双曲线和抛物线的知识点

2024年4月9日发(作者：09年福建高考数学试卷)

双曲线和抛物线的知识点

双曲线和抛物线是高中数学中常见的两种曲线，它们有着丰富

的几何和物理意义，被广泛应用在各个学科中。本文将从基本概

念、公式和性质，以及应用角度出发，全面探讨这两种曲线的知

识点。

一、基本概念

1. 双曲线

双曲线是由平面上离心率大于1的两个点F1和F2，到该平面

上任意一点P的距离之差等于常数2a（a>0）所确定的点集。通常

我们用双曲线的标准方程来表示，即：

x^2/a^2-y^2/b^2=1 或 y^2/b^2-x^2/a^2=1

其中，a表示离心率，b表示双曲线的半轴长。

2. 抛物线

抛物线是由平面上一个定点F（称为焦点）和到该点的距离等

于其到某一条定直线L（称为准线或对称轴）的距离d所确定的

点集。通常我们用抛物线的标准方程来表示，即：

y=ax^2+bx+c

其中，a、b、c分别表示抛物线的系数。

二、公式和性质

1. 双曲线

双曲线的标准方程可以化为下面的形式：

y=b/a*sqrt(x^2-a^2) 或 y=b/a*sqrt(a^2-x^2)

由此可以得到双曲线的几何性质：

（1）双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x，它们分别与x轴成正

负45度的角。

（2）双曲线有两个分支，两个分支关于y轴对称。

（3）双曲线关于它的两个渐近线对称，任意一点到其中一条

渐近线的距离与到另一条渐近线的距离之差等于常数2a（a>0）。

2. 抛物线

抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a），正负号取决于a的

符号。

抛物线的渐近线是y=±∞（当a=0时）或y=ax+b（当a≠0时），

从而可以得到抛物线的几何性质：

（1）抛物线关于它的准线对称。

（2）焦距等于抛物线的半轴长。

（3）抛物线的平面曲率半径在顶点处为无穷大，其他点处为y

轴的绝对值与一阶导数的比值。

（4）当抛物线的焦点在x轴上时，它是一个完美的反射面，

任何入射到抛物线上的线段都会被反射到焦点（这就是开普勒使

用抛物面反射望远镜原理的基础）。

三、应用

1. 双曲线

在物理和工程学中，双曲线经常被用来描述电场、磁场和声场

等现象的分布情况。例如在电学中，一对相互静电作用的点电荷

会形成一个等势线为双曲线的电场；在声学中，如果一个极点源

位于一个半径为常数（假设为r）的球形空间内，那么在球的表面

上所有点的声压水平都相同，这个等声压水平的更曲线形状也是

双曲线。

2. 抛物线

抛物线在物理学和力学中也有着广泛的应用。例如，弹道学中，

抛物线可以用来描述自由落体的运动；在力学中，任何作用于物

体上的力，如果产生的加速度恒定（例如自由落体）且所受外力

的方向与其初始速度垂直，那么物体在的轨迹就是一个抛物线。

此外，还有炮弹的轨迹、高楼抛物等实际问题都可以通过抛物线

来分析解决。

综上所述，双曲线和抛物线虽然看起来很简单，但是在数学、

物理等学科中有着广泛的应用。熟练掌握它们的基本概念、公式

和性质，以及应用方法，不仅可以让我们更好地理解各个学科中

的相应知识，也能开阔我们的数学思维。