2024年3月22日发(作者：高中数学试卷概率题)
2022
年全国硕士研究生招生考试
数学
（
二
）
预测卷
（
二
）
（
科目代码
：
302
）
考生注意事项
1.
答题前
，
考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名
；
在答题卡指
定位置上填写报考单位
、
考生姓名和考生编号
，
并涂写考生编号信息点
。
2.
选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上
，
非选择题的答案必须书
写在答题卡指定位置的边框区域内
。
超岀答题区域书写的答案无效
；
在草稿
纸
、
试题册上答题无效
。
3.
填
（
书
）
写部分必须使用黑色字迹签字笔书写
，
字迹工整
、
笔迹清楚
；
涂写
部分必须使用
2E
铅笔填涂
。
4.
考试结束
，
将答题卡和试题册按规定交回
。
（
以下信息考生必须认真填写
）
考生编号
考生姓名
一
、
选择题
：
1~10
小题,每小题
5
分
，
共
50分.下列每题给出的四个选项中
，
只有一个选项是
最符合题目要求的.
1-
函数
fS
=
lim
[(号
)+
(专)+°\"]\"在
(
0,
+*)
内
A.
处处连续但有一个不可导点.
C.
处处连续但有两个不可导点.
J
0
B.
处处连续且可导.
D.
有一个不连续点.
2.
若当
h
0
时,/
\'(
h
)
=
[
(e*
3
\"*
—
e
sinz
)di
与如
？
是等价无穷小
，
则常数
a,
怡的值分另
！
]为
A.
-I
-
?3
.
6
B
.
2
C
・
.
8
D
・
当
，
4
.
4
3.
设二阶可导函数*工)满足
f
(
-i
)
=
/
(
i
)
=
o,/
(
o
)
=
1
，
且/axo,
则
A.
J
/(jr)dz
>>
1.
B.
J
/(j7
)
dz
1. C. /(jc)djr = J -1 co ri J o . D. ro J -1 ri J o /(a ： )dr ・ 4. 设函数yCz) 在工 = 0 处可导 ， 且 lim W ) 好许) 一 2 好(工) =2, 则 = 0 X A. — 1. r -T c. o. D. 1. 5 . 设函数 /(a-) 在点 x = 0 的某一邻域内具有二阶连续导数 ， 且 lim *刃 =0, jr-»-0 3C lim /( r r_)+/ / (x) = ], 则 j?-^0 3C A. /(0) 是函数的极大值. B. f (0) 是函数 /Cr) 的极小值. C. (0,/(0)) 是曲线夕 = /( jc ) 的拐点. D. 7(0) 不是函数 f3 的极值 ,(0 J(0)) 也不是曲线 J = 2 ) 的拐点. 6 . 设人 = 「 匚 — 山( 1+ 工) 山丄 = 『 — 也,则 J o x J o x 一 ln(l 十工) A. I l 2 < 1. B. 1 < ^ < I 2 . D. I 2 < 1 < C. 1 } <1<1 2 . 7. 设兀鼻)为连续函数, FU) =£d3/J\"7u ) d^ ， 则 F\'d) = A.*/). B. D. — f( — i). C. — fCt). &设 3 维列向量组线性无关,« 2 ,« 3 也线性无关 ， 而 «! ， «3 线性相关 ， 且血工 03, 则下 列向量组中一定线性无关的是 A. ai + 。 2 ,ct2 +a 3 , 。 3 +ai . B. a, + a 2 ,ai +ct2 +a3. D. ai+ct2 ,a2+a ： 3. C. ai+a2 ,ai+0C3. A. 无解. 9. 设 4 是正定矩阵, P 是初等矩阵 ， 则非齐次线性方程组 pTAPx = b B. 有唯一解. 数学(二)预测卷(二)试题第 1 页(共 3 页) C. 有无穷多解. 矩阵 C 有一个特征值为 D. 不能确定是否有解. 10. 设 A,B,C 都是 2 阶矩阵, AB = BC, 若 A 有一个特征值为 3, 〃 的两个特征值为 2,-2, 则 A. — 2. B. 2. C. — 3. D. 3. 二 、 填空题 ： 11~16 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 30 分. 、 [口 ， 心 1,, 11 . 设 / （ a: ） = 1 7 1 则 / （ 1 ） = ________ . le, z = 1, 12 . 设夕 = 汨 ） ， 其中函数 /& ） 具有二阶导数 ， 且叫 $ = 4, 则韶 L 13. 定积分 J_] j2 — 壬 [ln （ H + 丿 1 + 工 2 ） +i]ck 的值为________ . 14. 若函数 = jc 3 + + C 在约束条件 x 2 + 2y 2 = 9 下的最小值为 1, 则常 数 。 = ________ . 15. 设函数 u = \"&* ） 及 u = 汛工,夕 ） 具有一阶偏导数 ， 函数 z = gv ） 具有二阶连续偏 导数 ， 且 ck = （ 2 对 ； ） cLz+ （ xf\' u — 2 对 ; ） dj; , 则島君 = ________ • 16. 设向量 a = （ l,0, — l ） ,A = a 「 a, 若矩阵 A 的特征多项式为 / （ A ） , 则微分方程 y — y = fCr ） 的通解为 _______ . 三 、 解答题 ： 17 〜 22 小题 ， 共 70 分.解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤. 17. （ 本题满分 10 分 ） 设于 （ 工 ） = （ 1+ 丄 ） &>0 ） , 求 lim ----- . x / e — e 18. （ 本题满分 12 分 ） 设定义在 （ 一 x,+x ） 上的连续函数*工 ） 满足方程 /■& ） + 「 tfdt ） dt = 2, 求: J o （ 1 ） 函数 /■& ） 的解析式 ； （ 2 ） 曲线夕 = g 的凹 、 凸区间与拐点. 19. （ 本题满分 12 分 ） 设 D = { Q , 夕 ） | 1 £ / + 夕 2 w 2g } , 求 ： （ 1 ） 平面图形 D 的面积 ； （ 2 ） 平面图形 D 绕丿轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 20. （ 本题满分 12 分 ） ri r i-x 计算二次积分| dr （ je 2 +y ） dj/. 数学 （ 二 ） 预测卷 （ 二 ） 试题 第 2 页 （ 共 3 页 ） 21. （ 本题满分 12 分 ） 设函数 fCr ） 在闭区间匕,刃上连续 ， 且| g | < M, p/ （ ^ ） dz = 0. 证明 ： J a | J W ¥ （ 6 — <2 ） 2 . 22. （ 本题满分 12 分 ） 已知实二次型 / （ J?1 ,JC 2 ,a ； 3 ） = x T Ar 的矩阵为 A, 且 yA — E = 0,AB — 3B = O, 其中 1 1 2\' 矩阵 B= 2 1 4 ， 求一个正交变换 x = Qy, 化二次型为标准形. 、 1 1 2, 数学 （ 二 ） 预测卷 （ 二 ） 试题 第 3 页 （ 共 3 页 ） 数学 （ 二 ） 预测卷 （ 二 ） 试题答案及评分参考 一 、 选择题 1. 答应选 A. 解当 0 <工€ 1 时 ， 专 £ 专此时有 x W ［ 伶 ） + （ 专 ） +叮 W 滴; 当 1 < h W 2 时 ， 号V专此时有工£ ［（ 号 ） + （ 专 ） +才 ］ 將; 当 工 >2 时 ， 专 VX 召,此时有召 W ［（ 訂 + （ 专 ） \"+叮 < X lim 73 = 1, 故 /( jc ) = lim n n~^8 + X 丄 x, 0 V e M 2, ~2 \' 工 > 2. t -2 显然 JCz ） 在 （ 0, +* ） 内处处连续.由于 / ： （ 2 ） = l,/ ； （ 2 ） = 2, 因此/ （ 工） 在乂 = 2 处 不可导. 【 注 】 本题是用夹逼准则求极限的题目 ， 注意本题的放缩法. ①夹逼准则: % W W Z ” ， 夕 ” f 一* A =>x n f A （n f oo ） . ②对于 u x + “ 2 H ---------- u„ （ u, a 0,n 为有限数） ， 其放缩法为 1 • “max W \"1 + \"2 + … W \" • %max ・ 2. 答应选 C. 解 b tan jc __ gSin h ^sin x ( ^tan j ? — sin jc __ ] o i- e lim ------------- 7 ----------- = lim — . -rzr \"X — 盯 L (e tanz — e sinz )d^ , JT — 0 ax --------------- lo akx tan x — sin x • lime sin t ->0 数学 （ 二 ） 预测卷 （ 二 ） 试题答案及评分参考 第 8 页 （ 共 33 页 ） r tan jr(l — cos e) — hm 7 ~~ lo akx = 吨金 E r ( e tanz — e sint )d? 由题设知 ， lim ---------- 二 --------- =1, 所以 k = 4, a = JT->O ax ] o 3. 答应选 A. 解 由题设知 ， 曲线 y = fS 过点 A(-l,0),B(0,l),C(l,0),M 是凸的.连接 A,B,C 三点得折线 AEC, 则折线 ABC 的方程为夕 = 1- J — 1 J —1 J 0 显然 f(^) > 1 - | | (― 1 C X 1), 故 [ /(x)dx > [ (1 一 IJC I )ck = 2 [ (1 — J7 ) dz = 1. 4. 答应选 B. 解 由 lim 曲上也罕二纽@ = 2,得 lim/X*) =0. 由于函数 yCz) 在工 = 0 处 厂 0 X L0 可导 ， 从而连续 ， 故 /(0) = lim/(jr) = Iim/ ( J7 2) = 0. 于是\' Hm fS ) — 好 (2z) — 2xf O l O j : 2 = lim j? — >0 JC - 2 lim jc -*O _ 2 lim 2 ) _ 皿 uJC. jy-^-0 工 = /(0)- 2/(0)-2/(0) =-3/(0) = 2, 故 /(O) = — y. 5. 答应选 C. 解 由于函数 /( j ?) 在点 H = 0 的某一邻域内具有二阶连续导数 ， 且 lim = 0, 故 •z^O OC /(0) = lim/(z) = 0, 且 / z (0) = lim ---- = lim *工) = 0. x->0 q ->0 3C 0 q ~>0 oc 再由 lim fU = l, 得 JC #\'(0) = j?->0 ” • ” ( j ;) = lim[/ 7 ( > r) + fQ)] — lim/ 7 (a) = 0, 从而 lim \")_ 『 ( 0 ) = l im S = lim /•\'& ) +\"•) _ lim f 3 — f3 x->0 X 一 0 X X l O 3C 故 fCx ） 在 H = 0 处具有三阶导数 ， 且严 （ 0 ） = 1 工 0. 于是 , （ 0,/ （ 0 ） ） 是曲线 y = / （ JC ） 的拐点. 6. 答 应选 C. 解 令 / （ j? ） = j ; — ln （ l + 工 ） -- x 2 , 则 7\"\' （ 工 ） = — -I 0 （ j ; > 0 ） , 故 / （ a: ） 在 Z 丄十 E 数学 （ 二 ） 预测卷 （ 二 ） 试题答案及评分参考 第 9 页 （ 共 33 页 ）
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