2023年12月14日发(作者：攸县教师招聘数学试卷真题)

2022-2023学年上海市复旦附中高二（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．（4分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＜16}，B＝{x|1≤2x＜8}，则A∩＝2．（4分）若实数x＞0，y＞0且x+y＝1，则xy+的最小值为．．．3．（4分）已知在数列{an}中，a1＝1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，则a2023＝4．（4分）若关于x的方程（a﹣1）cosx+a2﹣1＝0有实数解，则实数a的取值范围为5．（4分）已知在平面直角坐标系中的非零向量、，若向量、的线性组合+3与7﹣5相互垂直，﹣4与7﹣2相互垂直，则＜，＞＝6．（4分）满足+．＝2n（i为虚数单位）的最小自然数为．（）i的结果7．（4分）已知定义域为R的函数y＝|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x＝1对称，那么计算为．（ymin表示函数的最小值）8．（4分）已知关于t的方程t2﹣2t+k＝0（k为常数且k∈R）的一个根为1+i（i为虚数单位），关于x的函数y．．＝（a﹣3）x2﹣（4a﹣1）x+ka的图像与坐标轴恰有2个交点，则实数a的值为9．（4分）已知tanα、tanβ是关于x的方程mx2﹣2x10．（4分）已知在△OAB中，|+2m＝0的两个实根，则tan（α+β）的取值范围为|＝10，点P为线段AB上一动点，点C1，C2，…，C9依次将线段AB分为了10﹣段，且这10段的长度恰好可以既构成等差数列，又可以构成等比数列，现定义关于点P的函数：f（P）＝||+2|﹣|+…+9|﹣|，则f（P）的最小值为）在区间[t﹣．11．（4分）函数f（x）＝sin（2x+，t]（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围为，h（x）＝．，12．（4分）已知定义域为R的函数y＝（fx）满足（fx+2π）＝（fx），且g（x）＝现定义函数y＝p（x），y＝q（x）的解析式如下：p（x）＝（k∈Z），q（x）＝（k∈Z），关于y＝p（x），y＝q（x）现给出如下结论，其中正确结论的编号为．（1）函数y＝p（x）是奇函数；（2）函数y＝q（x）是偶函数；（3）函数y＝p（x）的最小正周期为π；（4）3π是函数y＝q（x）的一个周期．13．（4分）已知数列{an}，an＝[log]（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），xn是关于x的方程﹣的值为．﹣＝n2+3n的实数根，记数列{an}的前n项和为Sn，则14．（4分）已知定义域为R的函数f（x）的解析式为f（x）＝（x）]﹣log（＝0恰有两个不相等的实数根x1、x2且x1＜x2，则试将代数式22t﹣x）表示为关于t的函数的结果为．，设t为实数，若关于x的方程f[f+log2x2+二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ex（其中e为自然对数的底数），a、b、c∈R且满足a+b＞0，b+c＞0．c+a＞0，﹣则f（a）+f（b）+f（c）的值（A．一定大于零）C．可能等于零D．一定等于零B．一定小于零16．（5分）已知f（n）是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题f（1）、f（2）、f（3）均成立，并对任意的k∈N且k≥1，在假设f（k）成立的前提下，证明了f（k+m）成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明f（n）对一切n∈N且n≥1均成立，则m的最大值为（A．1B．2C．3D．不存在）17．（5分）设b、c均为实数，关于x的方程x2+b|x|+c＝0在复数集C上给出下列两个结论：①存在b、c，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在b、c，使得该方程最多有6个互不相等的根；其中正确的是（A．①与②均正确C．①不正确，②正确）B．①正确，②不正确D．①与②均不正确18．（5分）已知函数f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且该函数在定义域上有且仅有8个单调区间，则实数m的取值范围是（A．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣））B．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸的相应位量写出必要的步骤。19．（12分）已知a1，a2，a3，a4∈（0，+∞），a1+a2+a3+a4＝10，若a1a2a3a4＝7，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．20．（14分）已知定义域为R的函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且直线x＝﹣是其图像的一条对称轴．（1）求函数y＝f（x）的解析式，并指出该函数的振幅、频率、圆频率和初始相位；（2）将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位，再将所得图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到新的函数y＝g（x），已知函数F（x）＝f（x）+λg（x）（λ为常数且λ∈R）在开区间（0，nπ）（n∈N且n≥1）内恰有2021个零点，求常数λ和n的值．21．（14分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．（1）求向量（2）设＝与的夹角＜，＞．﹣＝2，证明⊥，并求出当点P运动时，的取值，点Q满足范围．22．（16分）对于数列A：a1，a2，a3（ai∈N，i＝1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中bi＝|ai﹣ai+1|（i＝1，2），且b3＝|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B＝T（A），继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）写出数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判断数列A：a1，a2，a3经过不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；（Ⅲ）设数列A：400，2，403经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．23．（18分）已知f（x）定义域为R的函数，若对任意x1、x2∈R，x1﹣x2∈S，均有f（x1）﹣f（x2）∈S，则称f（x）是S关联．（1）判断和证明函数f（x）＝2x+1是否是[0，+∞）关联？是否是[0，1]关联？（2）若f（x）是{3}关联，当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x，解不等式：2≤f（x）≤3；（3）证明：“f（x）是{1}关联，且f（x）是{3}关联”的充要条件为“f（x）是[1，2]关联”．2022-2023学年上海市复旦附中高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试卷解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．【解答】解：A＝{x|x2＜16}＝{x|﹣4＜x＜4}，B＝{x|1≤2x＜8}＝{x|0≤x＜3}，∴∁UB＝{x|x＜0或x≥3}，A∩（∁UB）＝（﹣4，0）∪[3，4）．故答案为：（﹣4，0）∪[3，4）．2．【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0且x+y＝1，则xy≤（设t＝xy，f（t）＝t+，t∈（0，]，）2＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，则f′（t）＝1﹣＝，在t∈（0，]，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）≥f（）＝4+＝即xy+的最小值为．；；故答案为：3．【解答】解：∵an+3⩽an+3，∴an+6⩽an+3+3⩽an+6，∵an+2⩾an+2，∴an+6⩾an+4+2⩾an+2+4⩾an+6，∴an+6＝an+6，当且仅当同时取等号成立，即an+3＝an+3，an+2＝an+2，则an+3﹣an+2＝1，则从第四项起数列{an}是等差数列，公差d＝1，∵a1＝1，∴a3＝a1+2＝3，则当n⩾3时，an＝a3+（n﹣3）d＝3+n﹣3＝n，则a2023＝2023，故答案为：2023．4．【解答】解：由（a﹣1）cosx+a2﹣1＝0可得：（a﹣1）[cosx+（a+1）]＝0，所以a﹣1＝0或cosx＝﹣（a+1），所以a＝1，或﹣1≤a+1≤1，所以a＝1或﹣2≤a≤0，故答案为：[﹣2，0]∪{1}．5．【解答】解：由+3与7﹣5相互垂直，﹣4与7﹣2相互垂直，则，①，②结合①②可得：，，则＝，又则＜，＞＝故答案为：．，，6．【解答】解：∵（1+i）2＝2i，（1﹣i）2＝﹣2i，∴+＝＝＝2n1×in[1+i+（﹣1）n（1﹣i）]，﹣当n＝1时，原式＝﹣2，当n＝2时，原式＝﹣4，当n＝3时，原式＝23，满足题意．故答案为：3．7．【解答】解：因为函数y＝|x+1|+|x﹣a|的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，解得a＝3，所以y＝|x+1|+|x﹣3|＝，所以ymin＝4．所以（）i＝+（）2+（）3+（）4+…＝＝[1﹣（）n]．因为故答案为：．＝，8．【解答】解：∵关于t的方程t2﹣2t+k＝0（k为常数且k∈R）的一个根为1+∴关于t的方程t2﹣2t+k＝0（k为常数且k∈R）的另一个根为1﹣∴，i，i，∴y＝（a﹣3）x2﹣（4a﹣1）x+ka＝（a﹣3）x2﹣（4a﹣1）x+4a，若a﹣3≠0，即a≠3，则Δ＝[﹣（4a﹣1）]2﹣4•（a﹣3）•4a＝0，化简整理可得，40a+1＝0，解得a＝若a＝0，则函数y＝﹣3x2+x经过原点，即与坐标轴只有两个交点，若a﹣3＝0，即a＝3，则函数y＝﹣11x+12是一次函数，与坐标轴只有2个交点，综上所述，a＝故答案为：或0或3．或0或3．+2m＝0的两个实根，，9．【解答】解：∵tanα、tanβ是关于x的方程mx2﹣2x∴Δ＝4（7m﹣3）﹣8m2≥0，∴≤m≤3，∴≤≤2．再根据tanα+tanβ＝，tanα•tanβ＝2，可得tan（α+β）＝＝＝，，＝﹣2＝﹣2，故当＝时，tan（α+β）取得最小值为﹣当＝或2时，tan（α+β）取得最大值为﹣2则tan（α+β）的取值范围为[﹣故答案为：[﹣，﹣2]．，﹣2]，10．【解答】解：这10段的长度恰好可以既构成等差数列，又可以构成等比数列，所以an＝an﹣1+d，an＝an﹣1•q，所以an﹣1+d＝an﹣1•q，即an﹣1（q﹣1）＝d，对n＝2，3，4，5，6，7，8，9，10都成立，所以，即10段长度等长；设，则f（P）＝+2+...+9+10＝|x﹣1|+2|x﹣2|+...+9|x﹣9|+10|x﹣10|，当x∈[k，k+1]时，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，f（P）＝（x﹣1）+2（x﹣2）+...+k（x﹣k）﹣（k+1）（x﹣k﹣1）﹣...﹣10（x﹣10）＝x+2x+...+kx﹣（k+1）x﹣...﹣10x﹣1﹣22﹣...﹣k2+（k+1）2+..+102＝（k2+k﹣55）x﹣1﹣22﹣...﹣k2+（k+1）2+..+102，当k∈{0，1，2，3，4，5，6}时，k2+k﹣55＜0，函数为减函数，当k∈{7，8，9}时，k2+k﹣55＞0，函数为增函数，k＝0时，x∈[0，1]，函数为减函数，此时f（P）最小取x＝1；k＝1时，x∈[1，2]，函数为减函数，此时f（P）最小取x＝2；以此类推，k＝7时，x∈[7，8]，函数为增函数，此时f（P）最小取x＝7；k＝8时，x∈[8，9]，函数为增函数，此时f（P）最小取x＝8；k＝9时，x∈[9，10]，函数为增函数，此时f（P）最小取x＝9；故当x＝7时，f（P）取最小值，f（P）＝1×6+2×5+3×4+4×3+5×2+6×1+7×0+8×1+9×2+10×3＝112．11．【解答】解：作函数f（x）＝sin（2x+）的图象如下，区间[t﹣，t]的长度为，）的周期为π，）在区间（t﹣，t）内取得最值，且f（t﹣）＝f（t）时，＝；函数f（x）＝sin（2x+当函数f（x）＝sin（2x+函数f（x）在区间[t﹣当函数f（x）＝sin（2x+|f（t﹣，t]（t∈R）上的最大值与最小值之差取得最小值为1﹣）在区间[t﹣﹣）|，）在区间[t﹣]．＝，t]内最值在端点上取时，）|）﹣f（t）|＝|sin（2t+）﹣sin（2t++）|≤）﹣sin（2t+＝|﹣cos（2t+＝|sin（2t+故函数f（x）＝sin（2x+故答案为：[，，t]（t∈R）上的最大值与最小值之差的取值范围为[，]；12．【解答】解：由g（﹣x）＝因为f（x+2π）＝f（x），所以g（x+π）＝当x≠kπ+p（x﹣π）＝当x＝kπ+（k∈Z）时，p（﹣x）＝＝＝＝g（x），知g（x）为偶函数，＝g（x﹣π），即g（x）的一个周期为2π，＝＝＝＝p（x），＝p（x），（k∈Z）时，p（x）＝0，满足p（﹣x）＝p（x），p（x﹣π）＝p（x），所以p（x）是偶函数，且周期为π，但不一定是最小正周期，即（1）（3）错误；由h（﹣x）＝因为f（x+2π）＝f（x），所以h（x+π）＝当x≠（k∈Z）时，q（﹣x）＝＝＝＝＝q（x），＝h（x﹣π），即h（x）的一个周期为2π，＝＝q（x），＝﹣＝﹣h（x），知h（x）为奇函数，q（x﹣π）＝当x＝（k∈Z）时，q（x）＝0，满足q（﹣x）＝q（x），q（x﹣π）＝q（x），所以q（x）是偶函数，且周期为π，则3π是y＝q（x）的一个周期，即（2）（4）正确．故答案为：（2）（4）．13．【解答】解：由于xn是关于x的方程当n＝1时，﹣log＝n2+3n的实数根，，，，设f（x）＝故f（）＝1＞0，f（1）＝﹣3＜0，所以故令令．故，转换为，．，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（）＝nlogn+1n﹣3n＜0，f（）＝1＞0，），f（x）＝0，，an＝[tn]＝k﹣1，，an＝[tn]＝k，由零点存在性定理∃x∈（当n＝2k﹣1时，当n＝2k时，所以，所以故则﹣，＝1010．故答案为：1010．14．【解答】解：由函数f（x）的解析式为f（x）＝，得，①若x≤1，则方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0变为x＝log2（t﹣x），即2x＝t﹣x，且1＜t≤3；②若x＞1，则方程f[f（x）]﹣log2（t﹣x）＝0变为log2（log2x）＝log2（t﹣x），即log2x＝t﹣x，且t＞1，于是x1、x2分别是方程2x＝t﹣x、log2x＝t﹣x的两个根且x1≤1＜x2＜t，由于函数y＝log2x与y＝2x的图像关于直线y＝x对称，故x1+x2＝t，，故2故答案为：t+，t∈（1，3]．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15．【解答】解：由于f（x）＝ex﹣ex＝﹣，t∈（1，3]．﹣ex，可得f（﹣x）＝ex﹣ex＝﹣f（x），﹣从而可得函数为奇函数，显然，f（x）在R上单调递减．根据a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，可得a＞﹣b，b＞﹣c，c＞﹣a，故有f（a）＜f（﹣b）＝﹣f（b），f（b）＜f（﹣c）＝﹣f（c），f（c）＜f（﹣a）＝﹣f（a），∴f（a）+f（b）+f（c）＜﹣[f（a）+f（b）+f（c）]，∴f（a）+f（b）+f（c）＜0．故选：B．16．【解答】解：由题意可知，f（n）对n＝1，2，3都成立，假设f（k）成立的前提下，证明了f（k+m）成立，m的最大值可以为：3．故选：C．17．【解答】解：对于方程x2+b|x|+c＝0，若b＝0，c＝1，方程化为x2+1＝0，即x2＝﹣1，得x＝±i，即方程仅有两个共轭虚根，故①正确；当b＝﹣3，c＝2时，方程x2+b|x|+c＝0为x2﹣3|x|+2＝0，该方程有4个实数根，分别为﹣1，1，﹣2，2，有2个纯虚根，为故选：A．，，共6个互不相等的根，故②正确．18．【解答】解：因为函数f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|，令g（x）＝x2+（3m+5）|x|+1，g（﹣x）＝（﹣x）2+（3m+5）|﹣x|+1＝x2+（3m+5）|x|+1＝g（x），所以g（x）为偶函数，因为f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|有八个单调区间，所以g（x）的图象在y轴右侧与x轴有两个不同的交点，所以即，解得m＜﹣．故选：C．三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸的相应位量写出必要的步骤。19．【解答】证明：假设a1、a2、a3、a4全都大于1，即a1＞1，a2＞1，a3＞1，a4＞1，设bi＝ai﹣1（i＝1，2，3，4），代入a1+a2+a3+a4＝10可得b1+b2+b3+b4＝6，由a1a2a3a4＝7可得7＝（b1+1）（b2+1）（b3+1）（b4+1）＝1+（b1+b2+b3+b4）+（b1b2+b1b3+b1b4+b2b3+b2b4+b3b4）+（b1b2b3+b1b2b4+b1b3b4+b2b3b4）+b1b2b3b4＞1+b1+b2+b3+b4＝7，矛盾，故假设不成立，因此，a1、a2、a3、a4中至少有一个数不大于1．20．【解答】解：（1）由三角函数的周期公式可得∴f（x）＝sin（2x+φ），令由于直线所以由于0＜φ＜π，∴k＝﹣1，则因此，所以振幅为1，频率为，得为函数y＝f（x）的一条对称轴，，得，，，圆频率为2，初始相位为；，，，，（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到函数再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为g（x）＝sinx，∵F（x）＝f（x）+λ（x）＝cos2x+λsinx＝﹣2sin2x+isinx+1，令F（x）＝0，可得2sin2x﹣λsinx﹣1＝0，令t＝sinx∈[﹣1，1]，得2t2﹣λt﹣1＝0，Δ＝λ2+8＞0，则关于t的二次方程2t2﹣λt﹣1＝0必有两不等实根t1，t2，则①当0＜|t1|＜1且0＜|t2|＜1时，则方程sinx＝t1和sinx＝t2在区间（0，nπ）（n∈N*）均有偶数个根，从而方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，nπ）（n∈N*）也有偶数个根，不合题意；②当t1＝1，则，此时λ＝1，异号．当x∈（0，2π）时，sinx＝t1只有一根，sinx＝t2有两根，所以，关于的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，1346π）上有3×673＝2019个根，由于方程sinx＝t1在区间（1346π，1347π）上只有一个根，在区间（1347π，1348π）上无实解，方程sinx＝t2在区间（1346π，1347π）上无实数解，在区间（1347π，1348π）上有两个根，因此，关于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在区间（0，1347π）上有2020个根，在区间（0，1348π）上有2022个根，不合题意；③当t1＝﹣1时，则，此时λ＝﹣1，当x∈（0，2π）时，sinx＝t1只有一根，sinx＝t2有两根，所以，关于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣λ⋅sinx﹣1＝0在（0，1346π）上有3×673＝2019个根，由于方程sinx＝t1在区间（1346π，1347π）上无实数根，在区间（1347π，1348π）上只有一个实数根，方程sinx＝t2在区间（1346π，1347π）上有两个实数解，在区间（1347π，1348π）上无实数解，因此，关于x的方程2sin2x﹣λ⋅sinx﹣1＝0在区间（0，1347π）上有2021个根，满足题意．④若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意，综上所述：λ＝﹣1，n＝1347．21．【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），设P（m，m）（0≤m≤1），则E（m，0），F（1，m），∴，，∵∴向量与的夹角＜，，＞＝；（2）证明：∵＝，∴＝＝0，则⊥，∵﹣＝2，∴＝，即＝＝，，设M是线段DQ的中点，则因此＝，从而，因此P、M、C三点共线，结合QD⊥AC，及线段QD的中点M在AC上，得Q、D关于直线AC轴对称，因此Q与B重合，＝（1﹣m，﹣m），结合P与C不重合，有m≠1，＝（1﹣m）2﹣m2＝1﹣2m，m∈[0，1），∴的取值范围是（﹣1，1]．22．【解答】解：（Ⅰ）依题意，5次变换后得到的数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2…（3分）所以，数列A：2，6，4经过5次“T变换”后得到的数列为2，0，2，…（4分）（Ⅱ）数列A经过不断的“T变换”不可能结束设数列D：d1，d2，d3，E：e1，e2，e3，F：O，0，0，且T（D）＝E，T（E）＝F依题意|e1﹣e2|＝0，|e2﹣e3|＝0，|e3﹣e1|＝0，所以e1＝e2＝e3即非零常数列才能通过“T变换”结束．…①…（6分）设e1＝e2＝e3＝e（e为非零自然数）．为变换得到数列E的前两项，数列D只有四种可能D：d1，d1+e，d1+2e，D：d1，d1+e，d1；D：d1，d1﹣e，d1，D：d1，d1﹣e，d1﹣2e；而任何一种可能中，数列E的第三项是O或2e．即不存在数列D，使得其经过“T变换”成为非零常数列．…②…（8分）由①②得，数列A经过不断的“T变换”不可能结束．（Ⅲ）数列A经过一次“T变换”后得到数列B：398，401，3，其结构为a，a+3，3．数列B经过6次“T变换”得到的数列分别为：3，a，a﹣3；a﹣3，3，a﹣6：a﹣6，a﹣9，3；3，a﹣12，a﹣9；a﹣15，3，a﹣12；a﹣18，a﹣15，3．所以，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“a，a+3，3”的数列，变化的是，除了3之外的两项均减小18．…（10分）因为398＝18×22+2，所以，数列B经过6×22＝132次“T变换”后得到的数列为2，5，3．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，…．至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小．…（12分）所以经过1+132+3＝136次“T变换”得到的数列各项和达到最小，即k的最小值为136．…（13分）23．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联，证明如下：任取x1、x2∈R，若x1﹣x2∈[0，+∞），则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，+∞），∴函数f（x）＝2x+1是[0，+∞）关联；函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联，证明如下：若x1﹣x2∈[0，1]，则f（x1）﹣f（x2）＝2（x1﹣x2）∈[0，2]，∴函数f（x）＝2x+1不是[0，1]关联；（2）∵f（x）是{3}关联，∴x1﹣x2＝3，则f（x1）﹣f（x2）＝3，即f（x+3）﹣f（x）＝3，则当x∈[0，3）时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈[﹣1，3），∵2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣2x≤3，解得1+≤x≤3，当x∈[﹣3，0），x+3∈[0，3），f（x）＝x2+4x＝（x+2）2﹣4∈[﹣3，0），不合题意，当x∈[3，6），x﹣3∈[0，3），f（x）＝x2﹣8x+18＝（x﹣4）2+2∈[2，6），∵2≤f（x）≤3，即2≤x2﹣8x+18≤3，解得3≤x≤5，综上所述，不等式2≤f（x）≤3的解集为[1+，5]；（3）证明：必要性：根据条件可以得到f（x+1）＝f（x）+1，∴f（x+n）＝f（x）+n，n∈Z，x2≥x1，f（x2）≥f（x1），若1≤x2﹣x1≤2，∴x1+1≤x2≤x1+2，∴f（x1+1）≤f（x2）≤f（x1+2），又f（x1+1）＝f（x1）+1，f（x1+2）＝f（x1）+2，∴f（x1）+1≤f（x2）≤f（x1）+2，∴1≤f（x2）﹣f（x1）≤2，∴f（x）是[1，2]关联；充分性：当1≤x2﹣x1≤2，1≤f（x2）﹣f（x1）≤2，∴1≤f（x+2）﹣f（x+1）≤2，1≤f（x+1）﹣f（x）≤2，∴2≤f（x+2）﹣f（x）≤4，又1≤（x+2）﹣x≤2，∴1≤f（x+2）﹣f（x）≤2，∴f（x+2）﹣f（x）＝2，∴f（x+2）﹣f（x+1）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝1，∴f（x+n）＝f（x）+n，n∈Z，∴f（x）是{1}关联；同理可证：当1≤x2﹣x1≤2，1≤f（x2）﹣f（x1）≤2，∴1≤f（x+3）﹣f（x+2）≤2，，1≤f（x+2）﹣f（x+1）≤2，1≤f（x+1）﹣f（x）≤2，∴3≤f（x+3）﹣f（x）≤6，又1≤（x+3）﹣x≤3，∴1≤f（x+3）﹣f（x）≤3，∴f（x+3）﹣f（x）＝3，∴f（x）是{3}关联，综上所述，f（x）是{1}关联，且f（x）是{3}关联”的充要条件为“f（x）是[1，2]关联”．


更多推荐

函数,变换,得到,证明