哈工大附中“温故知新”杯竞赛数学试题

2024年3月10日发(作者：高三数学试卷河北)

哈工大附中“温故知新”杯竞赛数学试题

一、选择题（每题3分，共计30分）

1.下列运算正确的是（ ）.

2.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( ).

第3题图

3.如图所示的几何体是由5个相同的小正方体组成的，下列有关三视

图面积的说法中正确的是（ ）.

A.左视图面积最大 B.俯视图面积最小

C.左视图与主视图面积相等 D.俯视图与主视图面积相等

4.若反比例函数y=

A．m>2

5.二次函数

y

m2

x

A.

3x



2

3

9x

6

B.

a

6

a

2

a

3

C.



ab



a

2

b

2

D.

(ab)(ab)ab

22

2

的图象在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是( ).

B．m<2 C．m>－2 D．m<－2

1

2

x

的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的函数

2

表达式（ ）.

1

(x1)

2

3

2

1

C.

y(x1)

2

3

2

A.

y

1

(x1)

2

3

2

1

D.

y(x1)

2

3

2

B.

y

6.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在CD边上，DE=1，把△ADE绕

点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′,则线段EE′的长

为 ( ) .

A.

25

B.

23

C.4 D.

210

7.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径

OB10

，截面圆

圆心

O

到水面的距离

OC

是6，则水面宽

AB

是（ ）.

A. 10 B. 16 C.8 D.6

8.一辆汽车沿倾斜角α的斜坡前进500米，则它上升的高度是（ ）.

A.500·sinα米 B.

第6题图

O

C

A

B

500500

米 C.500·cosα米 D.米

cos



sin



第7题图

9．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则

∠B的度数为（ ）.

A．55° B．50° C． 45° D．40°

第9题图

10. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少

了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m

²

的矩形空地，则原正方

形空地的边长是（ ）.

A.7m B.8m C.9m D.10m

二、填空题（每题3分，共计30分）

10题图

11. 2015年全国高考报名考生共942万人, 942万用科学记数法表示为

第

．

12.在函数

y

x

中，自变量x的取值范围是 .

x3

32

13.分解因式：xy-2xy+xy= .

14.不等式组





2x40

的解集是 .



33x1

15. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O切线，A为切点，连接BC并延长交AE于

点D，若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为_____________.

16.某种商品的标价为每件100元，按标价的八折出售，仍可获利25％，则每件商品进价为______

元.

17.如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，反比例

函数

y

k

（x＞0）的图象经过顶点B，则反比例函数的表达式为_____________.

x

A

1

B

AH

D

O

C

E

E

D

A

C

B

（15题图）

G

第15题图 第17题图

第20题

18.在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为E，且AB=CD=16，则线段AE的

长为_____________.

19.在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中

点为点M，则线段AM的长为__________．

20.如图，点E在正方形

ABCD

的边上，连接

BE

，将正方形折叠，使

B

与点

E

重合，折痕

GH

交

1

BC

边于点

G

，交

AD

边于点

H

，若

tanEBC=，ADED=15,

则线段

AH

=

.

3

三、解答题（21～24每题4分，25～28每题5分，29～32题每题6分）

21.先化简，再求值：

，其中x

3tan304cos60

.



22.如图，是6×6正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、点B在格点上，分别

按下列要求画出图形.

(1)请在图中AB上方找一点C（点C在格点上），使

(2) 请在图中AB下方找一点D（点D在格点上），使

直接写出四边形ADBC的面积.

是以AB为直角边的等腰直角三角形 ；

是以AB为底边的等腰直角三角形，

A

B

23. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的

听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.

根据以上信息解决下列问题：

(1)本次随机抽取的这一样本的样本容量是 ；直接补全条形统计图；

(2)若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平

均数是 ；

(3) 该校共有3000名学生，如果听写正确的个数不少于24个定为合格，请你估计这所学校

本次比赛听写合格的学生人数.

24. 如图，△ABC与△AED中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，DE交CB的延长线于点G，连接AG.

求证：GA平分∠DGB.

A

D

C

F

B

E

25. 如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）在筝形OMTN中，已知OM=ON=5，TM=TN，TM>OM，MN，OT为对角线，MN=8.过点M作MA⊥TN,

垂足为A，MA交OT于点B，连接BN.当四边形OMBN为菱形时，求线段MA的长.

26. 甲、乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早行驶2h，并且在途中休息了0．5h，休息前后速

度相同，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．

（1）图中a的值为 ；

（2）直接写出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数表达式，并写

出 相应的x的取值范围；

（3）途中休息之后，当甲车再行驶多长时间时，两车恰好相距40km．