2023年12月14日发(作者：大班幼小衔接数学试卷序数)

导数知识点

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景

（2）理解导数的几何意义

（3）掌握函数的导数公式

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、

极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

导数的概念 导数的几何意义、物理意义

常见函数的导数

导数导数的运算

导数的运算法则

函数的单调性

导数的应用 函数的极值

函数的最值

1.导数的几何意义：

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f\'(x0)，切线方程为yy0f\'(x)(xx0).

2． 导数的四则运算法则：

(uv)\'u\'v\'yf1(x)f2(x)...fn(x)y\'f1\'(x)f2\'(x)...fn\'(x)

(uv)\'vu\'v\'u(cv)\'c\'vcv\'cv\'（c为常数）

vu\'v\'uu(v0)

2vv\'

3.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，

如果f\'(x)＞0，则yf(x)为增函数；

如果f\'(x)＜0，则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数yf(x)在区间I内恒有f\'(x)=0，则yf(x)为常数.

4. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理）

当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f\'(x)＞0，右侧f\'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f\'(x)＜0，右侧f\'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f\'(x)=0. 此外，函数不①可导的点也可能是函数的极值点.

当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f\'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数yf(x)x3，x0使f\'(x)=0，但x0不是极值点.

②例如：函数yf(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

6. 几种常见的函数导数：

I.C\'0（C为常数）

(sinx)cosx

\'②(xn)\'nxn1（nR）

(cosx)\'sinx

II.

(lnx)\'11

(logax)\'logae

xx(ex)\'ex

(ax)\'axlna


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