考研数学二解答题专项强化真题试卷61(题后含答案及解析)

2024年4月12日发(作者：衡水十三中数学试卷)

考研数学二解答题专项强化真题试卷61

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 求微分方程xlnxdy+(y一lnx)dx=0满足条件y|x=c1=1的特解．

正确答案：原方程改写为标准形式为

2． (2013年)当χ→0时，1－cosχ.cos2χ.cos3χ与aχn为等价无穷小，

求n与a的值．

正确答案： 由题设知＝1，故a＝7． 当n≠2时，显然不合题意．所

以a＝7，n＝2． 涉及知识点：函数、极限、连续

3． 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：

bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为

a+b+c=0。

正确答案：必要性。设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组有唯一

解，所以系数矩阵=0。又=6(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)2+(b

一c)2+(c一a)2]，而根据题设(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故a+b+c=0。充

分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，＜3。由于=2(ac—b2)=一2[a(a+b)+b2]=

一2[(a＋b)2＋b2]≠0，故r(A)=2。于是，r(A)==2。因此方程组(*)有唯一解，即

三直线l1，l2，l3交于一点。

解析：三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为2。

4． (2010年)求函数f(χ)＝的单调区间与极值．

正确答案：f(χ)的定义域为(－∞，＋∞)，由于 所以f(χ)的驻点为χ＝

0，±1． 列表讨论如下： 因此，f(χ)的单调增加区间为(－1，0)及(1，

＋∞)，单调减少区间为(－∞，－1)及(0，1)；极小值为f(±1)＝0，极大值为f(0)

＝(1－e-1)． 涉及知识点：一元函数微分学

5． 当x→0时，1－cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值．

正确答案：[详解1] 当x→0时，1－COS．rcos2xcos3x与axn为等价无穷

小，由三角函数的积化和差公式以及洛必塔法则得故n＝2，a＝7．[详解2] 当

x→0时，由泰勒公式于是cos3ccos2x＝，cosxcos2xcos3x＝1—7x2＋o(x2)．因此

1－cosxcos2xcos3ax＝7x2－o(x2)，即当x→0时，1－cosxcos2xcos3x与7x2为等

价无穷小量，故n＝2，a＝7． 涉及知识点：函数、极限、连续

6． (13年)设函数f(x)=lnx+(I)求f(x)的最小值；(Ⅱ)设数列{xn}满足lnxn+

存在．并求此极限．

正确答案：(I)f’(x)=。令f’(x)=0．解得f(x)的唯一驻点x=1．又f”(1)==1＞

0．故f(1)=1是唯一极小值．即最小值．(Ⅱ)由(I)的结果知从而有于是xn≤xn+1，

即数列{xn}单调增加． 涉及知识点：函数、极限、连续

7． (94年)设当x＞0时，方程有且仅有一个解．求k的取值范围．

正确答案：1)当k≤0时，f’(x)＜0，故f(x)递减，又当k＜0时．=-∞，当

k=0时，∴当k≤0时，原方程在(0，+∞)内有且仅有一个解．2)当k＞0时，令

f’(x)=0，得且为极小值点，又f”(x)＞0，则f’(x)单增，而上f’(x)＜0，f(x)单调减，

在上f’(x)＞0，f(x)单调增，又所以当且仅当时，原方程有且仅有一个解．时，

原方程有且仅有一个解．由上式解得而当原方程或无解，或有两个解．综上所述，

当或k≤0时，方程有且仅有一个解． 涉及知识点：一元函数微分学

曲线y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕X轴

旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。

8． 求S(t)／V(t)的值；

正确答案：S(t)=∫0t2πydx=2π∫0t()2dx，V(t)=π∫0ty2dx=π∫0t()2dx，

故S(t)／V(t)=2。 涉及知识点：一元函数积分学

9． 计算极限S(t)／F(t)

正确答案：F(t)=πy2|x=t=π()2， 涉及知识点：一元函数积分学

10． 设，已知线性方程组Ax＝b存在2个不同的解．(1)求λ，a；(2)求方

程组Ax＝b的通解．

正确答案：(1)方法一 由线性方程组Ax＝b存在2个不同解，得λ＝

－1，a＝－2．方法二 由线性方程组Ax＝b有2个不同的解，知r(A)＝r(A，6)

＜3，因此方程组的系数行列式 得λ＝1或－1；而当λ＝1时，r(A)＝1≠r(A，

b)＝2，此时，Ax＝b无解，所以λ＝－1．由r(A)＝r(A，b)得a＝－2． (2)

当λ＝－1，a＝－2时，故方程组Ax＝b的通解为：，k为任意常数．

解析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2

个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多

解． 知识模块：线性方程组