2024年3月10日发(作者：2018成都二诊数学试卷)

黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校2021-2022学年高二下学

期期末理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合

A

xx

x3

0

，

B

0,1,2,3

，则

AB

（

A．

0,1,2,3

B．

0,1,2

C．

1,2,3

）

D．

1,2

2

．若

i

是虚数单位，复数

z

的共轭复数是

z

，且

2iz4i

，则复数

z

的模等于（）

A．

5

B．

25

C．

5

D．

17

）条件



xy

3．设

a(x,y)

，

b(m,n)

，且

a

，

b

均为非零向量，则“

”是“

a

∥

b

”的（

mn

A．充分非必要

必要

4

．若都不为零的实数

a,b

满足

ab

，则（

A．

）

C．

e

ab

1

B．必要非充分C．充要D．既非充分又非

1

1

ab

B．

ba

2

ab

D．

lnalnb

5

．

1618

年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道

运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方

a

与它的公转周期（单

3

GM

a

3

位：秒）的平方

T

之比是一个常量，即

2

k

，

k

（其中k为开普勒常数，M

4

2

T

2

为中心天体质量，

G

为引力常量）．已知地球轨道的半长轴长约为

1.5

亿千米，地球的

运行周期约为

1

年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为

60

亿千米，则冥王星

的运行周期约为（

A．150年

）

B．200年C．250年D．300年

把

A

，

B

两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图，设

A6

．

队得分的极差为

x

，

B

队得分的

25%

分位数为

y

，则

x

，

y

的值分别为（）

试卷第1页，共4页

A．4266.5B．4766.5C．4269D．4769

7．已知抛物线

C

：

y

2

x

的准线为

l

，点

A

的坐标为

1,0

，点

P

在抛物线上，点

P

到直

线

l

的距离为

d

，则

PAd

的最大值为（

A．

3

4

）

C．1D．

2

3

B．

2

1

8

．如图，平面

ABCD

平面

ABEF

，四边形

ABCD

是正方形，四边形

ABEF

是矩形，且

AB4

，

AF1

，若

G

是线段

EF

上的动点，则三棱锥

CABG

的外接球表面积的最小

值是（）

A

．

16π

C

．

32π

B

．

20π

D

．

36π

二、多选题

9

．在

ABC

中，已知

a6

，

b32

，

B30

，则角

A

的值可能为（

A

．

45

B

．

60

C

．

135

）

D

．

150

）

10．下列直线中与直线

l

：

2xy10

平行且距离为

5

的是（

A

．

2xy40

C

．

2xy60

B

．

x2y30

D

．

4x2y70

11．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30

的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立

的是（）

A．CD⊥ABB．BC⊥ADC．BD⊥ABD．BC⊥CD

12

．已知函数

f(x)

对任意

x

R

都有

f(x2)f(x)

，若函数

f(x1)

的图像关于

x=

1

对

试卷第2页，共4页

称，且对任意的

x

1

,x

2

(0,2)

，且

x

1

x

2

，都有

结论正确的是（

A

．

f(x)

是偶函数

C．

f(x)

的图像关于

(1,0)

对称

）

f

(

x

1

)

f

(

x

2

)

0

，若

f(2)0

，则下列

x

1

x

2

B

．

f(2022)0

75

D．

f

(

)

f

(

)

22

三、填空题

13．在

(x+)

5

的展开式中，含

x

3

的系数为______．

1

x

a

8

是方程

x

2

2x30

的两根，14．等差数列

a

n

的前n项和为

S

n

，若

a

2

，

则

S

9

______.

15．设函数

f

x

sin

x

0

，若

f

x

在

0,

上有且仅有2个零点，则实数

3

2

的取值范围为

______.

x

2

y

2

16．已知双曲线

E

:

2

2

1(

a

0,

b

0)

的左、右焦点分别是

F

1

,F

2

，点A是圆

ab

(x2)

2

(y4)

2

4

上的一个动点，且线段

AF

2

的中点B在E的一条渐近线上．若E

的焦距为

4

，则

E

的离心率的最小值是

__________

．

四、解答题

DAB

17．如图，在平面四边形

ABCD

中，

5

ADC

，

AB2AC22

，

CD1

．，

4

6

(1)

求

ACD

的大小；

(2)

求

BC

的值．

18．设数列

a

n

是等比数列，其前

n

项和为

S

n

.

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求

a

n

的通项公式；

，S

3

6a

4

1

；①

S

n

2

a

n

；②

S

2

2a

3

1

(2)在（1）的条件下，若

b

n

a

3n

1

，求数列

b

n

的前

n

项和

T

n

19

．某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在

100

个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取

15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据

x

i

,

y

i



i

1,2,



,15

，其中

x

i

和

y

i

分别表

试卷第3页，共4页

示第

i

个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：

万元），并计算得到

x

i

15

，

y

i

750

，

x

i

x

0.82

，

y

i

y

1670

，

i

1

i

1

15

15

15

2

15

2

i

1

i

1

x

x



y

i

1

i

15

i

y

35.3

．

(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；

(2)根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数

（精确到0.01）；

(3)根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚任

务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

参考公式：

r

x

x



y

i

1

i

n

2

n

i

1

i

1

n

i

y

2

x

i

x

y

i

y

20．如图，等腰梯形

ABCD

中，

AD∥BC

，

ABBCCDAD

，现以

AC

为折痕把

ABC

折起，使点

B

到达点

P

的位置，且

PACD

.

1

2

(1)

证明：

CD

平面

PAC

；

(2)

若

M

为

PD

上一点，且三棱锥

DACM

的体积是三棱锥

PACM

体积的

2

倍，求平

面

PAC

与平面

ACM

夹角的余弦值

.

1

x

2

y

2

21．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

2

2

1(

a

0,

b

0)

的离心率为

2

，左顶点

ab

为A，上顶点为B，

AB7

．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)

不过椭圆点

A

的直线

l

交椭圆

C

于

M

，

N

两点，记直线

l

，

AM

，

AN

的斜率分别为

k

，

k

1

，k

2

，若

k

k

1

k

2

2

．证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

x

22．已知函数

f

x

e

a

x

1



aR

.

(1)当

a1

时，求函数

yf

x

的极值；

(2)若关于x的方程

f

x

lnxe0

在

1,

无实数解，求实数a的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1．D

【分析】求出集合

A

，利用交集的定义可求得集合

AB

【详解】解：由

x

x3

0

解得

0x3

，所以

A

x0x3

，所以

AB

1,2

，

故选：D.

2．A

【分析】由复数的运算，求得

z43i

，进而得

z43i

，再根据复数模的计算公式，即

可求解复数的模

.

【详解】由题意，复数

z

的共轭复数满足

2iz4i

，所以

z2i(4i)43i

，

所以复数

z43i

，所以

z(4)

2

(3)

2

5

.

故选：A.

3．A

【分析】由向量共线的坐标公式判断充分性和必要性即可求解.

【详解】若

推出



xy

，则

nxmy

，则

a

∥

b

，满足充分性；反之，若

a

∥

b

，则

nxmy

，不能

mn

xy

，

mn

比如

mx0

，显然满足

nxmy

，但

的充分非必要条件

.

故选：A.

4．C



xy

xy

无意义，不满足必要性；故“

”是“

a

∥

b

”

mn

mn

【分析】AB可以举出反例，C选项可以根据指数函数单调性进行判断，D选项可以从定义

域上排除.

【详解】[方法一]：特值法：

取

a1,b1

，满足

ab

，但

当

a1,b1

，满足

ab

，但

11

，A错误；

ab

ba

22

，B错误；

ab

因为

ab

，所以

ab0

，所以

e

ab

1

，

C

正确；

当

a<

0

或

b0

时，

lna,lnb

无意义，故

D

错误

.

故选：C

[方法二]：函数性质法

答案第

1

页，共

12

页

对于

A

，由于不清楚

a,b

的正负，不能直接取倒数，

A

错误；

对于

B

，由于不清楚

a,b

是否为正，没有办法利用基本不等式，

B

错误；

lnb

不一定有意义，

D

错误；故选

C.

对于

D

，由于不清楚

a,b

的正负，

lna，

5．C

【解析】地球轨道的半长轴长和运行周期可求得

k

的值，再进一步利用公式计算冥王星的运

行周期

.

1.5

3

【详解】由题意得：

2

k

，

1

60

3

1.5

3

60

3

(365

24

3600)

2

2

2



T

，

T

(365

24

3600)

2

1.5

3

T250365243600

（秒）

T250

年

.

故选：C.

【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间

单位的理解，可减少计算量.

6．D

【分析】由茎叶图中的数据，利用极差与百分位的定义求解即可.

【详解】由茎叶图可知，

A

队得分的极差

x985147,

因为

1025%2.5,

所以

B

队得分的

25%

分位数为从小到大的第三位数，

所以

y69

，

故选：D.

7．A

【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点

P

到点

A

和焦点

F

距离差的最大值

求解

.

3

1

d|PF|

，【详解】抛物线

C

：

y

2

x

的焦点

F

(,0)

，依题意，

则

PAdPA

|

PF

|

|

AF

|

，

4

4

当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，

所以

PAd

的最大值为

故选：A

3

.

4

答案第

2

页，共

12

页

8．C

【分析】根据正弦定理及找到外接球的直径，再利用球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可知，设

ABG

的外接圆半径为

r

，由正弦定理，知

2

r

π

AB

4

，当

AGB

时，

r

取得最小值为2，

2

sin

AGB

sin

AGB

此时外接球半径

R

满足

R

2

r

2

2

2

8

，解得

R22

或

R22

.

所以三棱锥

CABG

的外接球的最小半径为

22

.

所以外接球表面积为

4πR

2

32π

.

故选：C.

9．AC

【分析】根据正弦定理求出

sinA

，根据

ab

可得

A45

o

或

A135

.

1

6

ab

【详解】由正弦定理得，得

sin

A

a

sin

B

2

2

，

sin

A

sin

B

b

2

32

因为

0

A180

，且

ab

，所以

A45

o

或

A135

.

故选：AC.

10．AC

【分析】根据两直线互相平行设直线方程，再结合两直线间距离公式解方程即可.

【详解】设与与直线

l

：

2xy10

平行的直线为

2xym0

，

又

d

1

m

2

1

2

2

5

，

解得

m4

或

m6

，

即该直线为

2xy40

或

2xy60

，

故选：AC.

11．ACD

【分析】ACD可以通过旋转到CD⊥BC时，进行证明；B选项可以假设成立，推出矛盾.

【详解】当将

△ACD

绕

AC

边旋转到

CD

⊥

BC

时，因为

CD

⊥

AC

，

ACBCC

，此时

CD

⊥

平面

ABC

，而

AB,BC

平面

ABC

，则

CD

⊥

AB

，

CD

⊥

BC

，

AD

正确；

此时

AB

⊥平面

BCD

，

DB

平面

BCD

，所以

AB

⊥

DB

，

C

正确；

若

BCAD

，而

AB

⊥

BC

，

ABADA

，故必有

BC

⊥平面

ABD

，由图形可知，

D

点在

B

点正上方，而

CDBC

，所以显然

BCAD

不可能；

答案第

3

页，共

12

页

故选：ACD

12．ABC

【分析】由

f(x2)f(x)

，得到

f(x4)f

x

，得出

f(x)

是周期为4的周期函数，根据

函数的图象变换，得到函数

f(x)

的关于

x0

对称，得出函数

f(x)

为偶函数，结合

f(2)0

，

根据

f(2022)f(2)

，进而求得

f(1x)f(1x)

，得到函数

f(x)

关于

(1,0)

中心对称，结合

75

函数的单调性和周期性，进而得出

f

(

)

f

(

)

.

22

【详解】由函数

f(x)

对任意

x

R

都有

f(x2)f(x)

，可得

f(x4)f(x2)f

x

，

所以函数

f(x)

是周期为

4

的周期函数，

又由函数

f(x1)

的图像关于

x=

1

对称，根据函数的图象变换，可得函数

f(x)

的图象关于

x0

对称，所以函数

f(x)

为偶函数，所以

A

正确；

因为

f(2)0

，可得

f(2)0

，

则

f(2022)f(50542)f(2)0

，所以

B

正确；

又因为函数

f(x)

为偶函数，即

f(x)f(x)

，所以

f(x2)f(x)f(x)

，

可得

f(1x)f(1x)

，所以函数

f(x)

关于

(1,0)

中心对称，所以

C

正确；

由对任意的

x

1

,x

2

(0,2)

，且

x

1

x

2

，都有

f

(

x

1

)

f

(

x

2

)

0

，

x

1

x

2

可得函数

f(x)

在区间

(0,2)

上为单调递增函数，

771553

又由

f

(

)

f

(



4)

f

(),

f

(

)

f

(



4)

f

()

，

222222

75

13

可得

f

()

f

()

，即

f

(

)

f

(

)

，所以D不正确.

22

22

故选：ABC

13

．

5

5

【分析】由

(x

)

的展开式的通项公式，令

52r3

，即可求得结论．

1

x

1

5

r

5

r

1

rr

5

2

r

【详解】

(x

)

的展开式的通项公式为

T

r

1

C

5

x

()

C

5

x

x

x

5

令

52r3

，则

r1

，

(x

)

的展开式中含

x

3

项的系数是

5

.

1

x

故答案为：

5

．

14．9

【分析】由题意可得

a

2

a

8

2

，再有等差数列的下标和性质可求得答案.

答案第

4

页，共

12

页


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函数,直线,公式,利用