2023年上海中学自主招生数学试卷(含解析)印刷版

2024年1月8日发(作者：中专数学试卷照片要求尺寸)

2023年上海中学自主招生数学试卷一、填空题1．（3分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是．2．（3分）下面图1、2、3可分别用于说明．（A、“勾股定理”；B、“平方差公式”；C、“完全平方公式”；将A、B、C按对应顺序填入）3．（3分）使得16000•（）n的值是一个正整数的整数n一共有个．4．（3分）设动直线x＝t与函数y＝f（x）的图象交于点P（t，f（t）），与函数y＝g（x）的图象交于点Q（t，g（t）），当a≤t≤b时，总有PQ≤1恒成立，则称函数f（x）与g（x）在a≤x≤b上是“逼近函数”，则下列结论：①函数y＝﹣与y＝在﹣1≤x≤1上是“逼近函数”；；②函数y＝5x与y＝x2+5在3≤x≤4上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是③函数y＝x2﹣1与y＝2x2﹣x在0≤x≤1上是“逼近函数”．5．（3分）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝．6．（3分）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为．1

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为．8．（3分）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；②x1+x2+x3+…+x100＝20；③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为．9．（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有种不同的爬行路径．二、解答题10．斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．11．有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b，将矩形ABCD沿对角线AC对折后放于桌面上，探究其覆盖桌2

面的面积．12．我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且∥，存在唯一实数λ，使得＝λ，记作f（，）＝λ，如图，已知A、B、C、D为同一直线上顺次四点．（1）若f（（2）若，）＝﹣2，则f（，）＝；＝﹣1，则称A、B、C、D为调和点列，请探究此时AB、AC、AD这三条线段的长度满足的关系，并证明．3

2023年上海中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是迎．【分析】正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：由图可知，与“上”字所在面相对的面上的汉字是“迎”，故答案为：迎．2．（3分）下面图1、2、3可分别用于说明C、A、B．（A、“勾股定理”；B、“平方差公式”；C、“完全平方公式”；将A、B、C按对应顺序填入）【分析】根据勾股定理、完全平方公式、平方差公式解决此题．【解答】解：由图1得，（a+b）2＝a2+b2+2ab，那么可说明C完全平方公式．由图2得，设大正方形的边长为c，则2ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2，那么可说明A勾股定理．由图3得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，那么可说明B平方差公式．故答案为：C、A、B．3．（3分）使得16000•（）n的值是一个正整数的整数n一共有11个．【分析】因为16000＝53×128＝53×27，根据16000•（）n的值是一个正整数，则求出n的取值．【解答】解：原式＝53×128×＝．∵16000•（）n的值是一个正整数，4

∴n可以取﹣7、﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1，2，3．∴n一共有11个．故答案为：11．4．（3分）设动直线x＝t与函数y＝f（x）的图象交于点P（t，f（t）），与函数y＝g（x）的图象交于点Q（t，g（t）），当a≤t≤b时，总有PQ≤1恒成立，则称函数f（x）与g（x）在a≤x≤b上是“逼近函数”，则下列结论：①函数y＝﹣与y＝在﹣1≤x≤1上是“逼近函数”；；②函数y＝5x与y＝x2+5在3≤x≤4上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是③函数y＝x2﹣1与y＝2x2﹣x在0≤x≤1上是“逼近函数”【分析】由“逼近函数”定义逐项判断即可．【解答】解：由“逼近函数”定义知在a≤x≤b上，|f（x）﹣g（x）|≤1时，函数f（x）与g（x）在a≤x≤b上是“逼近函数”，令y1＝﹣﹣＝﹣x，当﹣1≤x≤1时，y1最大为1，y1最小为﹣1，∴函数y＝﹣与y＝在﹣1≤x≤1上是“逼近函数”，①正确；令y2＝x2+5﹣5x＝（x﹣）2﹣，在3≤x≤4上，当x＝4时，y2最大为1，当x＝3时，y2最小为﹣1，∴函数y＝5x与y＝x2+5在3≤x≤4上是“逼近函数”，②正确；令y3＝2x2﹣x﹣（x2﹣1）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，在0≤x≤1上，当x＝0和x＝1时，y3取最大值1，x＝时，y3取最小值为，③正确；故答案为：①②③．5．（3分）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k＝或．6①②③．【分析】先确定x＝2是方程的一个根，再由x2﹣5x+k＝0有两个相等的根或x2﹣5x+k＝0有一个根是2，分别求解k的值，根据等腰三角形的三边关系进行验证即可．【解答】解：由题意可知x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0有两个相等的根，∵当x＝2时，x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0，∴x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝（x﹣2）（x2﹣5x+k），5

∵方程的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，∴x2﹣5x+k＝0有两个相等的根或x2﹣5x+k＝0有一个根是2，当x2﹣5x+k＝0有两个相等的根时，Δ＝25﹣4k＝0，解得k＝，此时方程的根为x＝，∴三角形的三条边长分别为2，，；当x2﹣5x+k＝0有一个根是2时，k＝6，此时方程的根为x＝2或x＝3，∴三角形的三条边长分别为2，2，3；综上所述：k的值为6或故答案为：6或．，6．（3分）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为π．【分析】如图，OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到AB＝AC＝BC＝8，则可判断△ABC为等边三角形，则CH＝4，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC＝性质得到⊙O的半径OE＝OC+CE＝面积．【解答】解：如图，OH为BC边的高，∵所有小圆相切，∴AB＝AC＝BC＝8，∴△ABC为等边三角形，∴∠OCB＝30°6，再利用圆与圆相切的+1，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的

∵OH⊥BC，∴CH＝4，∴OH＝CH＝，，∴OC＝2OH＝∵⊙C与⊙O相切，∴⊙O的半径OE＝OC+CE＝∴阴影部分的面积＝π×（故答案为：π．+1，+1）2﹣15×π×12＝π．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为2．【分析】作A关于直线y＝﹣x的对称点，则A\'（0，6），作B点关于x轴的对称点B′，连接A\'B\'，此时AP+PQ+QB最小．【解答】解：作A关于直线y＝﹣x的对称点，则A\'（0，6），作B点关于x轴的对称点B′，则B\'（﹣2，﹣2），连接A\'B\'，此时AP+PQ+QB最小，最小值为A\'B\'＝故答案为：2．＝2．7

8．（3分）设x1，x2，x3，…，x100是整数，且满足下列条件：①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；②x1+x2+x3+…+x100＝20；③x12+x22+x32+…+x1002＝100，则x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为160．【分析】由题意可设x1，x2，x3，…，x100中有a个﹣1，b个0，c个1，d个2，再由已知列关于a，b，c，d的方程组，把a，b，c用d表示，求出d的范围，即可求解x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和．【解答】解：由题意可设x1，x2，x3，…，x100中有a个﹣1，b个0，c个1，d个2，则a+b+c+d＝100，﹣a+c+2d＝20，a+c+4d＝100，可得a＝40﹣d，b＝3d，c＝60﹣3d，∴x13+x23+x33+…+x1003＝﹣a+c+8d＝20+6d，由，解得：0≤d≤20，∴当d＝0时，x13+x23+x33+…+x1003的最小值为20，当d＝20时，x13+x23+x33+…+x1003的最大值为140．∴x13+x23+x33+…+x1003的最小值和最大值的和为160．故答案为：160．9．（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有64种不同的爬行路径．8

【分析】如图，将图形分为五步，分别求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数，再求第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径次数的乘积，即可求出爬行路径种数．【解答】解：如图，将图形分为五步，求出第一步，第二步，第三步，第四步，第五步的路径种数，第一步：2；第二步：2；第三步：4；第四步：2；第五步：2；2×2×4×2×2＝64，∴则共有64种不同的爬行路径．故答案为：64．二、解答题10．斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．9

【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：全等，理由如下：证明：设点O，O′分别为AB，A′B′的中点，则CO＝C′O′，∵CD⊥AB于D，C\'D\'⊥A\'B\'于D\'，∴∠CDB＝∠C′D′B′＝90°，∴Rt△CDO≌Rt△C′D′O′（HL），∴∠COD＝∠C\'O\'D\'，∵CO＝BO，C′O′＝B′O′，∴∠OCB＝∠B，∠O′C′B′＝∠B′，∴∠B＝（180°﹣∠COB），∠B\'＝（180°﹣∠C′O′B′），∴∠B＝∠B\'，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），11．有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b，将矩形ABCD沿对角线AC对折后放于桌面上，探究其覆盖桌面的面积．【分析】由图形可知：折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是原矩形的面积减去重合的部分的面积，只要求出重合的部分的面积即三角形AEC的面积即可得出结果．【解答】解：如图，解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为S，（a＜b），则：S＝S△ABC+S△ED′C＝S矩形ABCD+S△ED′C由Rt△ABE≌Rt△CD′E，得EC＝AE，设EC＝x，则AB2+BE2＝x2，10

即a2+（b﹣x）2＝x2，解得：x＝∴∴S＝S矩形ABCD+S△ED′C＝当a＞b时，同理，，，，＝＝；，S＝ab+ab﹣故答案为：或＝．，12．我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且∥，存在唯一实数λ，使得＝λ，记作f（，）＝λ，如图，已知A、B、C、D为同一直线上顺次四点．（1）若f（，）＝﹣2，则f（，）＝﹣；（2）若＝﹣1，则称A、B、C、D为调和点列，请探究此时AB、AC、AD这三条线段的长度满足的关系，并证明．【分析】（1）根据定义求解即可；（2）由＝﹣1，推出＝，推出＝，推出＝，可得﹣1＝1﹣，可得+＝2，即可解决问题．，）＝﹣2，【解答】解：（1）∵f（∴∴∴f（＝﹣2＝﹣，，，）＝﹣．故答案为：11

（2）∵＝﹣1，∴＝，∴＝，∴＝，∴﹣1＝1﹣，∴+＝2，∴．12