2024年4月14日发(作者：军考真题数学试卷)
第二章 极限论
§2.1 上极限与下极限
设
{
x
n
}
是有界数列,E是
{
x
n
}
的聚点之集, 由Weierstrass定理可知E≠Φ, 且
对任意
a∈
E, 有
inf
{
x
n
}
≤
a
≤
sup
{
x
n
}
, 这表明E是有界集合。
定义1. α＝
sup
E, β＝
inf
E 分别称为数列
{
x
n
}
的上极限、下极限，记作
α＝
lim
x
n
, β＝
lim
x
n
n→∞
_____
n→∞
由定义可得
定理1. 对任意有界数列
{
x
n
}
, 有
lim
x
n
≤
lim
x
n
n→∞
n→∞
_____
定理2. 设α,β是有界数列
{
x
n
}
的上、下极限，则α,β是
{
x
n
}
的聚点。
证明：设E是
{
x
n
}
的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个
x
n
, 满足
|
x
n
－α|＜ε. 事实上, α＝
sup
E, 对任意ε＞0, 存在α
0
∈E, 满足
α－
ε
2
＜α
0
≤α＜α＋
ε
2
,
对于α
0
∈E以及如上的ε＞0, 存在无穷多个
x
n
满足
α
0
－
ε
2
＜
x
n
＜α
0
＋
ε
2
从而存在无穷多个
x
n
满足 α－ε＜
x
n
＜α＋ε, 这表明α是
{
x
n
}
的聚点。同理
可证β是
{
x
n
}
的聚点。证毕。
定理3. α是有界数列
{
x
n
}
的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:
(1) 存在自然数N, 当
n
≥N时,
x
n
＜α＋ε;
37
(2) 对任意自然数
k
, 存在
n
k
≥k
, 使
x
n
k
＞α－ε.
证明: 设E是有界数列
{
x
n
}
的聚点之集, 由定理2, 若α是
{
x
n
}
的上极限, 则
α∈E
⇐
：由条件可知，α是
{
x
n
}
的聚点, 即α∈E, 若α＜
sup
E＝α\',则对
ε
0
＝α\'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当
n
≥N时,
x
n
＜α＋
ε
0
＝α\'＋α
另一方面, 由于α\'∈E, 对如上的自然数N, 存在
n
N
≥
N, 使
x
n
N
＞α\'－
ε
0
＝α\'＋α
引出矛盾, 因此必有 α＝α\'＝
sup
E.
⇒
：由定理2, α是
{
x
n
}
的聚点, 因而(2)成立。
对于(1), 用反证法, 若存在
ε
0
＞0, 对任意自然数N, 存在
n
N
≥N, 使
x
n
N
≥
α
+
ε
0
, 据Bolzano－Weierstrass致密性定理, 有界点列
x
n
N
存在收敛的子
列, 且其极限值不小于
α
+
ε
0
，这与
α
=
sup
E 矛盾。 定理证毕。
类似于定理3, 可以证明:
定理3\': β是有界数列
{
x
n
}
下极限的充分必要条件是: 对任意ε＞0有
(1) 存在自然数N, 当
n
≥N时,
x
n
＞β－ε;
(2) 对任意自然数
k
, 存在
n
k
≥
k
, 使
x
n
k
＜β＋ε.
推论: 有界数列
{
x
n
}
收敛的充分必要条件是:
lim
x
n
=
lim
x
n
n
→∞
n
→∞
{}
_____
证明:
⇒
：设有界数列
{
x
n
}
收敛于
a
, 由极限的唯一性可知
{
x
n
}
的聚点之集
E是单点集
{
a
}
, 从而
sup
E＝
inf
E＝
a
, 此即:
lim
x
n
=
lim
x
n
＝
a
n
→∞
n
→∞
_____
⇐
：设
lim
x
n
=
lim
x
n
＝
a
, 由定理3与定理3\', 对任意ε＞0, 存在自
n
→∞
n
→∞
_____
38
然数N, 当
n
≥N时,
a
－ε＜
x
n
＜
a
＋ε, 这说明
{
x
n
}
是收敛的, 且以
a
为极限,
证毕。
注: 容易看出, 定理3(定理3\')中的条件(2)可以改述为:
(2)\' 有穷多个自然数
n
, 使
x
n
＞α－ε (
x
n
＜β＋ε)
定理4. 设
{
x
n
}
是有界数列, 则
(1) α是
{
x
n
}
的上极限, 当且仅当
α＝
inf
sup
{
x
k
,
x
k
+
1
,
L
}
＝
infsup
x
k
k
≥
1
k
≥
1
n
≥
k
(2) β是
{
x
n
}
的下极限，当且仅当
β＝
sup
inf
{
x
k
,
x
k
+
1
,
L
}
＝
supinf
x
n
k
≥
1
k
≥
1
n
≥
k
证明: 仅证(1). (2)的证明完全类似。
若α是
{
x
n
}
的上极限, 据定理3, 对任意ε＞0, 存在自然数
k
, 当
n
≥
k
时
有
x
n
＜α＋ε, 从而
α＋ε≥
sup
x
n
, α＋ε≥
infsup
x
n
n
≥
k
k
≥
1
n
≥
k
又对如上的ε＞0, 及任意自然数
k
≥1, 存在
n
≥
k
,使
x
n
＞α－ε, 从而
α－ε＜
sup
x
n
, 对任意自然数
k
≥1成立, 即 α－ε≤
infsup
x
n
, 于是
n
≥
k
k
≥
1
n
≥
k
α－ε≤
infsup
x
n
≤α+ε
k
≥
1
n
≥
k
由于ε＞0是任意的, 所以 α＝
infsup
x
n
.
k
≥
1
n
≥
k
反之, 设α＝
infsup
x
n
, 则对任意ε＞0, 有
k
≥
1
n
≥
k
α＋ε＞
infsup
x
n
k
≥
1
n
≥
k
从而存在自然数
k
, 使 α＋ε＞
sup
x
n
, 当
n
≥
k
时, 有
x
n
＜α＋ε, 这就是定
n
≥
k
理3的条件(1)
39
另一方面，α－ε＜
infsup
x
n
, 即对任意
k
, 有 α－ε＜
sup
x
n
, 从而存
k
≥
1
n
≥
kn
≥
k
在
n
≥
k
, 使
x
n
＞α－ε, 这就是定理3的条件(2). 依定理3, α是
{
x
n
}
的上极
限。
综上可知
lim
x
n
＝
infsup
x
n
，定理证毕。
n
→∞
_____
k≥
1
n
≥
k
注: 设
M
k
＝
sup
x
n
, 则
{
M
k
}
是单调递减数列, 且
n
≥
k
M
k
≥
inf
x
n
≥
inf
x
n
＝
inf
{
x
n
}
n
≥
k
n
≥
1
即
{
M
k
}
有下界, 据单调有界定理,
{
M
k
}
收敛, 且
lim
M
k
＝
inf
M
k
＝
infsup
x
n
k
→∞
k
≥
1
k
≥
1
n
≥
k
因此有界数列
{
x
n
}
的上极限还可定义为:
_____
n
→∞
lim
x
n
＝
limsup
x
n
＝
limsup
{
x
k
,
x
k
+
1
,
L
}
k→∞
n
≥
k
k→∞
类似地有:
lim
x
n
＝
liminf
x
n
＝
liminf
{
x
k
,
x
k
+
1
,
L
}
n
→∞
k
→∞
n
≥
k
k
→∞
如果在广义实数系考虑, 则对任意数列
{
x
n
}
, 其上、下极限都是存在的。事
实上，我们容易证明下述二个命题：
1. 数列
{
x
n
}
以+∞为上极限, 当且仅当下述诸条件之一成立:
(1)
{
x
n
}
无上界;
(2) 存在
{
x
n
}
的子列
x
n
k
,使
lim
x
n
k
＝+∞;
k
→∞
{}
(3) 对任意M＞0, 以及自然数
k
, 存在
n
≥
k
, 使
x
n
＞M.
2. 数列
{
x
n
}
以-∞为下极限, 当且仅当下述诸条件之一成立:
(1)
{
x
n
}
无下界;
(2) 存在
{
x
n
}
的子列
x
n
k
, 使
lim
x
n
k
＝-∞;
k
→∞
{}
40
(3) 对任意M＞0, 以及自然数
k
, 存在
n
≥
k
, 使
x
n
＜－M.
最后, 我们简单介绍一下函数上、下极限的概念。
定义2. 设函数
f(x)
在
x=a
的某空心邻域
U
(
a
)
内有定义, 若存在数列
0
{
x
n
}
,
x
n
→
a
,
n
→∞, 使
lim
k
→∞
f
(
x
k
)
＝α, 则称α为函数
f(x)
当
x
→
a
时的一
个子极限。一切子极限的上确界A, 下确界B分别称为
f(x)
当
x
→
a
时的上、下
极限，记作：A＝
lim
f(x)
, B＝
limf(x)
x
→
a
x
→
a
____
_____
1
例1. 设
f(x)
＝
sin
, 求
lim
f
(
x
)
,
lim
f
(
x
)
x
→
0
x→
0
x
解: 令
x
n
＝
π
2
, 则
lim
x
n
＝0, 且
f
(
x
n
)
＝
sin(2
n
π
+
)
＝1，
n→∞
2
(4
n
+
1)
π
所以1是
x
→0时
f
(
x
)
的一个子极限。
令
y
n
＝
3
π
2
, 则
lim
y
n
＝0, 且
f
(
y
n
)
＝
sin(2
n
π
+
)
＝-1，
n→∞
2
(4
n+
3)
π
_____
x
→
0
注意到
f
(
x
)
≤1, 故
lim
f
(
x
)
＝1,
lim
f
(
x
)
＝-1
x
→
0
____
1
例2. 设
f
(
x
)
＝
exp(
)
, 求
lim
f
(
x
)
,
lim
f
(
x
)
x
→
1
x→
1
x−
1
解: 由于
lim
f(x)
＝+∞,
lim
f(x)
＝0, 故当
x
→1时,
f(x)
只能有两个
+−
x
→
1
x
→
1
子极限: +∞与0, 因此
lim
f
(
x
)
＝+∞,
lim
f
(
x
)
＝0.
x
→
1
x
→
1
________
对于函数的上、下极限，也有类似于数列上、下极限的性质，读者可以自证下
述结论。设 A＝
lim
f
(
x
)
, B＝
lim
f
(
x
)
x
→
a
x
→
a
____
1. B≤A;
2. A、B是
x
→
a
时
f
(
x
)
的子极限;
3. 设函数
f(x)
在
U
(
a
)
内有定义且有界, 则A(B)是当
x→a
时
f(x)
的上
(下)极限, 当且仅当对任意ε＞0, 有
41
0
(1) 存在
δ
>
0, 对任意
x∈U
(
a
,
δ
)
, 有
f(x)
＜A＋ε(
f(x)
＞B－ε);
(2) 对任意
δ
>
0, 在
U
(
a
,
δ
)
中有无穷多个
x
, 使
f
(
x
)
＞A－ε (
f
(
x
)
＜B＋ε);
4. A＝
inf
δ
>
0
x∈U
0
(a,
δ
)
0
0
sup
{
f(x)
}
; B＝
sup
x∈U
inf
{
f(x)
}
(a,
δ
)
δ
>
0
0
5. A＝
limsup
δ
→
0
x∈U
0
(a,
δ
)
{
f(x)
}
; B＝
liminf
{
f(x)
}
δ
→
0
x∈U
(
a
,
δ
)
0
6.
lim
f(x)
存在(有限或无限)当且仅当A＝B
x→a
习 题
1. 求下列数列、函数的上极限与下极限：
(1)
x
n
＝(-1)
n−1
(2＋
3
n
π
2
n
); (2)
x
n
＝
；
sin
n
n+
14
(3)
f
(
x
)=
x
cos
x
,
x
→∞; (4)
f
(
x
)=sin(ln
x
)
,
x
→2;
(5)
f
(
x
)
＝[1＋
cos(1/
x
)
]
(6)
f
(
x
)
＝
2
sec
2
(1/x)
,
x
→0;
x
,
x
→∞;
1+
x
2
sin
2
x
2. 若存在自然数N, 当
n
≥N时,
x
n
≤
y
n
, 证明:
lim
x
n
≤
lim
y
n
,
lim
x
n
≤
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
__________
3. 证明: (1)
lim
(
x
n
＋
y
n
)≤
lim
x
n
＋
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
_______________
(2)
lim
(
x
n
＋
y
n
)≥
lim
x
n
＋
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
4. 设
x
n
≥0,
y
n
≥0, 证明:
(1)
lim
(
x
n
y
n
)≤
lim
x
n
·
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
_______________
(2)
lim
(
x
n
y
n
)≥
lim
x
n
·
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
42
(3)
lim
(
x
n
y
n
)≤
lim
x
n
·
lim
y
n
≤
lim
(
x
n
y
n
)
n
→∞
n
→∞
n
→∞
n
→∞
__________
5. 若{
x
n
}收敛, 则对任意数列{
y
n
}, 有
(1)
lim
(
x
n
＋
y
n
)＝
lim
x
n
＋
lim
y
n
n
→∞
n
→∞
n
→∞
__________
(2)
lim
(
x
n
y
n
)＝
lim
x
n
·
lim
y
n
,
x
n
＞0
n
→∞
n
→∞
n
→∞
__________
6. 设
σ
n
＝
(1)
lim
n
→∞
_____
x
1
+
x
2
+L+
x
n
, 证明:
n
_____
n
→∞
n
→∞
n
→∞
σ
n
≤
lim
x
n
; (2)
lim
σ
n
≥
lim
x
n
_____
n
→∞
7. 如果
b
>
lim
x
n
=
a
, 证明: 必存在自然数N, 当
n
≥N时有
x
n
<
b
, 又
若
b
>
lim
x
n
, 则情况如何？
n
→∞
8. 设
x
n
＞0, 证明: 若
lim
x
n
⋅
lim
x
n
=
1
, 则数列{
x
n
}收敛。
n
→∞
n
→∞
__________
−
1
且
lim
(
x
n
+
1
－
x
n
)＝0, 证明: 数列
{
x
n
}
的聚点遍布于其上、
9. 设
{
x
n
}
有界,
n
→∞
下极限之间。
10. 设
{
a
n
}
是正数数列, 证明:
_____
1
+
a
n
+
1
a
1
+
a
n
+
1
n
)
≥e
; (2)
lim
n
(
−
1)
≥
1
(1)
lim
(
n→∞
n→∞
a
n
a
n
_____
§2.2 数列极限
关于数列极限的存在性, 其论证方法是多种多样的, 涉及的概念和定理也很
多，例如，读者比较熟悉的有：
1. 数列极限的定义;
2. 数列收敛的Cauchy准则;
3. 单调有界数列收敛定理;
4. 实数系完备性的其它等价命题;
5. 迫敛性定理;
43
6. 定积分的定义;
7. 数项级数收敛的条件;
除上述几种常用方法外, 我们在本节再介绍几种在教科书中未涉及的方法:
8. 上、下极限理论;
9. Stolz定理;
10. Toeplitz定理;
使用定义和Cauchy准则证明数列极限的存在性, 我们在数学分析的学习中已
经作了许多训练, 在此就不再重述了, 此外, 由于篇幅所限, 上述方法中的 4、6、
7 也不打算专题讲授, 留给读者自己去体会和总结。
一. 单调有界数列收敛定理的应用
对于这一极限问题中常见的证题方法, 其难点有时在于单调性的证明, 有时在
于估计有界性, 二者都常用数学归纳法。此外，还需注意在不等式的推导中应力求
细致。
2
a
n
，
n=
1,2,…, 证明数列
{
a
n
}
的极限存在, 并
例1. 设
a
1
＞2,
a
n+
1
＝
2(
a
n
−
1)
求其极限值。
解：先证明
{
a
n
}
满足
a
n
＞2. 事实上, 由假设
a
1
＞2, 若
a
k
＞2, 则由
a
k
2
＞2, 此即
a
k+
1
＞2.
(
a
h
－2)
＝
a
−
4
a
k
＋4＞0, 得
2(
a
k
−
1)
2
2
k
对于
{
a
n
}
的单调性, 考虑
a
n+
1
, 由于
a
n
＞2, 故
a
n
<2
a
n
－2, 从而
a
n
a
n+
1
a
n
=
＜1, 即
{
a
n
}
单调递减。据单调有界数列收敛定理，
{
a
n
}
收敛。设
a
n
2(a
n
−1)
lim
a
n
=
a
, 由
a
n
+
1
n→∞
2
a
n
a
2
, 可得
a
=
, 解之得
a=
0
或
a=
2
, 将
=
2(a
−
1)
2(
a
n
−
1)
a=
0
舍去, 故数列
{
a
n
}
的极限是2.
例2. 设
x
1
＝1,
x
n+
1
＝1＋
x
n
,
n
≥1, 证明数列
{
x
n
}
收敛。
x
n
+
1
x
n
<
1, 可知
x
n+
1
＜2, 即
{
x
n
}
x
n+
1
证明: 由已知, 对任意
n∈
N, 有
x
n
＞0. 且
44
有界。另一方面,
x
2
＞1＝
x
1
, 若
x
k
>
x
k−
1
, 则
x
k
+
1
−
x
k
＝
x
k
−
x
k
−
1
＞0
(1
+
x
k
)(1
+
x
k
−
1
)
即
{
x
n
}
单调递增, 由单调有界数列收敛定理,
{
x
n
}
是收敛的。
例3. 设
p
n
>0,
n∈
N, 证明: 若级数
∞
∑
p
n
=
1
∞
−
1
n
收敛, 则级数
n
2
∑
p
n
(2.1)
2
n
=
1
(
p
1
+
p
2
+
L
+
p
n
)
也收敛。
证明：记正项级数(2.1)的部分和序列为
{
S
m
}
, 令
q
0
＝0
q
n
＝
∑
p
k
=
1
n
k
, T
n
＝
∑
k
=
1
n
∞
11
, T＝
∑
p
k
k
=
1
p
k
m
我们需证
{
S
m
}
有上界, 易知
S
m
＝
m
1
k
2
＋
∑
(q
k
−
q
k
−
1
)
S
m
≤
p
1
k
=
2
q
k
q
k
−
1
∑
(
k
=
1
k
2
)(
q
k
−
q
k
−
1
)
, 从而
q
k
m
−
1
mmm
11
(
k
+
1)
2
k
2
k
2
k
2
＝
＋
∑
－
∑
＝＋
∑
－
∑
p
1
k
=
2
q
k
−
1
k
=
1
q
k
p
1
k
=
1
q
k
k
=
1
q
k
mm
k
5
1
＜＋2
∑
＋
∑
p
1
k
=
1
q
k
k
=
2
q
k
由Cauchy－Schwarz不等式, 得
/2
mm
m
kp
1
k
222
−
2
−
1
k
)＝(
∑
11/2
)≤(
∑
kp
k
q
k
)(
∑
p
k
) (
∑
k
=
2
q
k
k
=
2
q
k
p
k
k
=
2
k
=
2
m
于是
S
m
＜
5
1/2
＋2(
S
m
T)
＋T, 即对一切自然数
m
, 有
p
1
45
[S
m
]－2T
1/221/2
S
m
－(T＋
1/2
5
)＜0
p
1
从而
S
m
≤T
1/21/2
＋(2T＋
5
1/2
), 对一切自然数
m
成立, 即
{
S
m
}
有上界, 这
p
1
表明级数(2.1)收敛，证毕。
二. 迫敛性定理的应用
应用迫敛性定理求数列
{
x
n
}
的极限时, 为要找出收敛于同一极限的“强”与
“弱”数列，必须对
x
n
进行较细致的放大与缩小。
例4. 设
x
1
=
2
,
x
n
＝
其极限值。
解: 记
nx
n
=
A
n
, 则有:
1
11
(1＋)
x
n−
1
＋
,
n
≥2，证明
{
nx
n
}
收敛, 并求
2
nn
12
n
+
1
n
+
1
n
−
1
x
n−
1
＋1＝·
x
n−
1
＋1＝(1＋)A
n−
1
＋1
2
n
−
122
n
−
1
50
由A
n
的递推公式容易得到A
n
≥2, 再证A
n
≤2＋, 事实上,A
1
＝2,
n
1
50
A
2
＝4, A
3
＝5, A
4
＝5, 都满足, 当
n
≥4时, 设 A
n
≤2＋, 于是
6
n
11
2250
A
n+
1
＝
(1
+
)
A
n
＋1≤
(1
+
)(2
+
)
+
1
22
nnn
A
n
＝
＝2＋
1
50
2750
＋
2
=
2
+
＋
2
(77
n
+50−23
n
2
)
nn
+
1
n
(
n
+
1)
n
22
注意到当
n
≥4时,
77
n
+50−23
n
=−10−107(
n
−4)−23(
n
−4)<0
,
所以有 A
n+
1
≤2＋
50
n
+
1
由迫敛性定理可知
{
nx
n
}
收敛，且其极限值为2
例5. 设
x
1
=
1,
x
2
＝
1+2
，
x
3
＝
1
+
21
+
3
, …,
x
n
＝
1
+
21
+
31
+
L
+
(
n
−
2)1
+
(
n
−
1)1
+
n
46
证明数列
{
x
n
}
收敛, 并求其极限值。
解:
{
x
n
}
显然是递增的，且因
1＋
k
＜1＋
k
(
k
＋2)
1/2
＜1＋
k
(
k
＋2)
2
1＋
k
(
k
＋2)＝(
k
＋1)，
k
=1,2,…
故
x
n
＜
1
+
21
+
31
+
L
+
1
+
(
n
−
1)(
n
+
1)
＝
1
+
21
+
31
+
L
+
1
+
(
n
−
1)(
n
+
1)
＝…＝
1+2⋅4=3
2
据单调有界数列收敛定理,
{
x
n
}
是收敛的。另一方面, 由于不能直接利用极限的
运算法则计算
lim
x
n
, 下面借助于迫敛性定理，注意到对任意
a
＞1, 有
n→∞
1
+
na
≤
a
(1
+
n
)
, 于是得到
3 =
1
+
21
+
31
+
L
+
1
+
n
(
n
+
2)
2
≤
1
+
21
+
31
+
L
+
(
n
+
2)(
n
+
1)
≤
1
+
21
+
31
+
L
+
(
n
+
2)
≤
L
≤
(
n
+
2)
即 3[
(
n
+
2)
−
1/2
1/2
1
+
(
n
−
1)1
+
n
1/2
n
−
1
x
n
n→∞n→∞
]
n−
1
≤
x
n
＜3, 由于
lim[(
n
+
2)
−
1/2
]
n
−
1
＝1, 故
lim
x
n
＝3.
三. 上、下极限理论的应用
上、下极限理论是论证较复杂极限问题的有力工具，在已知数列不具有单调性，
或者不易估计它能否满足单调性、Cauchy收敛准则等条件时，常用上极限不大于
下极限来证明收敛性，或从上、下极限不相等来证明数列发散。
例6. 设{
a
n
}为非负数列，对一切自然数
m
,
n
有
a
n
+
m
≤
a
n
a
m
, 证明: 数列
47
{
n
a
n
}收敛。
2
证明：由
a
n
≤
a
n−
1
a
1
≤
a
n−2
a
1
≤…≤
a
1
,可得
0
≤
n
a
n
≤
a
1
n
若有某项
a
m
＝0, 则对一切
n≥m
有
a
n
＝0, 这时{
n
a
n
}收敛于0, 因此以下
不妨假设
a
n
＞0对一切自然数
n
成立。
设L＝
lim
n
→∞
n
a
n
, 则0≤L≤
a
1
, 取子列{
n
k
a
n
k
}收敛于L, 从而对任意ε＞0,
存在自然数
k
0
, 当
k≥k
0
时, 有 L－ε＜
n
k
a
n
k
＜L＋ε，对任意
n
>
n
k
0
, 设
n
＝
qn
k
0
＋
r
, 其中0≤
r
≤
n
k
0
, 注意到
111
＝=
s
n
，其中
nqn
k
0
+
r
qn
k
0
s
n
=
qn
k
0
n
1/
n
→1,
n
→∞, 定义
a
0
＝1, 则当
n
＞
n
k
0
时,
1/n
1/n
a
n
≤
a
qn
k0
·
a
r
＝[(
a
n
k0
)
1/n
k0
≤(
a
n
k0
)
1/n
s
n
/n
k0
·
a
r
s
n
1/n
]
s
n
·
a
r
＜(L＋ε)
/n
⋅
a
1
r
又
a
r
为有正下界的有界量, 所以当
n
→∞时, 上面不等式的右端以L＋ε为极限,
从而
n
a
n
≤L＋ε, 由ε的任意性可得
lim
n
a
n
≤
lim
n
→∞
n
→∞
_____
n
a
n
，于是数列{
n
a
n
}
收敛。
例7. 设
f(x)
是闭区间[
a,b
]上的连续正值函数，记
f(x)
在[
a,b
]的最大值
为
M
, 证明:
M
=
lim
[
n
→∞
b
∫
b
a
f
n
(x)dx]
1/n
(2.2)
b
a
证明: 因为 [
所以
lim[
n
→∞
_____
∫
a
f
n
(
x
)
dx
]
1/n
≤[
(
∫
M
n
dx
)
1/n
=M
(
b−a
)
1/n
,
∫
b
a
f
n
(
x
)
dx
]
1/n
≤
M
又
f
(
x
)
在[
a
,
b
]连续, 故必存在
x
0
∈
[
a
,
b
], 使
M
=
f
(
x
0
)
, 不妨设
48
更多推荐
定理,单调,收敛,证明,下极限
发布评论