2024年4月15日发(作者：数学试卷卷面分析例文)
2016年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项
中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁
U
（A∪B）=（ ）
A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
2．（5分）若复数z=
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i
，其中i为虚数单位，则=（ ）
D．﹣1﹣i
3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如
图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为
[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，
这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）若变量x，y满足，则x
2
+y
2
的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体
的体积为（ ）
第1页（共22页）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b
相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
，7．（5分）已知圆M：x
2
+y
2
﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2
则圆M与圆N：（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a
2
=2b
2
（1
﹣sinA），则A=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1；当﹣1≤x
≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 ．
第2页（共22页）
C．y=e
x
D．y=x
3
12．（5分）观察下列等式：
（sin
（sin
（sin
（sin
…
照此规律，
（sin）
﹣
2
+（sin）
﹣
2
+（sin）
﹣
2
+…+（sin）
﹣
2
= ．
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
=×1×2；
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+（sin
）
﹣
2
+sin（
）
﹣
2
+…+sin（
）
﹣
2
+…+sin（
）
﹣
2
=×2×3；
）
﹣
2
=×3×4；
）
﹣
2
=×4×5；
13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的
值为 ．
14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点
在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，
使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
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三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需
转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域
中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）
2
．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
再把得到的图象向左平移
值．
18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的
第4页（共22页）
19．（12分）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=3n
2
+8n，{b
n
}是等差数列，且a
n
=b
n
+b
n
+
1
．
（Ⅰ）求数列{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）令c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
20．（13分）设f（x）=xlnx﹣ax
2
+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
21．（14分）已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在
第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延
长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
为定值；
+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．
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2016年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项
中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5分）（2016•山东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，
4，5}，则∁
U
（A∪B）=（ ）
A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，
则A∪B={1，3，4，5}．
∁
U
（A∪B）={2，6}．
故选：A．
2．（5分）（2016•山东）若复数z=
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
，其中i为虚数单位，则=（ ）
【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵z=
∴=1﹣i，
故选：B
3．（5分）（2016•山东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），
制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数
据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据
直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
==1+i，
第6页（共22页）
A．56 B．60 C．120 D．140
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的
频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D
，则x
2
+y
2
的最大值是（ ）
4．（5分）（2016•山东）若变量x，y满足
A．4 B．9 C．10 D．12
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x
2
+y
2
的几何意义，即可行域内的动
点与原点距离的平方求得x
2
+y
2
的最大值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
第7页（共22页）
联立
∵
，解得B（3，﹣1）．
，
∴x
2
+y
2
的最大值是10．
故选：C．
5．（5分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则
该几何体的体积为（ ）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四
棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
故R=，故半球的体积为：
．
=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=，
故组合体的体积为：+π，
第8页（共22页）
故选：C
6．（5分）（2016•山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直
线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件
的定义，可得答案．
【解答】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，
当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，
故选：A
7．（5分）（2016•山东）已知圆M：x
2
+y
2
﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线
段的长度是2
A．内切
，则圆M与圆N：（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=1的位置关系是（ ）
C．外切 D．相离
B．相交
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行
判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：x
2
+（y﹣a）
2
=a
2
（a＞0），
则圆心为（0，a），半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=，
，
∵圆M：x
2
+y
2
﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2
∴2=2=2=2，
即=，即a
2
=4，a=2，
则圆心为M（0，2），半径R=2，
圆N：（x﹣1）
2
+（y﹣1）
2
=1的圆心为N（1，1），半径r=1，
则MN=
=，
第9页（共22页）
∵R+r=3，R﹣r=1，
∴R﹣r＜MN＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B
8．（5分）（2016•山东）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，
a
2
=2b
2
（1﹣sinA），则A=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进
行求解即可．
【解答】解：∵b=c，
∴a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA=2b
2
﹣2b
2
cosA=2b
2
（1﹣cosA），
∵a
2
=2b
2
（1﹣sinA），
∴1﹣cosA=1﹣sinA，
则sinA=cosA，即tanA=1，
即A=，
故选：C
9．（5分）（2016•山东）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则
f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到
f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结
论．
【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
第10页（共22页）
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x
3
﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
10．（5分）（2016•山东）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象
在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质
的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=e
x
D．y=x
3
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线
互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切
线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；
当y=e
x
时，y′=e
x
＞0恒成立，不满足条件；
当y=x
3
时，y′=3x
2
＞0恒成立，不满足条件；
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2016•山东）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S
的值为 1 ．
第11页（共22页）
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函数,直线,平面,自习时间
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