2020考研数学一真题解析

2023年12月9日发(作者：数学试卷分析答题技巧)

Born to win2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．（1）当x0时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A）（C）x0et1dt （B）ln1t2dt02xsinx0sint2dt（D）1cosx0sint2dt【答案】（D）

【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。（A）x0x0e1dtex1x2t22（B）ln1tdtln1xx22（C）sinx0sint2dtsinsin2xx2（D）1cosx0sintdtsin(1cosx)2sinx213x2）经比较，选（D）

（2）设函数fx在区间1,1内有定义，且limfx0,则（x0（A）当limx0fxx0时，fx在x0处可导。（B）当limx0fxx20时，fx在x0处可导。fxx（C）当fx在x0处可导时，limx00。（D）当fx在x0处可导时，limx0fxx20

【答案】（C）

fx0，则有f00，lim【解析】当fx在x0处可导，且limx0x0f(x)0（fxx第1页 Born to win为x的高阶无穷小量），所以limx0fxx0，选（C）。ff（3）设函数fx,y在点0,0处可微，f0,00,n,,1（0,0），非零向量与nxy垂直，则（（A）x,y0,0limnx,y,fx,yxy22）0存在（B）x,y0,0limnx,y,fx,yxy220存在（C）x,y0,0limx,y,fx,yxy220存在（D）x,y0,0limnx,y,fx,yxy220存在【答案】（A）

【解析】由题意可知，(x,y)(0,0)limnx,y,fx,yx2y2(x,y)(0,0)limf(0,0),f(0,0),1x,y,fx,yxyx2y2，(x,y)(0,0)limfx,yf(0,0)fx(0,0)(x0)fy(0,0)(y0)x0y022由于函数fx,y在点0,0处可微，所以(x,y)(0,0)limnx,y,fx,yxy220，选（A）。

（4）设R为幂级数axnn1n的收敛半径，r是实数，则（ ）

（A）当an12nr2n发散时，rR（B）an12nr2n发散时，rR（C）当rR时，【答案】（A）

an12nr2n发散（D）当rR时，an12n收敛r2n【解析】因为R为幂级数axnn1n的收敛半径，所以R为幂级数第2页

an12nx2n的收敛半径，Born to win当an12nr2n发散时，由阿贝尔定理得rR，选（A）。（5）若矩阵A经初等变换化成B,则（ ）（A）存在矩阵P，使得PAB（B）存在矩阵P，使得BPA（C）存在矩阵P，使得PBA（D）方程组Ax0与Bx0同解【答案】（B）

【解析】由题意可知，对于矩阵A进行列变换得到矩阵B，则存在初等矩阵Q1,Q2,,Qt，使AQ1Q2QtB，则ABQ1Q2Qt，即ABP，选（B）。

（6）已知直线L1:1xa2yb22c2xa3yb32c3与直线L2:相交与一a1a2b1c1b2c2ai点，法向量ibi,i1,2,3，则（ci（A）a1可由a2,a3线性表示

（C）a3可由a1,a2线性表示

【答案】（C）

【解析】设交点为(x0,y0,z0)，则

）（B）a2可由a1,a3线性表示

（D）a1,a2,a3线性无关

ybzcx0a2y0b2z0c2xak，030303l，

a1a2b1c1b2c2所以x0a1ka2a2la3;y0b1kb2b2lb3;z0c1kc2c2lc3，

从而有3k1(1l)2，选（C）。（7）设A,B,C为三个随机事件，且PAPBPC1,PAB0,4PACPBC（A）341,则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为（ ）

12215（B）（C）（D）3212第3页 Born to win【答案】（D）

【解析】设A,B,C中恰有一个事件发生的概率为p，则

pP(ABC)P(ABC)P(ABC)，ABCAB,P(AB)0P(ABC)0，

P(ABC)P(ABC)P(A)P(A(BC))P(A)P(AB)P(AC)P(ABC)P(ABC)P(BAC)P(B)P(B(AC))P(B)P(AB)P(BC)P(ABC)P(ABC)P(CAB)P(C)P(C(AB))P(C)P(AC)P(BC)P(ABC)代入，可得p111=；4126111=；4126121=；412125111.6612121，2）。

（8）设X1,X2,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X0}P{X1}(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P{Xi55}的近似值为（i1100（A）1(1)（C）1(0.2)【答案】（B）

（B）(1)（D）(0.2)111100【解析】由题意可知，E(X)，D(X)，EXi10050，242i11100DXi10025，4i1利用中心极限定理可得P{Xi55}P{i1i1100X100i50255550}(1)。选（B）

25二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．第4页 Born to win（9）lim11=_______.x0ex1ln1x【答案】1

【解析】由题意可知，1ln1xex11limxlimx0ex1ln1xx0e1ln1xln1xxxex1ln1xxxex1limlimlim22x0x0x0xx2x11ex11lim1

2x02x222xt1d2y(10)设，22dxln(ytt1)t1________.【答案】22t211dyt1dt【解析】2dxdxttdttt1dy1t1ddtd2ydy1t21t21t2d2xdxdtdxttt3d2y2d2xt1(11)若函数f(x)满足f(x)af(x)f(x)0(a0)，且f(0)m,f(0)n，则0f(x)dx=______.【答案】nam【解析】由题意可知，特征方程为r2ar10，如下讨论：1）当a2时，方程有两个负实根，即f(x)C1e1C2e2,C1,C2为任意的常数，此时，rxrxa24，因为a0，所以进行第5页 Born to win0f(x)dx0(f(x)af(x))dx(f(x)af(x))0nam；2）当0a2时，方程有共轭复根，即f(x)eax24a24a2xC2sinx,C1,C2为任意的常数，此时，C1cos220f(x)dx0(f(x)af(x))dx(f(x)af(x))0nam；x3）当a2时，方程有两个相等的负实根，即f(x)C1C2xe,C1,C2为任意的常数，此时，0f(x)dx0(f(x)af(x))dx(f(x)af(x))0nam；故0f(x)dxnamxy(12)设函数fx,y【答案】4e

02xedt,则xyxt21,1______.

【解析】由题意可知，f(x,y)则xy0edt，令xtu，得f(x,y)xt2212xx3y201uedu，ux3y2132f1332xeuduyexy;0x42u，33232322f12133xexy2x3yexyyexy2x3yxy422x3y22f故xy(1,1)4e。a0110a11_______. 13（）行列式11a0110a【答案】a4a

【解析】42a01111a100a011a1aa11aa010a11a10a第6页

0a1Born to win0a1a2a2aa2aa32a211a2aa44a2（14）设X服从区间(【答案】,)的均匀分布，YsinX，则Cov(X,Y)______.222x(,)22other1【解析】由题意可知，E(x)0，f(x)0则cov(X,Y)cov(X,sinX)E(XsinX)E(X)E(sinX)，

其中E(XsinX)2xsinx12dx2，故cov(X,Y)cov(X,sinX)E(XsinX)E(X)E(sinX)2。指定位置上.解答应写出文字说明、三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）求fx,yx8yxy极值33【答案】极小值为f(,【解析】由题意可知，111)216612ff3x2y,24y2x；xyf2x3y01xxx1026令f24y2x0，解得y0,1y1y2122f2f2f再有26x,1;248y，得xxyy2fA12x2f(0,0)0,B1xy2f(0,0)1,C1y2第7页

(0,0)0；Born to win2fA22x2f111,B2(,)xy61222f1,C2211(,)y612211(,)612411)612因为A1C1B110,A2C2B230,且A210，所以(0,0)不是极值点，(,为极小值点，极小值为f(,111).

612216（16）（本题满分10分）计算曲线积分I4xyxydxdy，其中I是曲线

4x2y24x2y2L:x2y22，方向为逆时针方向。

【答案】

【解析】由题意可知，补线L1:4xy，0，且任意小，方向是顺时针，

则I2224xyxydxdyLL14x2y24x2y2D4xyxy4xyxydxdydxdyL14x2y24x2y24x2y24x2y212L1(4xy)dx(xy)dy122dxdy。D（n)an，证明：当x1（本题满分10分）设数列{an}满足a11，(n1)an1（17）时，幂级数12axnn1n收敛，并求其和函数。【答案】S(x)221xan1an12故当x1时，幂级数anxnxx1，xlimnn1n1n12由题意可知，lim【解析】n（n)an，所以a02。 收敛。因为a11，(n1)an1令S(x)axnn1n，则第8页 Born to win1an1n1xannxn2n1n0n01n1n1n1xannxanxxannxanxna0，22n1n0n1n11xS(x)S(x)12S(x)annxn1n即(x1)S(x)1CS(x)1，解微分方程，得S(x)2。21x由S(0)0，得C2，故S(x)22。1x（18）设为曲面zx2y2(1x2y24)的下侧，f(x)是连续函数，计算

I(xf(xy)2xy)dydz(yf(xy)2yx)dzdx(zf(xy)z)dxdy。【答案】14

3【解析】由题意可知，I(xf(xy)2xy)dydz(yf(xy)2yx)dzdx(zf(xy)z)dxdyxy22(yf(xy)2yx)(f(xy)1)xydxdy(xf(xy)2xy)2222xyxyD14x2y2dxdy3D（19）（本题满分10分）fx在0,2上具有连续导数，f(0)f(2)0，Mmaxfx,x[0,2]，证明

（1）[0,2]，使得fM；（2）若x[0,2]，f(x)M，则M0.【证明】（I）由题设，fx在0,2上连续，且Mmaxfx.若M0，则结论必成x[0,2]立。若M0，则x0(0,2),使f(x0)M.

若0x01,由拉格朗日中值定理，可得

第9页 Born to winf()f(x0)Mf(x0)f(0)M,(0,x0)(0,2).

x00x0x0若1x02,由拉格朗日中值定理，可得

f()f(x0)f(2)f(x0)MM,(x0,2)(0,2).

2x02x02x0(II)根据第一问，x0(0,2),使f(x0)M，则Mf(x0)f(x0)f(0)Mf(x0)f(2)f(x0)x002f(x)dxx002f(x)dxMdxMx0,(1)02x0x0x0f(x)dxf(x)dxMdxM(2x0),(2)x0由式（1）则M(x01)0，由式（2）则M(x01)0。显然若x01，则M0。若x01，且f(x)M，则Mf(1)f(1)f(0)Mf(1)f(2)f(1)102f(x)dxf(x)dxM011f(x)dxf(x)dxM12故f(x)M,x(0,1)(1,2)，即f(x)M。若M0,则f(x)不连续，这与题设矛盾，故M0.

（本题满分11分）设二次型fx1,x2x14x1x24x2经正交变换（20）22y1x1Qyx22化为二次型gy1,y2ay14y1y2by2，其中ab.

22（1）求a,b值；（2）求正交矩阵Q。3455【答案】（1）a4,b1，（2）Q

3455【解析】（1）fx1,x2xT1212T，xxAxA2424第10页 Born to wina2a2T，fy1,y2yTyyByB2b2bfx1,x2

xQy gy1,y2，即QTAQB,其中Q为正交矩阵，故A、B合同且相似，则A=B.又因A的特征值为5和0，则由trAtrBab5a4,b1，ab1（2）当A=5时，其线性无关的特征向量为，当A=0时，其线性无关的特征向量为2B=0ab401512单位化2Q111，令P2215255T，则Q1AQ1.

10521当B=5时，其线性无关的特征向量为，B=0时，其线性无关的特征向量为，1221单位化Q2令P212251515，2534555TTTTTQ2Q1AQ1Q2BQQ1Q2。则Q1AQ1Q2BQ203455（1）证明P为可逆矩阵；（2）若AA60，求P1AP，并判断A是否相似于对角矩阵。【答案】（2）PAP11206，A可以相似对角化

1【解析】（1）证明：设k1k2A0①，k2肯定为0，反证法，若k20，则Ak1，k2第11页 Born to win即为A的特征向量，与题意矛盾。因此k20，代入①得k10，由非零得k10.由k1k20得,A线性无关，向量组秩为2，rP2，所以P,A可逆。（2）由AA60得A6A，2206A,AA,A2A,6A,A110606由P可逆得PAP，令B11由BE0得12,23111有两个不同的特征值，所以B可相似于对角矩阵，由P1APB，A~B因为B可对角化，A相似于B，所以A可对角化，即A相似于对角矩阵.

（22）（本题满分11分）设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1,X2均服从标准正态分布，X3的概率分布与PX20PX311,YX3X11X3X22（1）求二维随机变量的分布函数，结果用标准正态分布函数x表示（2）证明随机变量Y服从标准正态分布11xyx,xy22【答案】（1）Fx,y1xy1y,xy22【解析】

（1）X1,Y的分布函数为：

Fx,yPX1x,YyPX30,X1x,YyPX31,X1x,YyPX30,X1x,X2yPX31,X1x,X1y11PX1xPX2yPX1x,X1y2211①xy时，Fx,yPX1xPX2yPX1x,X1y2211xyx2211②xy时，Fx,yPX1xPX2yPX1x,X1y2211xyy22第12页 Born to win11xyx,xy22综上所述：

Fx,y1xy1y,xy22（2）F(y)PYyPX30,YyPX31,YyPX30,X3X1(1X3)X2yPX31,X3X1(1X3)X2yPX30,X2yPX31,X1y11PX2yPX1yy22所以随机变量Y服从标准正态分布。

（23）（本题满分11分）设某种元器件的使用寿命T的分布函数为

t1e,t0F(t)，0, 其他m其中，m为参数且大于零。

（1）求概率P{Tt}与P{TstTs}，其中s0,t0.

（2）任取n个这种元件做寿命实验，测得它们的寿命分别为t1,,tn，若m已知，求的最大似然估计值。1【答案】（1）PTttmet0t0，PTtsTsetsmsmm1nm（2）mtini11【解析】（1）PTt1PTt1F(t)tmet0；t0PTtsTs1PTts1PTsPTts,TsPTsePTtsPTsemtssm1Fts1Fstsmmsmme第13页 Born to winttm1.mmet0，当寿命的观测值t,,t皆大于零时

’（2）ftFt1n0t0mmLftinmtn(m1)mnei1ntimi1n,mlnLnlnnm1lntnlnmmtimnti1nmi;

dlnLnm1nmi1m10,mtidni11nm故mti为所求的最大似然估计值。ni1第14页