2024年4月1日发(作者：三门县中考数学试卷)
尺规作图数学史
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用
有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.
在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直
线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作
出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不
限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何
原本》之中.
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成
的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和
圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线；
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求
出交点；
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规
可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.
一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次
数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称
为尺规作图不能问题.
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；
⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre
Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；
1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π
是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径
r1
时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是
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一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由
19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题
目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一
些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
·只使用直尺和圆规，作正六边形.
·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经
使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.
·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和
圆规，是不足以把一个角分成三等份的.
·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给
出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形
的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，
解决了两千年来悬而未决的难题.
⑵ 四等分圆周
只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破
仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.
尺规作图的相关延伸：
用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图
1.只用直尺及生锈圆规作正五边形
2.生锈圆规作图，已知两点
A
、
B
，找出一点
C
使得
ABBCCA
.
3.已知两点
A
、
B
，只用半径固定的圆规，求作
C
使
C
是线段
AB
的中点.
4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？
顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定
的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，
那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两
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作图,圆规,尺规,问题,已知
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