初中数学动点产生的最值问题专项讲解

2024年3月27日发(作者：初三一到三单元数学试卷)

初中数学动点产生的最值问题专项讲解

一、如图1,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.

做法如图2,连接A、B与l的交点即为所求.

图1 图2 图3 图4

二、如图3,在直线l上找到一点P,使得PA+PB最短.做法如图4,做点B关于直线l

的对称点B

/

,连接AB

/

与l的交点即为点P.

因为A、B两点是固定的,所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小

时,做法也是一样的.

三、如图5,在直线l上找到两点EF(点E在点F的左侧),EF的距离是定值,使得

AE+EF+FB最小.

做法如图6,过A做AA\'∥l且AA\'=EF,做B关于直线l的对称点B′,连接A\'B\'

与直线l的交点即为F,过A做A\'F的平行线与直线l的交点即为点E

同样地,因为AB两点是固定的,所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小

时,也是用同样的方法

图5 图6 图7 图8

四、如图7,直线a与直线b平行,在直线a上找到一点A,过点A作直线b的垂线交

于点B,如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短.

做法如图8,做PD垂直直线b交直线a于点C,交直线b于点D,在PD上截取

PECD,连接EQ,EQ与直线b的交点即为点B,过点B做直线a的垂线,交点即为点

A,连接PA即可.

这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题.

五、如图9,在直线l上找到一点M,使得|MA-MB|最小;直线l上找到一点N,使|NA-

NB|最大.

做法如图10,做AB的中垂线与直线l相交,交点即为M、此时|MA-MB|有最小

值0.如图11,延长BA与直线l相交,交点即为N、此时|NA-NB|有最大值为AB.

B

A

B

A

M

l

N

l

B

A

l

图9 图10 图11

六、如图12,点P是∠AOB内部一点,在OA上找到一点M、OB上找到一点N使

三角形PMN的周长最小.

做法如图13,分别作点P关于QA、OB的对称点P1、P2,连接P1P2、与OA的

交点即为M,与OB的交点即为N.此时,三角形PMN的周长最短.

A

P1

A

M

P

A

Q

B

A

P

P

B

O

O

N

P2

P

B

M

B

O

O

N

图12 图13 图14 图15

七、如图14,点P是∠AOB内部一点,在OA上找到一点M、过点M作AMN垂直

OB 交OB于点N,使得PM+MN的最小.

做法如图15,作点P关于OA的对称点Q,做QN垂直OB于N、则QN与OA

的交点为M.

八、如图16,在三角形ABC中找到一点P,使得PA+PB+PC最小.

做法如图17,分别以AB、BC、AC为边向外做等边三角形,连接AD、BE、CF

的交点就是符合条件的点P.