2024年3月19日发(作者：安徽21届高考数学试卷)

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

一、选择题：（本题满分40分）

题号

答案

1

B

2

B

3

A

4

A

5

C

6

A

7

D

8

C

9

D

10

D

数学 参考答案

2022.5

二、填空题：（本题满分25分）

题号

答案

11 12 13

A

B

（答案不唯一）

6

14

52 45

15

①④

x1

5

三、解答题：（本题满分85分）

（16）（本小题13分）

解：由题可知，

f(x)cos

2

x3sin

xcos

xm

311

sin2

x

cos2

xm

222

π1

sin(2

x

)

m

．

62

选择①②：

（Ⅰ）因为

T

2π

π

，所以

1

．

2

11

，所以

m

．

22

又因为

f(0)1m

π

所以

f(x)sin(2x)

．

6

当

2x

πππ

2kπ

，

kZ

，即

xkπ

，

kZ

时，

f(x)1

.

623

所以函数

f(x)

的最小值为

1

．

......................................................................9

分

π

（Ⅱ）令

sin(2x)0

，

6

则

2x

π

kπ

，

kZ

，

6

kππ

，

kZ

．

212

1

所以

x

当

k1,2

时，函数

f(x)

的零点为

5π11π

,

，

1212

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有1个零点，

所以

5π11π

≤t

．

1212

5π11π

,)

．

....................................................................13

分

1212

所以

t

的取值范围是

[

选择①③：

（Ⅰ）因为

T

2π

π

，所以

1

．

2

33

，

22

又因为函数

f(x)

的最大值为

m

所以

m0

．

π1

所以

f

(

x

)

sin(2

x

)

．

62

当

2x

πππ

2kπ

，

kZ

，即

xkπ

，

kZ

时，

623

π

sin(2x)1

，

6

所以函数

f(x)

的最小值为

1

π1

（Ⅱ）令

sin(2

x

)



0

，

62

11



．

......................................................9

分

22

则

2

x

π7π11

2

k

π+π

，

kZ

，或

2

x

2

k

π+π

，

kZ

，

6666

π5

，

kZ

，或

xk

π+π

，

kZ

．

26

所以

xk

π+

π5π

当

k0

时，函数

f(x)

的零点分别为

,

，

26

由于函数

f(x)

在区间

[0,t]

上有且仅有1个零点，

所以

π5π

≤t

．

26

π5π

........................................................................13

分

所以

t

的取值范围是

[,)

．

26

（17）（本小题14分）

解：（Ⅰ）连接

A

1

D

，设

A

1

DAD

1

O

，连接

OE

,

EF

,

B

1

C

．

在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，因为

A

1

B

1

∥CD

，且

A

1

B

1

CD

，

2

所以四边形

A

1

B

1

CD

是平行四边形．

所以

A

1

D∥B

1

C

,且

A

1

DB

1

C

．

因为

E

，

F

分别是

CC

1

,

B

1

C

1

的中点，

所以

FE∥B

1

C

,且

FE

1

B

1

C

．

2

在矩形

A

1

ADD

1

中,

O

是

A

1

D

的中点，

所以

A

1

O∥FE

,且

A

1

OFE

．

所以四边形

A

1

OEF

是平行四边形．

所以

A

1

F∥OE

．

因为

A

1

F

平面

AED

1

,

OE

平面

AED

1

,

所以

A

1

F∥

平面

AED

1

． ..................................................................................5分

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz

，

则

D(0,0,0)

，

A(2,0,0)

，

D

1

(0,0,4)

，

E(0,2,2)

，

H(2,2,1)

,

N(0,1,0)

.



所以

AD

1

(2,0,4)

，

D

1

E(0,2,2)

．

设平面

AED

1

的一个法向量为

m(x,y,z)

，



m

AD

2x

4z

0,

1

0,

则



即

2y

2z

0.

m

D

1

E

0,

令

z1

，则

x2

，

y1

．

所以

m(2,1,1)

．



因为

NH(2,1,1)

，



所以

NH=m

.

所以

NH

平面

AED

1

.



因为

m(2,1,1)

，

NA(2,1,0)

．

设

AN

与平面

AED

1

所成角为

，则





|NA

m||4

1

0|30

sin

|cos

NA,m

|





．

|NA|

|m|

4

1

4

1

1

10

即

AN

与平面

AED

1

所成角的正弦值为

（18）（本小题13分）

解：（Ⅰ）设事件

A

：该地区某农民2022年种植此品种中药材获得最高纯收入．

所以

P(A)0.750.60.45

． ..........................................................................3分

3

30

． .............................................14分

10

（Ⅱ）由题意可知，

X

的所有可能取值为

3000

，

5000

，

7500

．

P(X3000)0.250.40.1

，

P(X5000)0.750.40.250.60.45

，

P(X7500)0.750.60.45

．

所以

X

的分布列为

0.1 0.45 0.45

所以

X

的数学期望

E(X)30000.150000.4575000.455925

．

..............................................................................................................................10

分

（Ⅲ）选择种植此品种中药材.理由如下：

以第（Ⅱ）问的期望作为决策依据，

则种植10亩中药材年纯收入为

5925105925045000

，

所以该农民下一年应该选择在这块土地种植此品种中药材． ......................13分

参考1：

选择种植此品种中药材.理由如下：

由（Ⅱ）知种植中药材纯收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，比纯收入

低于45000元的概率要大，所以该农民下一年可以选择在这块土地种植此品种中

药材．

参考2：

不选择种植此品种中药材.理由如下：

由（Ⅱ）知种植中药材收入高于45000元的概率为0.45+0.45=0.90，纯收入低于

45000元的概率虽只有0.1，但概率小的事件也可能发生，所以该农民下一年可以

不选择在这块土地种植此品种中药材．

（其他解答酌情给分）

（19）（本小题15分）

b

1,

2

c

解：（Ⅰ）由题意知

解得

a2

，

b1

．

,

a2

a

2

b

2

c

2

,

X

P

3000 5000 7500

x

2

所以椭圆

C

的方程为

y

2

1

． ................................................................4分

2

（Ⅱ）设

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，

x

1

0

，

x

2

0

，

则

k

1

y

1

1y

1

，

k

2

2

，

x

1

x

2

4


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