2024年1月8日发(作者：柳州铁一中数学试卷)

上海中学2023学年第一学期期中考试数学试卷一．填空题（每题3分，共36分）6NxxN且x2可用列举法表示为______．1.集合6252.16的四次方根是______．3.用反证法证明命题“若xy2，则x1或y1”的过程中，应当作出的假设是______________．4.若1a3且2b1，则2a3b的取值范围是______．5.已知全集UR，6.若集合7.若Axx1x2x30，则A______．Ax|ax2x10有且仅有一个元素，则实数a______．1x2,2x,log2x，则实数x______．8.已知alog25,blog23，则log56可用a，b表示为______．Ax|y3x1,By|y3x1log32ax24xa19.已知集合，则AB______．10.若对于任意实数x，代数式均有意义，则实数a的取值范围是______．2xyyz2224x4y3z11.若x，y，z均为正实数，则的最大值是______．12已知实数a，b，c，d满足aab40,cd1，则当(ac)(bd)取得最小值时，abcd______．22222.二．选择题（每题4分，共16分）13.下列关于集合的符号表述中，正确的是（A.）C.10,1211,2B.3RD.0）个14.已知集合A1,1,2,By|yx,xA，则满足ABSAB的集合S共有（A.3B.4C.7D.822ab2abababab；q3:ab15.已知集合p:a0,b0；q1:；q2:，则（2ab22）A.p是q1的充要条件C.p是q3的充要条件B.p是q2的充要条件D.以上都不对

16.已知实数x，y，z满足x2y2z2xyyzzx1，则下列说法错误的是（的最大值是）666B.xyz的最大值是2D.xy的最大值是26C.x的最大值是2三．解答题（17-19每题8分，20-21每题12分）17.求下列方程或不等式的解集：（1）x1x42x3（2）5x2x118.已知正实数x，y满足xy1，若不等式t814恒成立，求实数t的取值范围．txy19.已知全集UR，集合A1,4,Bx|2t3xt1，若AB，求实数t的取值范围．20.考查关于x的方程x2(3t)x2t0．（1）若该方程的两个实数根x1，x2满足(x1x2)x1x26，求实数t的值；（2）若该方程在区间0,2上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围．21.已知非空实数集S，T满足：任意xS，均有（1）直接写出S中所有元素之积的所有可能值；（2）若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T；（3）若ST非空，且由5个元素组成，求ST的元素个数的最小值．y1x1T．S；任意yT，均有y1x

上海中学2023学年第一学期期中考试数学试卷一．填空题（每题3分，共36分）6NxxN且x2可用列举法表示为______．1.集合【答案】{0,1,4}【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解.【详解】由xxN且66N可知，Nx2x2所以x2只能取1,2,3,6，又xN，所以x0,1,4，即集合中的元素为0,1,4，故列举法表示为{0,1,4}.故答案为：{0,1,4}625的四次方根是______．165【答案】2【分析】利用一个数的n次方根的定义求解即可.2.6255【详解】因为，1626255的四次方根是.2165故答案为：.2所以3.用反证法证明命题“若xy2，则x1或y1”的过程中，应当作出的假设是______________．【答案】x1且y1【分析】根据反证法的基本思想求解即可.【详解】用反证法证明命题“若xy2，则x1或y1”，应假设x1且y1.故答案为：x1且y1.4.若1a3且2b1，则2a3b的取值范围是______．【答案】5,124

【分析】根据不等式的基本性质得到22a6，33b6，相加后得到答案.【详解】因为1a3且2b1，所以22a6，33b6，故2a3b23,665,12.故答案为：5,125已知全集UR，Axx1x2x30，则A______．.【答案】x2x1或x3【分析】先求出集合A，再根据补集的定义求解即可.【详解】因为Axx1x2x30xx2或1x3，所以Ax2x1或x3.故答案为：x2x1或x3.6.若集合Ax|axx10有且仅有一个元素，则实数a______．2【答案】0或14【分析】分a0和a0两种情况讨论求解即可.【详解】当a0时，Ax|x101，符合题意；当a0时，14a10，即a综上所述，a0或故答案为：0或7.若1x,2,log2x，则实数x______．2x1.414.1，4【答案】1【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论求解即可.【详解】由1x,2,log2x，x2若x21，则x1，当x1时，集合为1,2,0，符合题意，当x=1时，log21无意义，不符合题意，舍去，所以x1.若2x1，则x0，此时log20无意义，不符合题意，舍去.

若log2x1，则x2，此时集合为4,4,1，不满足互异性，舍去.综上所述，x1.故答案为：1.8.已知alog25,blog23，则log56可用a，b表示为______．【答案】22ba【分析】根据对数的运算性质求解即可.【详解】因为alog25,blog23，所以log56log26log25故答案为：222log231b22b25a229.已知集合Ax|y3x1,By|y3x1，则AB______．【答案】x|0x3【分析】先求出集合A,B，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为Ax|y3x1x|y=x|x3，3x1By|y3x1y|yy|y0，3x1所以ABx|0x3.故答案为：x|0x3.10.若对于任意实数x，代数式【答案】2,【分析】分析可知，对任意的xR，2ax24xa0且2ax24xa1，当a0时，不合乎题意，进而可知，对任意的xR，2ax24xa10，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【详解】对任意的xR，代数式log32ax24xa1均有意义，则实数a的取值范围是______．log32ax24xa1有意义，则对任意的xR，2ax24xa0且2ax24xa1，

当a0时，则4x0且4x1，解得x0且x1，不合乎题意；4当a0时，由题意可知，必有2a0，由二次函数的基本性质可知，对任意的xR，2ax24xa1，则2ax24xa10，2a0所以，，解得a2.Δ168aa10因此，实数a的取值范围是2,.故答案为：2,.11.若x，y，z均为正实数，则2xyyz的最大值是______．4x24y23z2【答案】36【分析】将4y2拆开为3y2y2，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.【详解】4x24y23z24x23y2y23z224x23y22y23z2232xyyz，所以2xyyz2xyyz3，4x24y23z2232xyyz63y3z时取到等号，当且仅当2x故答案为：3612.已知实数a，b，c，d满足a2ab40,c2d21，则当(ac)2(bd)2取得最小值时，abcd______．【答案】21##12【分析】将(ac)2(bd)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为a,b与圆心0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【详解】可将(ac)2(bd)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，由a2ab40，得ba4，a而c2d21表示以0,0为圆心，1为半径的圆，c,d为圆上一点，

416216则a,b与圆心0,0的距离为：a2b2a2a2a2822a28828，2aaa当且仅当2a2216，即a48时等号成立，2a此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(ac)2(bd)2取得最小值.当a48时，aba24422，因为dbab422221，即dcaa2221c，dcd2121ccd所以，22c2d2422d1211c所以abcd4222142221.21422同理，根据对称性可得，当a48时，aba24422，cd即abcd，21.21.综上所述，abcd故答案为：21.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆c2d21上的点到ba值的求解问题，进而求解.4上的点的距离的最小a二．选择题（每题4分，共16分）13.下列关于集合的符号表述中，正确的是（A.）C.10,1D.011,2B.3R【答案】D【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合间的关系判断即可.【详解】对于A，11,2，故A错误；对于B，3R，故B错误；对于C，10,1，故C错误；对于D，空集是任何集合的子集，故D正确.故选：D.14.已知集合A1,1,2,By|yx,xA，则满足ABSAB的集合S共有（2）个A.3【答案】DB.4C.7D.8【分析】先求出集合B，进而求得AB，AB，进而根据集合间的包含关系求解即可.

【详解】因为A1,1,2，By|yx2,xA1,4，所以AB1，AB1,1,2,4，所以满足条件的集合S为：1，1,1，1,2，1,4，1,1,2，1,1,4，1,2,4，1,1,2,4，共8个.故选：D.15.已知集合p:a0,b0；qa2b2abab2ab1:22；q2:2ab；q3:abab，则（A.p是q1的充要条件B.p是q2的充要条件C.p是q3的充要条件D.以上都不对【答案】D【分析】根据基本不等式和重要不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A，当a0,b0时，有a2b22ab（当且仅当ab时等号成立），所以2a2b2ab2a2b2ab2，即a2b2ab2；2，即22当ab1时，满足a2b2ab22，但a0,b0，所以p是q1的充分不必要条件，故A错误.对于B，当a0,b0时，有ab当a=b=0时，满足a2ab（当且仅当ab时等号成立）；b2ab时，但a0,b0，所以p是q2的充分不必要条件，故B错误；对于C，当a0,b0时，有ab2ab（当且仅当ab时等号成立），即2ab1ab，即ab2abab；当ab1时，满足ab2abab，但a0,b0，所以p是q3的充分不必要条件，故C错误.故选：D.16.已知实数x，y，z满足x2y2z2xyyzzx1，则下列说法错误的是（））

的最大值是666B.xyz的最大值是2D.xy的最大值是26C.x的最大值是2【答案】A【分析】利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项；利用特例判断A选项.【详解】对于C，由x2y2z2xyyzzx1，整理得，yxzyxzzx10，可以看作关于y的一元二次方程，222所以1xz4xzzx10，222即3z22xz3x240，可以看作关于z的一元二次不等式，所以24x123x40，解得2266，x22当x666时，z，y，662所以x的最大值是6，故C正确；2对于B，由x2y2z2xyyzzx1，即2xyz22222xy2yz2zx2，22即xyxzyz2，令axy，bxz，cyz，则a2b2c22，abc即abc2abacbc2，即abacbc2222，由a2b22ab，当且仅当ab时等号成立，a2c22ac，当且仅当ac时等号成立，b2c22bc，当且仅当bc时等号成立，所以2abc即2abc22222ab2ac2bc，当且仅当abc时等号成立，2222ab2ac2bc，所以abc2abc222abc2ab2ac2bc2

即abc222，即abc6，22所以abc6，6，即xyxzyz即xyz66，当且仅当xyxzyz，即xyz时等号成立，26对于D，所以xyz的最大值是26，故B正确；222由a2b2c22，即xyxzyz2，所以xy2，即xy当且仅当x=y=22，22，z时等号成立，22所以xy的最大值是2，故D正确；对于A，取x1，y4117，z，5101618217444171171，2510055010则x2y2z2xyyzzx141172117而xyz1，10255又而21172526121217256，615022117所以xyz12121725625故选：A.1442881714417625628817115814100486，故A错误.613409640，【点睛】方法点睛：对于多变量的恒等关系，可利用基本不等式进行转化，也可以将其中一个变量看成主变量，从而可判断方程有解的角度分析问题.三．解答题（17-19每题8分，20-21每题12分）17.求下列方程或不等式的解集：（1）x1x42x3

（2）5x2x1【答案】（1）xx4或x1（2）x5x1或2x533，x1，x1四种情况讨论求解即可；22【分析】（1）分x4，4x25x0（2）转化不等式为2，进而求解即可.25xx1【小问1详解】当x4时，方程为x1x42x3，即33恒成立，符合题意；当4x当3x1时，方程为x1x42x3，解得x1，舍去；23时，方程为x1x42x3，解得x4，舍去；2当x1时，方程为x1x42x3，即33恒成立，符合题意.综上所述，方程的解集为xx4或x1.【小问2详解】由5x2x1，25x0得2，解得5x1或2x5，25xx1所以不等式的解集为x5x1或2x18.已知正实数x，y满足xy1，若不等式t【答案】tt0或1t85.814恒成立，求实数t的取值范围．txy14【分析】先根据基本不等式求得，进而分t0和t0两种情况求解不等式即可.xymin【详解】因为1414y4xy4xxy5529，xyxyxyxy当且仅当y4x21，即x，y时，等号成立，xy33所以149，xymin

89，t8当t0时，t0，符合题意；t所以t当t0时，t289t，解得1t8.综上所述，实数t的取值范围为tt0或1t8．19.已知全集UR，集合A1,4,Bx|2t3xt1，若AB，求实数t的取值范围．【答案】1t3或t4【分析】由AB得BA，再分类讨论讨论B和B【详解】因为AB，所以BA，因为A1,4,Bx|2t3xt1，当B时，2t3t1，则t4，此时满足BA；当B，从而得解.时，t4，则2t31，解得1t3；t14综上，1t3或t4.20.考查关于x的方程x2(3t)x2t0．（1）若该方程的两个实数根x1，x2满足(x1x2)x1x26，求实数t的值；（2）若该方程在区间0,2上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围．【答案】（1）3（2）2,0526665，令mx11m3，转化问题为方程5tm有且仅有一个实数x1m【分析】（1）根据根的判别式及韦达定理求解即可；（2）化简方程为tx1根，进而结合对勾函数图象求解即可.【小问1详解】Δ3t242t0由题意，得x1x23t，即t526或t526，xx2t12因为(x1x2)x1x26，所以3t2t6，解得t3或4（舍去），所以t3.

【小问2详解】由x2(3t)x2t0，x0,2，2x3x2x15x166即tx15x1x1x12即5tx16，x1令mx11m3，则5tm6，m因为函数yx6在1,6上单调递减，在x6,3上单调递增，且x1时，y7；x3时，y5；x6时，y26，如图，所以要使方程5tm6只有一个实数根，m则55t7或5t26，解得2t0或t526，所以实数t的取值范围为2,0526．21.已知非空实数集S，T满足：任意xS，均有（1）直接写出S中所有元素之积的所有可能值；y1x1T．S；任意yT，均有y1x（2）若T由四个元素组成，且所有元素之和为3，求T；

（3）若ST非空，且由5个元素组成，求ST的元素个数的最小值．【答案】（1）1或11515T25,25,,（2）22（3）30【分析】（1）根据集合S中的元素构成可得集合S中的元素是以x,可得结论；（2）根据集合T中的元素构成可得集合T中的元素是以y,x11,的形式，三个数为一组出现，从而x1xy111y,,的形式，四个数为一组出现，从而y1y1y可得结论；（3）由（1）（2）可得集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，从而根据ST得元素个数，可确定ST的元素个数的最小值．【小问1详解】已知非空实数集S满足：任意xS，均有x11111xS，又1xxS所以x111xx1x则集合S中的元素是以x,又xx1x1x1S，且x在实数范围内无解，所以x，xxxx11,的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且0,1S，x1xx111，则S中所有元素之积的所有可能值为1或1；x1xy1y1T，且yy1y1【小问2详解】已知非空实数集T满足：任意yT，均有y111y11111yy1y1yT，且T，又yT所以y111yy111y1y1y1y则集合T中的元素是以y,y111y,,的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且1,0,1T，y1y1yy111y,,，且所有元素之和为3y1y1y若T由四个元素组成，则Ty,

所以yy111y3，整理得y24y1y2y10y1y1y解得y25或y15215151515,或y时，T25,25,2222当y25或y25或y1515,综上，T25,25,；22【小问3详解】由（1）（2）集合S,T的元素个数分别是以3和4为最小正周期循环，且当xy时，x1y1，xy1因而3和4互素，所以S和T中的各组最多只能有一个公共元素当ST由5个元素组成时，说明正好有5组有交集，所以ST的元素个数最小值为3545530.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合S中的元素是以x,x11,的形式，三个数为一组出现，集合T中的元素是以x1xy111y,,y,的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.y1y1y


更多推荐

集合,元素,实数,求解,分析,范围,方程,基本