一个具有反射壁的随机环境中二重随机游动的注记

2024年1月1日发(作者：小升初数学试卷电子)

第３３卷第１期　温州大学学报・自然科学版　２０１２年２月　Ｖｂｌ　３３．Ｎｏ　１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＷｅｎｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ’Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｆｅｂ，２０１２　一个具有反射壁的随机环境中　二重随机游动的注记　杨朝强，常迎香　（兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州　７３００７０）　摘要：对一类随机环境中的二重随机游动的首达概率进行研究．在平稳遍历条件下讨论了随机环境　中的单边二重随机游动的常返性，应用随机环境下转移概率的Ｍａｒｋｏｖ性，得出了在独立同分布条件　下的一个中心极限定理．　关键词：随机环境；单边二重随机游动；转移概率；中心极限定理　中图分类号：Ｏ２１１．６２　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—３５６３（２０１２）０１．００１１－０６　ＤＯＩ：１０．３８７５￣．ｉｓｓｎ．１６７４．３５６３．２０１２．叭．００３　本文的ＰＤＦ文件可以从ｘｕｅｂａｏ．ＷＺＵ，ｅｄｕ．ｃｎ获得　近年来，随机环境中的随机游动问题受到国内外学者的广泛关注［　１，尤其是在一些特殊环境　下的随机游动，在满足平稳遍历条件时，其转移概率的分布往往会表现出一些优良的极限性质．例　如，文献【８．９】引入了随机环境中的单边二重随机游动，在常返状态下，考虑了游动的首达时与分　支链转移概率所满足的大数定律．本文继续沿用文献［８－９］中的二重随机游动模型，在平稳遍历条　件下讨论了游动状态的常返性，考虑了随机环境下首达概率的Ｍａｒｋｏｖ性，得出了在独立同分布条　件下的一个中心极限定理．　定义ｌ嘲设　＝（　，　）　是概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｐ）上定义在（０，１）　上的随机变量．当给定　时，｛　）　０为时齐二重随机游动，且满足Ｐ（　＝０，　＝１）＝１，当　１，Ｊ　１时，有：　尸（　＋　＝１　ｌ　一　＝ｌ，　＝０，　）＝１，　Ｐ（　＋１＝Ｊ＋１　ｌ　一。＝Ｊ一１，　＝Ｊ，　）＝　，，　Ｐ（　＋１＝Ｊ一１　Ｉ　Ｘｎ一１＝Ｊ—ｌ，Ｘｎ＝　，ｃｏ）＝ｌ一　，，　尸（　＋　＝Ｊ一１　ｆ　一１＝Ｊ＋１，　＝Ｊ，　）＝　，，　尸（　＋ｌ＝　＋１ｌ　一１＝Ｊ＋１，　＝Ｊ，ｃｏ）＝１一　，，　则称｛　）　＞０为随机环境　下的单边二重随机游动．　收稿日期：２０１１－０５．１３　基金项目：甘肃省教育厅科研项目（０８０４—１０）　作者简介：杨朝强（１９８４一），男，甘肃通渭人，硕士研究生，研究方向：随机过程及应用　

１２　温州大学学报・自然科学版（２０１２）第３３卷第１期　１一些常返性结果　引理１　设　【　，　Ｊ　是平稳遍历的随机变量，｛　｝　。在　下为不可约二重ＭａｒｋｏＶ　链，记　关于Ｐ的分布为０，则有【９］：　１）当Ｅ　ｌｏｇ（Ｇ．　）　０时，对于　几乎处处在随机环境　下，｛　）　在　下常返；。　＿　　，２）　Ｅ￣ｌｏｇ（　ｇ１）＞ｏ时对于　几乎处处在随机环境　下，㈥　在　下非常返・　定理１设　＝（　，　）　平稳遍历，则有：　１）当Ｅ口１ｏｇ（　）＜Ｏ时，对于　几乎处处在随机环境缈下，｛　｝　ｏ在　下正常返；　２）当　ｌ。ｇ（　）＝ｏ时，对于　几乎处处在随机环境　下，｛　）　在　下零常远　证明：１）由引理ｌ，当Ｅ　ｌ。ｇ（　）＜０时，对于　几乎处处在随机环境　下，｛　）脚在　下常返，故　（　４－０ｏ｛　：　））＝１，Ｖｎ　１．　由于　＝（　，　）　的平稳遍历性，对于　几乎处处在　环境下，所以有：　１　ｎ　＃　！ｉｍ－－ｔ　Ｅｌｏｇ　ｑ￣＝Ｅ　ｌｏｇ　ｃ，　…ｎ　ｆ－１声‘Ｉ　于是，对Ｖ　＞０，存在一个Ｎ＞０，对于Ｖｎ＞Ｎ有：　丢…删，　此时，鱼．量…益＜ｅｎ（…），艺益．益…益＜　，　ｎ）￣Ｅｏｌｏｇ鱼＜　，　于　几乎处处　ｐ２　＿ｕ　＝　２　ｎ　ｐｔ　成立．　ｌｉｍｌＦｈ　Ｅ￣ｌｏｇ（　￣Ｌ）－０，￣＂－…，２百￣　ｇ一　　Ｅ￣ｌｏｇ　￣￣。。　几乎　存在一个　Ⅳ（　）＞０，当　Ⅳ（　）时，Ｅｏ　ｌ。ｇ益　０，于是就有：　喜ｃ・。ｇ去　－１＝　Ｎ　・。ｇ毒　＋　・。ｇ丢　：ｏ。　Ｐ．　眦　ｏｏ（１０ｇ　一又由　＝（　，　）　的平稳遍黜对于　几乎处处在　环　

杨朝强等：一个具有反射壁的随机环境中二重随机游动的注记　＿　ｌ３　ｌ￣　ｌｏｇ　＜ｏ，则对于　几乎处处在随机环境　下，　在　下正常返，即在随机环境　下，　令贸＝　｛（　，　），，ｚ　１），　＝。，　＝｛　ＩＯｍ０９ｉｎ　七　。，　＝　’　台　Ｕ　，若　ｆ（ｉ，　）＝尸（　＝ｋ　ｌ　ｘｏ＝　）＝　（　＝尼），　（ｆ）＝∑ｋｆ（ｉ，　），　ｆ　（　）＝专Ｆ（ｆ＋１）＋ｆｌｉＦ（ｉ一１）＋ｌ，０＜ｉ＜，？　｛Ｆ（０）＝１＋Ｆ（１）　Ｉ，（，ｚ）＝０　构造在概率空间（Ｑ，Ｆ，Ｐ）上的二重随机游动｛　）　。，且满足转移概率为：　其中　＝（　，，　）　是随机环境且是平稳遍历的，ｉ？，ｃｏ’关于Ｐ的分布为　，则　＝（　，　）　与　＝（　，　）　分布是相同的．　令　。＝。，　＝ｍｉｎ　。’　’　，　＝Ｚ＂－－￣ｒｎ＿ｌ，ｎ＿＞１为在随机环境　下　Ｚ＂ｎ　１台则　的推移算子，由于｛　＋　，　１｝满足独立同分布，令　：　互Ｉ＋　ｉｆ，则有Ｅ　。　：｛ｌ一，　＜１．　设在随机环境　＝｛　）　ｚ＋下，满足　ｌｉ＿ｍ＋　Ｘ　＝＋ｏ。时有　：　Ｅ　Ｔ　－－Ｚ（１＋　）　…　，其中　∈Ｚ　；　ｉ＝１　五一１　＝　（　）一　）　＝（１＋　＋　＋　＋・・）－　一［∑（１＋　）　…（５Ｉ　］　，其中　∈ｚ　．　

１４　温州大学学报・自然科学版（２０１２）第３３卷第１期　定理２若随机环境硼从独立同分布，若　１。ｇ丢＝Ｅ￣＇ｌｏｇ　０，研蔷　则：　１）　＝＝＞Ｎ（０，　）；　２）益　Ⅳ（ｏ（　１＋５），，ｚ　），，ｎ　１一。　（　∞）．　证明：１）对任意的正整数　，　，　，根据　的定义，　ｒｎ　，ｚ）ｃ｛　）ｃ【｛　＋　）ｕ｛（　ｉｎ　　ｆ＋　）ｎ（　＋　＜　）｝Ｊ　ｃ　（　∥　氅　＋　）　帼），　由已知条件随机环境ＣＯ服从独立同分布，根据随机环境下转移概率Ｍａｒｋｏｖ性以及条件　Ｅ　１。ｇ鱼：Ｅ　１。ｇ　＞０，有：　ｐＪｉｍ尸｛ｉ　Ｓ＞ｌ＂ｎｆ　一（　＋　）　一　，　ｌ｝＝０，　—　Ⅷａ＋Ｂ　于是，对于任意的正整数　，　以及　＞０，存在足够大的　使得　ＪＦ）（　）　Ｐ（　）　Ｐ（　＋口　）＋　成立．对任意实数　，记　）＝　州　）３／　＋Ｄ（　），　贝０　＝　（　，　）—　＋ｏ０，（　—　∞），且　Ｐ（　（　＿厂ｔ＂　Ｘ　．－ｎ　（１＋３．）　／（１－ｆｉ）　）・　［（１＋　）／（１一　）］　√　Ｄ　’　又因为　Ｐ　ｃ　＝，　Ｐ　二丛　生。＝　乏　三亨　≥　二　若　，　其中，ｌｉｍｎ－ａ（ｎ，ｘ）（１－５）／（１＋５）一一　，　．√　（　，　）Ｄ　’　又因为　＝Ｅ喜－Ｔ，ｉ＿ｎ（１　＋５），对于任意的　１　１＋５巫２５（１－５＂）尸（　斗　：　一生：　１＋５一　：　ｎｅ（１一　０，（一　　∞），　

物朝强等：一个具有反射壁的随机环境中二重随机游动的注记　所以　二三！　０，从而　ｎ　＝＝＞Ｎ（０，　）．　２）￣ＪＩＮ２，Ｅ—Ｔ　：∑（１＋８１）４…　，其中ｋ∈Ｚ　，　Ｅ　（　）＝（１＋　＋　两边对于　取期望可得：　＋　＋…）　，其中ｋ∈Ｚ　，　Ｅ　（　”　）＝　（１＋　＋　≤　（　１－　ｄ）　＜ｏ。，　＋　＋…）　＝（１＋　＋Ｅ８８２＋Ｅ　，＋…）　ｌ十Ｄ　于是有Ｄ。Ｔ　Ｅ　”　）＜００．　由于｛　，ｎ　１｝满足独立同分布，则有：　ｘ）＞Ｐ（　’ａ（ｎ１Ｅ）　－，Ｐ（　ａ（ｎ，ｘ）＋Ｍ￣Ｅ１）＝　（　）＝　１　ｅｅｘｐ　＿ｔ２　，　—　０，所以有：　ｘ）＞Ｐ（￣ａ（ｎ１Ｅ）＝ｌｉｍＰ（＂ｆｃｔ（ｎ－，…，ｘ）＋Ｍ￣Ｅｌ　（　去ｅｅｘｐ（　＿ｔ２　．　ｎ对于任意的　，存在唯一的　（　）使得　≤　ｒｋ＋１，ｋｎ∈Ｚ　．由条件　＜１，利用Ｊｅｎｓｅｎ　＃　芒　不等式Ｅ　ｌｏｇ　∥ｌ　声　ｌｏｇ　Ｅ　＝ｌｏｇ　６＜０，由随机环境下转移概率的Ｍａｒｋ０ｖ性以及条件　１　　。‘一一　即　Ｅ。ｌｏｇ　＝Ｅ　ｌＯｇ￣ｌ＞０，有　”　＜　＋１，　”　…可得　ｌ—Ｄ　，于是鲁　ｌ＋　，　＋６洲Ｉ（ｏ，１Ｖ　———————　＝一————一＝　ｌＵ。　・Ｉ…，／厶，～　）．１．　－、，，ｚ　…１　一　Ｏ　。　参考文献　［１】Ｋｏｚｌｏｖ　Ｍ　Ｖ．Ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋ　ｉｎ　ａ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｒａｎｄｏｍ　ｍｅｄｉｕｍ［Ｊ］．Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐ１ｉｃａｔｉｏｎｓ，　１９７３，１８：３８７—３８８．　［２１　Ｓｏｌｏｍｏｎ　Ｆ．Ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋ　ｉｎ　ａ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｔｈｅ　Ａｎｎａｌｓ　ｏｆＰｒｏｂａｂｉｌｉｙ１９７５，３（１１：１－３１．ｔ　，［３］Ｓｚａｓｅ　Ｄ，Ｔｏｔｈ　Ｂ．Ｐｅｒｅｓｉｓｔ　ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋｓ　ｉｎ　ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ】．Ｊｏｕｍａ１　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａ１　Ｐｈｙｓｉｃｓ．　１９８４，３７（１）：２８—３８．　［４】Ｋａｒｌｉｎ　Ｓ，Ｔａｙｌｏｒ　Ｈ　Ｍ．Ａ　Ｆｉｒｓｔ　Ｃｏｕｒｓｅ　ｉｎ　Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ１９７５：４７４．４８９．　。【５］Ａｌｉｌｉ　Ｓ・Ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ　ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋｓ　ｉｎ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ［Ｊ】．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　Ｐｈｙｓｉｃｓ１　９９９，９４（３）：４６９．４９４．　，［６］基赫曼Ｎ　Ｎ，斯科罗霍德Ａ　Ｂ．随机过程论：第一卷［Ｍ］石北源，译．北京：科学出版社．１９８６：１２５—１２７．．　［７】Ｆａｙｏｌｌｅ　Ｇ，Ｍａｌｙｓｈｅｖ　Ｖ，Ｍｅｎｓｈｉｋｏｖ　Ｍ　Ｖ．Ｔｏｐｉｃｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｃｏｕｎｔａｂｌｅ　Ｍａｒｋｏｖ　Ｃｈａｉｎｓ［Ｍ１．　Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙ　ｔＰｒｅｓｓ．１９９５：９８．１３０．　

１６　温州大学学报・自然科学版（２０１２）第３３卷第１期　［８］王伟刚，胡迪鹤．随机环境下单边二重随机游动［Ｊ］．工程数学学报，２０１０，２７：９２—９８．　［９】荣民希，胡迪鹤，孔凡秋．随机环境中单边二重生灭链的常返性【Ｊ】．武汉大学学报：理学版，２００７，（１）：１３—１７　Ｎｏｔｅ　ａｂｏｕｔ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｗａｌｋｓ　ｏｆ　Ｏｒｄｅｒ　２　ｗｉｔｈ　Ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ　Ｂａｒｒｉｅｒ　ｉｎ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　ＹＡＮＧ　Ｚｈａｏｑｉａｎｇ，ＣＨＡＮＧ　Ｙｉｎｇｘｉａｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，　Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ，Ｃｈｉｎａ　７３００７０）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｉｓｓｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ａｒｒｉｖｉｎｇ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　１　ｓｔ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋｓ　ｏｆ　Ｏｒｄｅｒ　２　ｉｎ　ａ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ａｎｄ　ｒｅｃｕｒｒｅｎｃｅ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋｓ　ｏｆ　ｓｉｎｇｌｅ　ｓｉｄｅ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　２　ｗａｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆｔｈｅ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ａｎｄ　ｅｒｇｏｄｉｃ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ　ｃｅｎｔｒｅ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒａｎｄｏｍ　ｗａｌｋｓ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｍａｒｋｏｖ　ｏｆ　ｒｔａｎｓｉｔｉｏｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｉｎ　ａ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｒａｎｄｏｍ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ；Ｒａｎｄｏｍ　Ｗａｌｋ　ｏｆ　Ｓｉｎｇｌｅ　Ｓｉｄｅ　ｗｉｔｈ　Ｏｒｄｅｒ　２；Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ；Ｃｅｎｔｒｅ　Ｉ　ｉｍｉｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　（编辑：王一芳）