

51第 40 页 共 72 页

1165587所以

X即为所求解．

553156. 解：

12

A212

11411122112212

1211111

11112222

1142222所以

A2A．

57. 解：对这三个向量分析可以发现，它们的相应元素是对应成比例的，即任意两个是线性相关的。所以：

向量1是线性无关的（一个非零向量线性无关），而1,2和1,3都是线性相关的，所以1是1,2,3的一个极大无关组

58. 解：要使8i351j27为一排列，i只能取4或6，j只能取6或4。现要求这一排列为奇排列，所以有i4，j6

59. 解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A+B+C；（5）AB+BC+CA；（6）ABC，（7）ABCABCABCABC；（8）ABC；（9）ABCABCABC

60. 解：基本事件的总数nC82；基本事件数kC52。故所求的概率

第 41 页 共 72 页

kC525p20.375

nC81461. 解：任取一零件，设B1

、B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。则

P(B1)12，P(B2)

33P(A|B1)10.030.97，P(A|B2)10.020.98

由全概率公式得

21P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)0.970.980.973

3362. 解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；

（3）B={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）BC={1,2,3,4,5,6,7,8}

（6）BC=Φ

63. 解：将6只乒乓球编号为1，2，3，4，5，6，则样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，其中i表示“取得第i号球”，那么基本事件的总数为n=6

设A为“取得白球”这一事件，因为袋中有4只白球，每个都可能被取到，所以A包含的基本事件数k=4于是有：

P(A)

k42

n6364. 解：

1.

2.

3.

4.

{（HH）（HT）（TH）（TT）}

{4，5，6，…}

{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)} 其中：1为一号球，2为二号球

{1，2，3，…}

65. 解：

5!2!

6!66. 解：

1. P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）=1/5+1/4-（1/5）x（1/4）=2/5

第 42 页 共 72 页

12.

f(x)50

x[0,5]其它

P(0X3)3013dx

5567. 解：

1、利用事件的运算定义，该事件可表示为2、同理，该事件可表示为ABC。

3、AB

ABC。

BCAC

68. 解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069

A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24，5后五个数字中每一个可以由0,1,2,…,9中任取，故对A有利事件的数目为10。

于是

1051P(A)6

10990

69. 解：①分析：由于第一次取球后不放回作第二次取球,因此两次取得的球的标号不能重复,显然第一次取球时,袋中的四个球中的任何一个都可能被取到；第二次取球时,袋中剩下的三个球中的任何一个都可能被取到。一般这类试验应当考虑取到的两个球的先后顺序。

若用（1,2）表示第一次取得1号球,第2次取得 2号球,其余如（2,3）,…可作类似理解,则样本空间S1可以表示为

S1={（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）}

共包括P42=4X3=12试验结果。

②分析：②与①的区别在于两次取得的球的标号可以相同。样本空间

S2={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}

共包括42=16个试验结果。

③分析：③与①的区别在于取得的两个球没有先后顺序问题。若用1，2表示取得1号和2号球，其余如2，3，…可作类似理解。则样本空间S3可以表示为S3={1，2，1，3，1，4，2，3，3，4}

共包括C42=4X3/2=6

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70. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以重复，故基本事件的总数为62。

A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有i≠j排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二作不可重复的排列方式数A62，所以A625P(A)2

66

71. 解：设A1、A2、A3、A4分别表示这人“坐火车来”、“坐船来”、“坐汽车来”、“坐飞机来”，B表示这人“迟到”，则

P(A1)=0.3、P(A2)=0.2、P(A3)=0.1、P(A4)=0.4

P(B|A1)=0.25、P(B|A2)=0.3、P(B|A3)=0.1、P(B|A4)=0

由全概率公式得：P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.145再由逆概率分别可以算得：

i14P(A1|B)P(A1)P(B|A1)0.30.250.5172（坐火车）

P(B)0.145P(A2)P(B|A2)0.20.30.4138（坐船）

P(B)0.145P(A3)P(B|A3)0.10.10.0690（坐汽车）P(B)0.145P(A4)P(B|A4)0.400（坐飞机）

P(B)0.145P(A2|B)P(A3|B)P(A4|B)比较以上四个概率值，可见这人坐火车和坐船的可能性大，而坐汽车的可能性很小。显然他不可能是坐飞机来的。

72. 解：（1）ABC

（2）ABCABCABC

（3）ABCABCABC

(4)

BCACAB

(5)

ABC

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73. 解：记A{第一次为次品}、B{第一次为正品}，要求P（AB）。

已知P（A）＝0.1，而P（BA）＝90，因此

9990P（AB）＝P（A）P（BA）＝0.1＝0.091

99

74. 解：

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)11115044488

75. 解：（1）设A1：第一次取道的零件是一等品。

B1,B2分别表示从第一箱，第二箱中抽取。

P(B1)P(B2)1

2

1C101P(A1B1)1C505P(A1B2)C3C5118130

1113P(A1)P(B1)P(A1B1)P(B2)P(A1B2)2525

25（2）设A2第二次取得的是一等品

P(A2A1)P(A1A2)5P(A1A2)

P(A1)2 设A1A2A

22PP1018

P(AB1)2

P(AB2)2

P50P30第 45 页 共 72 页

19151P(A)P(B1)P(AB1)P(B2)P(AB2)24902290

2761421

P(A2A1)

P(A)0.4856

2576. 解：设X为错字数，那么X~B(500,1/500)，由于λ=np=1

所以P{X3}1P{X3}1P(0)P(1)P(2)

e11ee0.0803

211

77. 解：得K2,P(2K5)78. 解：

（1）由于F()3

5x22limF(x)1，所以有lim(ABexx)A1。又由于X为连续型随机变量，F(x)应为x的连续函数，应有x0limF(x)0limF(x)lim(ABex0x0x22)AB

2x2所以A+B=0，B=-A=-1，代入A、B之值得F(x)1e0x0

x02x2（2）对函数F(x)求导得X的概率密度为f(x)F\'(x)xe0（3）由P{ax0

x0Xb}f(x)dxF(b)F(a)式有

abP{1X2}F(2)F(1)e12e20.4712

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79. 解：（1）因为f(x)是一密度函数，所以必须满足2

cxdx1

02f(x)dx1，于是有

解得c3

8101110（2）P(1X1)f(x)dx0dxf(x)dx31x2dx0881

80. 解：由分布函数的性质得：

limA(Barctanx)(Carctany)A(B)(C)1x22ylimA(Barctanx)(Carctany)A(B)(Carctany)0x2limA(Barctanx)(Carctany)A(Barctanx)(C)0

y21由此可解得C,B,A2。

22



0,x181. 解：（1）FX(x)lnx,1xe

1,xeP{X2}FX(2)ln2

P{0X3}FX(3)FX(10)101

P{2X52}FX()FX(2)ln5255ln2ln

240,其他（2）fX(x)FX(x)\'1

，1xex

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82. 解：E（X）xe0xdxxde0xxex0exdx01

E（X2）x2exdx0

xde02xx2xe02xe0xdxxe2x0dx2

2

83. 解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知P{Xt}1etF(t) （t>0）

et 故X的概率密度为f(t)0

t0，可见X服从参数为λ的指数分布，因此t0E(X)=1/λ,即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/λ。

84.

解：（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B(10000,0.8)，

于是np=10000X0.8=8000，np(1p)100000.80.240

所以概率为：

P{8100Yn10000}P{Ynnpnp(1p)8100npnp(1p)Ynnpnp(1p)10000npnp(1p)}

P{2.550}(50)(2.5)10.99380.0062

(2)若每户用电功率为100W，则Yn户用是功率为100YnW，设电站供电功率为QW，则按题意有

QQ80008000YnnpQ100100P{100YnQ}P{Yn}P{}()0.9751004040np(1p)

查正态分布表得：

Q8000100φ(1.96)=0.975，所以1.96，解得Q=807840

40所以，电站供电功率应不少于807.84 kW.

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exexdx1

85. 解：令Y=|X|，所以：E(X)|x|f(x)dxxdxx0220

86. 解：E(X*)

E(X)E(X)D(X)0 ；D(X*)D(XE(X))D(X)1

D(X)D(X)87. 解：E(X)xf(x)dxx(1x)dxx(1x)dx0

10011D(x)E(X2)[E(X)]2x2f(x)dxx2(1x)dxx2(1x)dx

10601

88.

解：本问题要求在水平0.02下，检验假设H0：σ=5000 （H1：σ≠5000）

因为1a/2(n1)10.02/2(25)11.524，

22a/2(n1)0.02/2(25)44.314

2222而2(n1)S22025720036

5000222由于1a/2(n1)a/2(n1)所以接受H0，即认为在0.02水平下这批电池的波动性较以往的并无显著的变化。

89. 解：因为E(X)=np，D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知1n1nˆpˆ(1pˆ)

ˆpˆ，(XiX)2n有：Xinni1ni11n1n2(XiX)(Xi)2nni1ˆ1i1nˆ可解得：p，n

nn111XiXi(XiX)2ni1ni1ni1

90.

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