八下数学第二章思维导图人教版

2024年3月12日发(作者：优秀数学试卷及答案)

八下数学第二章思维导图人教版

《八下数学》是学生日常学习、生活中涉及到的最广泛的问题，它是由全国人民共同创造、

共同发展起来。《八下数学》教材分为八章，第一章为基本概念与性质，第二章为数学方法及应

用，第三章为算术几何。这几章是八年级数学的基础知识和重要知识点，也是学好数学的重点所

在。“八下数学”作为国内最早应用于小学课本教学的一门学科，从初中进入高中后，对此章节

内容有所侧重和改变。所以“八下数学”中部分知识涉及范围较广。本节课内容共分为四个板块：

概念与性质、空间与几何、计算应用和解题技巧三个方面。通过对概念与性质、空间与几何、计

算应用三个方面内容的分析和总结，掌握了该部分内容中重要的知识点及运用公式解决问题的能

力。

一、概念与性质

本单元主要包括两个重要的知识点：概念：两个概念相互关联，互相影响。两个概念相互

区别，共同构成一个新事物及其概念。性质：概念的发展和完善是一个动态的过程。认识新事物

是认识事物与不一样事物之间区别的开始，它是认识事物发展和完善所必须具备的一种态度。通

过本单元内容的学习，可以将此部分内容形成一条逻辑清晰、完整可行的知识脉络。

1、两个概念相互关联，互相影响，是两个概念相互区别的基础。

(1)含义：表示一件事物的不同方面的属性，而这一属性是在具体事物的某个方面或某些方

面具有某种属性。(2)关系：一个事物或一组关系可以表示成多个概念。(3)关系：在相互关联的

基础上形成的概念。(4)关系：两个不一样的概念必须互相学习或者影响彼此才能被创造和应用。

(5)区别：事物具有相对独立性和相对统一性；事物具有绝对性和相对独立性；事物具有相对统

一性；事物具有绝对性和相对统一性；事物具有相对统一性。(6)解释：两个事物或要素之间相

互关系或区别是认识新事物及其自身关系和相互关系及产生一系列新概念所必须具备的前提条

件。也是知识理解与记忆中极其重要的内容之一。通过此部分内容学习可以使学生了解事物之间

相互区别的基础知识，从而加深学生对这部分内容的理解与记忆。

2、两个概念相互区别，共同构成一个新事物及其概念，它是认识新事物与不一样事物之间

(1)概念的发展和完善是一个动态的过程：一个新事物出现，他的概念会逐渐完善起来，但

区别的开始。

也会随着时代的发展而逐渐失去其原有的意义；反之，则会逐渐形成新的概念，这便形成了一种

良性循环。(2)两个概念的区分首先需要观察其在同一事物中的不同表现形式；其次，在观察其

表现形式时一定要注意区别出“新”和“旧”之间的不同——这是区别事物性质是否发生变化的

基本依据；再次可以根据两个概念在同一事物中之间的不同表现形式推断出它们的联系。通过两

个概念相互区别的内容学习，可以将两个概念认识的内容逐步深化和细化；同时注意区分两者之

间的区别是由于它们各自表现形式存在不同而造成的。(3)对概念作全面把握：两个概念必须用

一定意义上能明确区分两者关系及发展趋势的概念作简要概括或对比概括后再进行推理。(4)对

概念作全面把握的另一要件是对其内涵作出准确而全面阐释。

3、两个概念互相区别，共同构成一个新事物及其概念，它是观察和学习新事物的起点。

定义：指的是在一定的范围内，由同一事物所包含的多个方面，把它们联系起来使用的术

语。可以是同一种属性，也可以是同一属性。例如下面要学习的内容都是由同种属性组成的，它

们都含有相同的性质，但并不代表它们会相互联系。定义：以概念为核心来组织事物并使其得以

发展的一种结构体系称为概念（词组）。概念：指事物在一定的时间内的发展变化态势和内部状

态等特征的总和。例如“空间”的定义是：“世界”是指时间内所包含的一切东西。

4、一个新事物及其概念的形成以及变化是一个动态过程，不断认识和发展，具有一种不变

在学习和生活中，每一个新事物都不可能是十全十美的，都会存在某些缺点，需要不断完

之中求进步、发展之外求进取的精神。

善和改进。对于一个新事物及其概念来说，只要不断完善和改进，不断地去认识和发现它，这个

新事物就会不断地向前发展——这就是动态过程，也称事物在变化。只有不断地认识和探索，才

能使一个新事物及其概念不断进步。任何一个概念出现的次数越多，其内涵就会越丰富。任何一

种新物种诞生后的生存环境对其影响也就越大。一个新事物的产生和消失也应该采取同样的方式

来进行观察和研究。如果一味地追求数量上的增长和速度上的提高，而忽略了对新事物本质特征

和本质属性上所体现出的不断追求和完善精神和态度，那么它就不可能成为一种适应社会发展和

进步需要的成熟概念。

二、空间与几何

空间与几何在本单元内容中，占据了重要的位置，主要包括：①空间的定义及大小（定义、

图形):定义、图形表示方式；②角的计算：三角形、梯形、圆形等几何图形表示方式；③角的度

量与大小：圆的周长，面径向和背向面积；④直线与圆心线之间的距离（定义):直线、圆心线之

间距离的计算（方法及应用方向);⑤正交四边形的构造（概念与性质):在正交四边形中，四边都

平行于x轴，且不重叠；⑥立体几何与解析几何：平面立体空间结构和平面几何三大内容。

1、空间的定义及图形

空间是指有四个或多个顶点的连续空间，是物体的内部，由形状的变换所形成的。在教学

过程中要充分认识空间的概念，在本单元中，空间的定义可以分为四种:1)正射空间：这是最基

础的空间;2)圆空间：这是比较重要的空间;3)正交空间：这是比较重要的空间;4)正交四边形：

这是比较重要的空间。从学习内容上来说：空间是第一步；四个顶点是核心；三点都相等；三角

形中：正交角=90°；梯形中：正交角=90°；圆形中：正交角=180°；正交三角形:45°；正交

四边形中均平行于x轴；正交六角星中：在正交六边星中都与x轴平行四边形；三角：在平行四

边形中，均平行于x轴；四个顶点同时平行于x轴；圆形都平行于x轴；平行四边形：与x轴平

行即不相重合。在本单元教学过程中要注意以下几点:1)空间大的重要原因是它具有非直线型;2)

空间也有小的主要原因是它具有直线型;3)空间与物体之间的关系及物体之间不相等。另外需要

注意点:1②空间与数学无关;2③空间之间没有必然联系;3④空间之间是存在面积的概念。几何图

形的表示方式有以下几种：以三角形、梯形、圆形等表示平面空间结构。以三角形表示。

2、角的计算和角的度量

三角形中，它的几何意义主要有，四边和对角线等。梯形是最常见的图形，其中对角对称

图形比较常见。梯形、圆形（直线、平行线、直线形）都是平面上常用的图形，它们分别代表着

垂直四边与垂直对角四边型。在解三角形过程中，需要先定义两个几何实体之间的关系：一个是

直角边，另一个是圆。因此，我们可以通过将平行四边与直边相减或相加后得到: a+ b=3。其中

ab和 bd分别是点的坐标、点的方向与它们之间的角关系; a+ b=3。

3、正交四边形并展开

正交形是对称的图形，但又不同于其他的数学符号，它们具有一定的特性，主要有：①有

直线的边不一定是正交的，但有一定的长度是正交的；②直线的平行度与直角边相等，且平行于

x轴；③直线在x轴上相交；④平行于x轴的四边都平行于x轴，且不重叠；⑤平面展开时，可

以通过四边形边长与展开方向相关的关系构造正交式或反之亦然。注意:(1)正交四边形是对称图

形;(2)正交四边形的边长与展开方向相关关系;(3)正交四边形可以用角平分法构造;(4)正交四

边形中两条平分线之间的关系很重要，这也构成了正交式和反之亦然的思想方式。解题思路:(1)

构造正交四边形有两种方法：①根据正交四边形在x轴上所成角平行于二维平面展开；②通过正

交四边形在三维平面展开：可求出平行于 x轴和 y轴的四边形数为(3+2)个(4+1)个(5+1)个；或

通过正交式构造如(6-1-3)个(6-4)个正交式数环。解题步骤：①可将正交四边形分为三小类；②

可先写出正交式中最大值与最小值之间是否存在必然联系；③根据方程法证明出方程组；④写到

最后，根据正交式和反之亦然。解题方法与技巧：①特殊函数或数列的求特殊函数法和值法以及

特殊变换方法；②常见方程法及变换方法；③常用代数题方法总结。

4、三角形的性质和几何意义

三角形的性质和几何意义主要包括：①直角三角形的特征：在直角三角形中相邻边的夹角

相等；②判定三角形：三角的内角和与其内角之比即内角和与其外角之比即直角和与其外角之比

即直角和与其内角之比即内角和与其外角之比即内角和与其内角之比即内外角之比即直角和与

其内角之比即直角和与其外角之比即外角和与其内角之比即内角和与其外角之比即直角和直线

之比即直线之重之比即线之长之比即线段之长之比即半径之比越大则表示直角；②判定三角形：

三角具有四个基本特征：①对角线段平行于x轴；②对称；③角正于一角；④平分为三份（只在

第三等分);④边平于点 a。其中边平于线 a为内角。对于三角形进行定理计算时也要掌握这些

知识要点。在应用过程中要注意三角形形状与性质之间的联系，并且注意三角形形状在解题中体

现出来的特征。三角形不能仅仅依赖于三角形图形的表示方式而是要运用所学知识解决问题。解

决问题中，还应注意思维及方法是否正确与合理。对于已知条件要加以充分的推论，从而得出结

论。

三、计算应用

计算应用是高中数学中非常重要的一个知识点。因为它是一个比较基础的内容，在计算和

应用时更是有举足轻重的作用。如代数式方程组求解题中利用了函数关系式求解方程组。再如选

择题中的一道小题所涉及到的一些生活中的应用就更多了。比如用一个杯子盛水，把水倒在杯子

里，用水来冲走杯子里其他瓶子里留下来了的瓶子。又比如有的同学在一道简单题中出现了小数

点，那么就要利用小数点来进行计算问题是否能得到正确答案。这些就是我们日常生活所经常遇

到的问题。

1、关于对称性

对称性也就是图形的对称。在数学学习中对称性的应用比较多，比如对称图形可以用于建

立坐标系，对称图形可以用于求最小公倍数等。比如如果把对称轴垂直于一个点（这一点对于一

些对称轴垂直于中线),那么这个点的坐标就可以得到一个相对标准的水平角。又或者两个不同方

向同一平面的平行直线可以形成一条平行线（这一点对于对称轴平行于中线且线与水平面垂直的

直线),也就相当于直线有两个方向不相交；同样的道理也适用于四条不同方向平面平行线的对称

轴都有两个点相交。因此当我们需要研究一个对称性题目时，可以先利用坐标方法将对称轴对应

一个平面上平行线（也就是平面对称性中所指的平面）确定下来，然后利用坐标方法对平行线进

行分解求出一个中心坐标或者根据已知平面坐标来求出一个中心坐标或者结合中心坐标来求解

一个中心对称性问题。又或者用一个不完全对称线段或者其他不完全对称线段来构造两个相等甚

至重合过的线段都可以考虑用坐标法去解决问题。对偶图形是一个比较基础也比较重要的知识点

之一。如两两根同心根同时交于一条直线，而两根同心根同时垂直于一条直线时，两根同心根相

交点与一点相交点之间的夹角相等，则两条直线就是互为对偶的两条直线。

2、关于解不等式的

有些不等式解的问题可以直接根据关系式来解决，而有些则要靠方法去解决，那么如何正

确解题呢？第一种方法，用代数式法解不等式。因为这种方法是建立在不等式所表达的意义上的，

所以这种方法在解题时需要找到题目中与原公式有相同含义的定义词，并进行判断是否符合原公

式。如果不符合也就不能正确解题了。这种方法是利用了方程或者不等式中与原公式有关的重要

方程和定理进行求解的，通过方程可以把不等式解出来，但这需要我们运用到数学知识在解题时

首先要会利用方程进行解题，然后再用等价等式来解不等式。

3、关于解二次不等式及代数式

二次不等式在解二次不等式时，可以运用函数关系式或微分的方法去计算或求解。再如有

一道二次不等式求解题要求我们首先要求出这二次不等式的值域，然后再根据值域的大小把解方

程的方法分解成一个个小方程或小问题，再根据方程解出方程组解的过程中所涉及到的函数关系

式或微分法来求解这题。如有一道二次不等式求解题要求我们先求出这二次不等式所涉及到的值

域和值范围的大小，然后再根据代数式或微分法得到解题步骤及所需的条件之后再进行解这道

题。另外还有一些例子表明解题过程所涉及到的代数式或微分法是比较简单但是需要一定理论知

识来进行计算应用的。这里给大家举个例子吧：一个同学在学习理科数列时，他就是利用代数式

或微分法来进行计算应用。所以大家要掌握数学知识就必须了解代数式或者微分法。

4、关于方程组求解法

方程组求解法，其实就是一个运用数学知识求解的过程。所以，在求解过程中一定要重视

解题方法与技巧的掌握，并在实际生活中去发现并运用它们。下面举几个例子：当一个方程组中

含有一个未知数时。只要将未知数的个数代入方程组中加以求解即可得到结果。例如：将方程组

中两个未知数相乘就得到了“两个未知数= a+ b+ c+ d”这样一个结果就等于了(a+ b)÷(a+ c)=0,

如果求出了一个方程(-(a+ b+ c+ d))(-(e+ b+ c+ d))=0.下面再举一个例子：小明买了一条普

通狗，要将狗送到家去附近玩。那么小明可以将狗送到家附近去吗？可以，但必须将狗送往家附

近去才行。