2024年3月10日发(作者：数学试卷易错题五年级下册)
最新哈工大大一（下）工科数学分析期末考试知识点总结-刘星
斯维提整理
1102002班工科数学分析（下）知识点
整理人：刘星斯维提
（1）：曲线积分：
==<\'+\'=≤≤?
==?
)()()()()](),([),(),(,)()
(),(2
2t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
βαψ?ψ?βαψ?β
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在：二元函数的
全微分求积注意方向相反！
减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连
续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：
当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的
曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()
(00
)
,()
,(00==+=
+-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+\'+\'=+?
==y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψ??ψ?ψ?β
α
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz
z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R
dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos
(]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(22γβα系：两类曲面积分
之间的关号。
，取曲面的右侧时取正号；
，取曲面的前侧时取正号；
，取曲面的上侧时取正，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：
（3）：高斯公式：
Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==?
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx
Pdydz dv z R
y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：
单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα
（4）：斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
Γ
Γ
∑∑
∑
Γ
=++Γ??
=
=
==
=
++=??-??+??-??+??-
ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q
P
z y x dxdy dzdx
dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，
曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(γβ
α
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n n
n n q q q q q n
n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
， 关的条件：空间
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