2016年山东省高考数学试卷(理科)及答案

2024年4月15日发(作者：数学试卷训练五年级)

2016年山东省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，

只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

2．（5分）设集合A={y|y=2

x

，x∈R}，B={x|x

2

﹣1＜0}，则A∪B=（ ）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如

图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为

[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

A．56 B．60 C．120 D．140

4．（5分）若变量x，y满足，则x

2

+y

2

的最大值是（ ）

A．4 B．9 C．10 D．12

5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体

的体积为（ ）

A．+π B．+π C．+π D．1+π

6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b

相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（ ）

7．（5分）函数f（x）=（

A． B．π C． D．2π

8．（5分）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），

则实数t的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x

3

﹣1；当﹣1≤x

≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的

切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）

A．y=sinx B．y=lnx

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的

C．y=e

x

D．y=x

3

i的值为 ．

12．（5分）若（ax

2

+）

5

的展开式中x

5

的系数是﹣80，则实数a= ．

﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点13．（5分）已知双曲线E：

在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．

2

+y

2

=914．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）

相交”发生的概率为 ．

15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，

使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．

三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）

=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′

的直径，FB是圆台的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

18．（12分）已知数列{a

n

}的前n项和S

n

=3n

2

+8n，{b

n

}是等差数列，且a

n

=b

n

+b

n

+

1

．

（Ⅰ）求数列{b

n

}的通项公式；

（Ⅱ）令c

n

=，求数列{c

n

}的前n项和T

n

．

19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一

个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜

对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的

概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮

结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．

21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

是

+=1（a＞b＞0）的离心率

，a∈R．

，抛物线E：x

2

=2y的焦点F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同

的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点

M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S

1

，△PDM的面积为S

2

，求

最大值及取得最大值时点P的坐标．

的

2016年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，

只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）（2016•山东）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（ ）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．

【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，

设z=a+bi，

可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．

解得a=1，b=﹣2．

z=1﹣2i．

故选：B．

2．（5分）（2016•山东）设集合A={y|y=2

x

，x∈R}，B={x|x

2

﹣1＜0}，则A∪B=

（ ）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运

算得答案．

【解答】解：∵A={y|y=2

x

，x∈R}=（0，+∞），

B={x|x

2

﹣1＜0}=（﹣1，1），

∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．

故选：C．

3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），

制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数

据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据

直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

A．56 B．60 C．120 D．140

【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的

频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，

故选：D

4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足，则x

2

+y

2

的最大值是（ ）

A．4 B．9 C．10 D．12

【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x

2

+y

2

的几何意义，即可行域内的动

点与原点距离的平方求得x

2

+y

2

的最大值．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），

∴|OA|＞|OC|，

联立

∵

，解得B（3，﹣1）．

，

∴x

2

+y

2

的最大值是10．

故选：C．

5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则

该几何体的体积为（ ）

A．+π B．+π C．+π D．1+π

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，

进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四

棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=

故R=，故半球的体积为：

．

=π，

棱锥的底面面积为：1，高为1，

故棱锥的体积V=，

故组合体的体积为：+π，

故选：C

6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直

线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件

的定义，可得答案．

【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，

当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，

故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，

故选：A

7．（5分）（2016•山东）函数f（x）=（

周期是（ ）

A． B．π C． D．2π

sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正

【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．

【解答】解：函数f（x）=（

（x+）=2sin（2x+），

sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos

∴T=π，

故选：B

8．（5分）（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若

⊥（t+），则实数t的值为（ ）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．

【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），

∴•（t+）=t•+

2

=t||•||•+||

2

=（

解得：t=﹣4，

故选：B．

）||

2

=0，

9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x

3

﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则

f（6）=（ ）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到

f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x

3

﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结

论．

【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），

∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．

∴f（6）=f（1），

∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（1）=﹣f（﹣1），

∵当x＜0时，f（x）=x

3

﹣1，

∴f（﹣1）=﹣2，

∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，

∴f（6）=2．

故选：D．

10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象

在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质

的是（ ）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e

x

D．y=x

3

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线

互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

进而可得答案．

【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切

线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；

当y=e

x

时，y′=e

x

＞0恒成立，不满足条件；

当y=x

3

时，y′=3x

2

＞0恒成立，不满足条件；

故选：A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和

9，则输出的i的值为 3 ．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．

第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；

第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；

第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，

故输出的i值为：3，