高中数学必修一讲义

2023年12月12日发(作者：sx179001数学试卷答案)

高中数学必修一讲义

高中数学必修一讲义

编辑整理：

尊敬的读者朋友们：

这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修一讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学必修一讲义的全部内容。

1

高中数学必修一讲义

高中数学《必修一》讲义

一．序言

（一）、为什么要学数学？

1.提高思维能力，增长聪明才智； 2。学习与实践的基础； 3。“高考市场”的拳头产品

（二）、数学为什么难学？

1.高度的抽象性 2。严密的逻辑性 3.应用的广泛性

(三)、如何学好高中数学？

1。牢记基础知识; 2。领悟思想方法； 3。把握主干问题; 4.提高运算技能;

5。注重理性思维； 6。勇于探索创新; 7。加强数学应用；

8.优化心理品质。

（四）、对数学学习有什么要求?

1.专注认真; 2。勤思多练； 3。常做笔记;

4.规范作业； 5.加强交流； 6。反思评价.

老师寄语：好的开始是成功的一半，新的学期开始了,请大家调整好自己的思想,找到学习的原动力。播种一种思想,收获一种行为；播种一种行为,收获一种习惯；播种一种习惯，收获一种性格；播种一种性格，收获一种命运。愿每位同学都有个好的开始。

第一讲：集合的含义。表示及集合间的基本关系

（一）集合的有关概念

1.

集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.

一般地,我们把研究对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体叫集合（set)，2

高中数学必修一讲义

也简称集。

3.

思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）

大于3小于11的偶数;

（2）

我国的小河流;

（3）

非负奇数；

210的解； （4）

方程x（5）

某校2007级新生；

（6）

血压很高的人；

（7）

著名的数学家；

（8）

平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）

全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.

4.

关于集合的元素的特征

(1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

5.

元素与集合的关系;

（1）如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to）A，记作：a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to）A，记作：aA

例如，我们A表示“1～20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A

4A，等等。

6．集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母A，B,C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a，b,c，…表示。

７．常用的数集及记法：

非负整数集(或自然数集），记作N；

*正整数集，记作N或N+；

整数集，记作Z;

有理数集，记作Q;

实数集，记作R;

例题讲解：

例1．用“∈\"或“”符号填空：

(1）8 N; （2）0 N； （3）-3 Z； （4）2 Q；

（5)设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A，印度 A，英国

A。

21,m,m3m3， 若3∈P且-1P，求实数m的值。

例2．已知集合P的元素为(二）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“3

”括起来表示集合高中数学必修一讲义

的方法叫列举法。

2322如：｛1，2，3，4，5｝,｛x,3x+2,5y-x，x+y},…；

说明:1．集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合,用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚1,2,3,4,5,......

后方能用省略号,象自然数集Ｎ用列举法表示为例1．用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

2（2）方程x=x的所有实数根组成的集合；

(3)由1到20以内的所有质数组成的集合；

x2y0;（4）方程组2xy0.的解组成的集合。

(2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号｛ ｝内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

xApx()

一般格式：2如：{x|x-3〉2}，{（x,y)|y=x+1},{x︳直角三角形｝，…；

说明：

22描述法表示集合应注意集合的代表元素，如｛（x，y)｜y= x+3x+2｝与 {y|y= x+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：｛x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数｝。下列写法{实数集}，{R｝也是错误的。

例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

2（1）方程x-2=0的所有实数根组成的集合；

(2）由大于10小于20的所有整数组成的集合;

xy3;(3)方程组xy1.的解。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

课堂练习：

1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

42．集合A＝｛x｜x3∈Z,x∈N}，则它的元素是 。

3．已知集合A＝｛x｜—3〈x<3，x∈Z}，B＝{(x,y)｜y＝x2+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是

4

高中数学必修一讲义

(三）。 子集、空集等概念

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

{1,2,3}，B{1,2,3,4,5}；

（1）A（2）C=｛x|x是第一中学2010年9月入学的高一年级同学｝，D=｛xx是第一中学2010年9月入学的高一年级女同学}。

｜{x是等腰三角形}

{x|x是两条边相等的三角形}（3）E，Fx1．

子集的定义：

对于两个集合A，B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集（subset）。 记作：

(或BA)

AB读作：A包含于（is contained in)B，或B包含（contains）A

当集合A不包含于集合B时，记作AØB

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

如:（1）中AB

2．

集合相等定义：

如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B中的元素是一样的，BB且A,则AB。

因此集合A与集合B相等，即若A 如（3)中的两集合EF。

3．

真子集定义:

B,且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper 若集合AB，但存在元素xsubset）。记作：

A B(或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A)

如：（1）和（2）中A B，C D;

4．

空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：。

用适当的符号填空:



0; 0

；



;

0



5．

几个重要的结论：

（1）

空集是任何集合的子集；

（2）

空集是任何非空集合的真子集;

（3）

任何一个集合是它本身的子集；

（4）

对于集合A，B，C，如果AB,且BC，那么AC.

说明：

1．

注意集合与元素是“属于\"“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于\"的关系；

5

高中数学必修一讲义

2．

在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。

例题讲解：

例1．填空：

（1)． 2 N;

{2} N;

 A;

（2）．已知集合A＝｛x|x2－3x＋2＝0｝，B＝｛1,2｝，C＝{x｜x<8，x∈N}，则

A B； A C； ｛2} C； 2 C

例2．写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

例3．若集合2Axxx60,Bxmx10, B A，求m的值。

11或- （m=0或32

）

x25x,Bxm12xm1例4．已知集合A且AB,

求实数m的取值范围。 （m3）

第二讲：集合的基本运算

(一). 交集、并集概念及性质

思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

{2,4,6},C1,2,3,4,5,6{1,3,5}，B（1）A；

6

高中数学必修一讲义

{xx是有理数},B{xx是无理数},Cxx是实数(2）A；

1。并集的定义：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（union set）.记作：A∪B（读作：“A并B”），即

Bx,或xBxA

A用Venn图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C,即

AB= C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？

A∪A＝ ， A∪Ф＝ , A∪B B∪A

A∪B＝A

 , A∪B＝B 。

巩固练习（口答)：

①．A＝｛3,5，6,8｝,B＝{4,5,7，8},则A∪B＝ ;

②．设A＝{锐角三角形},B＝{钝角三角形｝，则A∪B＝ ;

③．A＝{x｜x〉3｝,B＝{x|x〈6},则A∪B＝ 。

2。交集的定义:

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合（intersection set），记作A∩B（读“A交B\")即：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B｝

用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集)

常见的五种交集的情况：

讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系?

A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A

A∩B＝A

 A∩B＝B

巩固练习（口答)：

7

A、B的交集高中数学必修一讲义

①．A＝{3，5，6，8}，B＝｛4,5，7,8}，则A∩B＝ ;

②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形｝，则A∩B＝ ;

③．A＝{x｜x〉3}，B＝{x|x〈6}，则A∩B＝ 。

例题讲解：

x1x2,Bxx13例1．设集合A,求A∪B．

变式：A＝｛x｜-5≤x≤8｝

例2．设平面内直线l1示l1

上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表，l2的位置关系.



Czz2z80是否存在实数m，同时满足AB,AC？

例3．已知集合2222Axxmxm190,Byy5y60 (m=-2）

（二）。 全集、补集概念及性质

1。全集的定义:

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2。补集的定义：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集（complementary set），记作:CUA,

读作：“A在U中的补集”,即

CAx,且xUxA

U

用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

讨论：集合A与CUA之间有什么关系？→借助Venn图分析

ACA,ACAU,C(CA)AUUUU

CU,CU

UU巩固练习（口答）:

8

高中数学必修一讲义

①．U=｛2,3,4},A={4，3｝，B=φ，则CUA= ，CUB= ；

②．设U＝｛x｜x<8，且x∈N｝，A＝{x｜(x-2）（x—4)(x—5）＝0}，则CUA＝ ；

③．设U＝｛三角形｝，A＝{锐角三角形｝，则CUA＝ .

例题讲解:

xx是小于9的正整数,A1，2，3，B3，4，5，6例1．设集U,求CUA，CUB．

xx4,集合Ax2x3,Bx3x3例2．设全集U，求CUA，

AB，

AB,C(AB),(CA)(CB),(CA)(CB),C(AB)。

UUUUUU()AB(CA)(CB),C()AB(CA)(CB))

UUUUUU （结论：C例3．设全集U为R，

22Axxpx120,Bxx5xq0,若

CA)B2,A(CB)4UU

(，求AB.

集合复习

（一) 集合的基本运算：

例1：设U=R，A=｛x｜—5

(CUA）∩（CUB）、（CUA)∪（CUB）、CU（A∪B)、CU(A∩B）。

说明：不等式的交、并、补集的运算,用数轴进行分析,注意端点。

例2：全集U={x｜x<10,x∈N｝,AU，BU,且（CUB）∩A=｛1,9｝，A∩B=｛3},(CUA)∩（CUB)=｛4,6,7｝,求A、B。

说明:列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：

9

高中数学必修一讲义

例3:A=｛x|x2+4x=0}，B=｛x｜x2+2（a+1）x＋a2－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值.

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时,用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A=｛x｜x>6或x<-3}，B=｛x|a

(三）巩固练习:

1．已知A={x|-2〈x<—1或x>1｝，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B=｛x|1

2．P=｛0,1｝，M={x|xP｝，则P与M的关系是 。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为 人。

4．满足关系{1,2}A｛1，2,3,4,5｝的集合A共有 个。

5．已知集合A∪B＝｛x｜x<8,x∈N}，A＝｛1,3,5，6｝，A∩B={1,5，6｝,则B的子集的集合一共有多少个元素？

6．已知A＝{1,2，a｝，B＝｛1,a2}，A∪B＝{1,2，a}，求所有可能的a值。

7．设A＝｛x｜x2－ax＋6＝0},B＝｛x｜x2－x＋c＝0｝,A∩B＝｛2｝，求A∪B.

8．集合A=｛x|x2+px-2=0｝，B={x｜x2—x+q=0｝，若AB={-2,0，1}，求p、q.

9． A=｛2,3，a2+4a+2}，B=｛0，7，a2+4a-2,2—a}，且AB =｛3，7｝，求B。

10．已知A={x|x〈-2或x>3}，B=｛x｜4x+m<0｝，当AB时,求实数m的取值范围.

10

高中数学必修一讲义

第三讲：函数的概念

（一）函数的概念:

思考1：给出三个实例:

A．一枚炮弹发射,经26秒后落地击中目标,射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时2130t5t间t（秒)的变化规律是h。

B．近几十年,大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系? 三个实例有什么共同点？

归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x,按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应,记作：

B

f:A函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一B为从集合A到集合B的个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:A一个函数（function），记作：

其中，x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域（domain）,与x的值对应的y值叫函数值，fx|xA}叫值域(range）。显然，值域是集合B的子集。

函数值的集合{()（1）一次函数y=ax+b （a≠0)的定义域是R，值域也是R;

2yaxbxc (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a〉0时，值域 （2)二次函数yf()x,xA

4acb24acb2ByyByy4a4a;当a﹤0时，值域。

ky(k0) （3）反比例函数x的定义域是xx0，值域是yy0。

（二)区间及写法：

设a、b是两个实数，且a〈b，则：

b（1）

满足不等式axb（2）

满足不等式ax的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b);

xb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为（3）

满足不等式a,,ab,ab;

这里的实数a和b都叫做相应区间的端点.(数轴表示见课本P17表格)

符号“∞\"读“无穷大”;“－∞\"读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满a,,a,,a,xa,xb,xb的实数x的集合分别表示为足x,b,b,

。

巩固练习:用区间表示R、｛x|x≥1}、｛x｜x〉5｝、{x|x≤—1｝、{x｜x<0}

例题讲解：

()x2x3，求f（0)、f(1）、f(2）、f（－1)的值。

例1．已知函数fx11

2高中数学必修一讲义

x2x3,x{1,0,1,2}变式：求函数y的值域

21f(x)x3x2，

例2．已知函数2f(3),f(),ff33（1）

求的值;

a,f(a1)的值。 （2）

当a〉0时，求f()

课堂练习：

1． 用区间表示下列集合：

xx4,xx4且x0,xx4且x0,xx1,x0或x2

2． 已知函数f(x)=3x2＋5x－2，求f(3)、f(—2）、f（a)、f(a+1）的值;

（二)函数定义域的求法:

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x），而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

x3 ⑴ f（x）=x

22； ⑵ f（x）=2x9； ⑶ f(x）=xx1－2x；

*复合函数的定义域求法：

(1）已知f（x）的定义域为（a，b）,求f(g（x)）的定义域；

求法：由a

（2）已知f（g（x))的定义域为(a，b），求f（x）的定义域；

求法:由a

例2．已知f(x）的定义域为[0，1]，求f（x＋1）的定义域。

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1，0］，求f（x+1）的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：

f(x)1x1x4; （2）f(x)111x

(1）2f(x2．（1）已知函数f（x)的定义域为[0，1]，求1)的定义域；

（2）已知函数f(2x-1）的定义域为［0，1］，求f（1-3x)的定义域。

（三)函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

12

高中数学必修一讲义

例5．下列函数中哪个与函数y=x相等？

2(1)y(x)； （2)y33x2yx; （3）x2y； （4）

x。

(三)课堂练习： 1．求函数y＝－x2＋4x－1 ,x∈［-1,3） 的值域.

第四讲：函数的表示法（一）

(一）函数的三种表示方法:

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1。2。1的实例(1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值.

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1。2.1的实例(2）；

优点:直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2。1的实例（3);

优点:不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等.

例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x∈｛1，2，3，4,5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2:下表是某校高一（1)班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

甲

98

87

91

92

88

95

乙

90

76

88

75

86

80

丙

68

65

73

72

75

82

班平均88．2

78．3

85．4

80．3

75．7

82．6

分

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

(二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数,如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

(1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则;画分段函数图象时,应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

(2)．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3:某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1）5公里以内(含5公里)，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的俺公里计算).

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

13

高中数学必修一讲义

,x(,0)2x32,x[0,)，求f（0）、f[f(-1）]的值

例4．已知f(x）＝2x1

（三）课堂练习： 1．作业本每本0。3元，买x个作业本的钱数y(元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

2．某水果批发店,100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。试用三种方法表示批发x千克与应付的钱数y（元）之间的函数y=f(x）.

（三） 映射的概念教学：

定义：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中B为从集的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A合A到集合B的一个映射(mapping)。记作：

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？

例1．以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

（1）

集合A={P ｜ P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）

集合f:AB

(,xyx)R,yR，对应关系f： 平面A={P | P是平面直角坐标系中的点},B=

直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）

集合A={x | x是三角形｝，集合B=｛x ｜ x是圆｝，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）

集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B=｛x ｜ x是新华中学的学生｝，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c｝，B=｛0,1｝ ，试问:从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。

(四)求函数的解析式:

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f（x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1）=2x+17，求函数f（x)的解析式。

（待定系数法）

例4．已知f（2x+1）=3x-2，求函数f(x）的解析式。（配凑法或换元法）

14

高中数学必修一讲义

1f(x)2f()xx例5．已知函数f（x)满足

,求函数f（x）的解析式。（消去法）

（三）课堂练习：

1x1x2f()1x1x2，求函数f(x)的解析式。

1．已知

121f(x)x2xx，求函数f（x)的解析式。

2．已知()2f(x)x1，求函数f（x)的解析式.

3．已知fx

第五讲：函数的表示法(二)及函数的复习

（一)函数的图像

例1．画出下列各函数的图象：

(x)2x2　　(2x2)

（1)f2f(x)24xx3　　(0x3)；

（2）

例2．画出函数f(x)x

的图象.

()2x13x的解析式，并画出它的图象。

,,求函数fx例3．设x

()2x13x的最大值。

变式1：求函数fx

x13x1。

变式2：解不等式2

2x4x5m有4个互不相等的实数根。

例4．当m为何值时，方程

15

高中数学必修一讲义

2x4x5m对xR恒成立，求m的取值范围。

变式：不等式

1(0x1)，　f(x)x(x1)x，　课堂练习： 2．画出函数的图象.

（二）复习总结

基础习题练习:

1．说出下列函数的定义域与值域：

f(x)y83x5x4x3； ；

y2y1x24x3；

1x1，求f(2)，

f(f(3))，

f(f(x))；

2．已知0(x0)f(x)(x0)x1(x0)3．已知，

（１)作出f(x)的图象;

(1),　f(1),　f(0),　f{f[f(1)]}（２）求f的值

例题：

例１．已知函数f(x)=4x+3,g（x）=x2, 求f[f(x）］，f［g(x）],g[f(x)］，g[g（x)］．

例2．求下列函数的定义域：

y (１）

(x1)0xxx24y2x2x3； （２）;

222y(a1)x(a1)xa1的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．

例３．若函数

例４． 长沙移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元,每通话1分钟,付费0。4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟,付费0。6元。 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y2（元)．

16

高中数学必修一讲义

(１）．写出y1,y2与x之间的函数关系式？

（２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？

(３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

巩固练习：

11．已知f(x)=x2-x+3 ，求：f（x+1)， f(x）的值；

(x1）x2x,求函数f(x）的解析式;

2．若f(x2)f(2x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3），3．设二次函数f(x)满足f求f(x)的解析式．

3x1f(x)2axax3的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．

４．已知函数3第六讲:单调性与最大（小）值 （一）

一、复习准备：

1。引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律:

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f（x)= x＋2、f(x)= x2的图像.（小结描点法的步骤：列表→描点→连线)

二、讲授新课:

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f（x)＝3x＋2、 f（x)＝x2 (x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？ 当x1〉x2时，f（x1)与f（x2)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f（x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f（x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的)单调性,区间D叫f（x）的单调区间。

⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系?

⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2。教学增函数、减函数的证明：

例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

17

高中数学必修一讲义

1、

例题讲解

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f（x）,根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：物理学中的玻意耳定律（k为正常数),告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

pkV例3．判断函数

y2x1在区间[2，6] 上的单调性

三、巩固练习：

11。求证f（x)＝x＋x的(0，1）上是减函数，在[1,+∞］上是增函数.

2.判断f(x)=｜x|、y=x3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x2－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性

18

高中数学必修一讲义

四、小结:

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1〈x2； →计算f（x1）－f(x2）至最简→判断差的符号→下结论。

第七讲： 单调性与最大（小)值 （二）

一、复习准备:

1.指出函数f（x）＝ax2＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x）＝ax2＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？

3。知识回顾：增函数、减函数的定义。

二、讲授新课：

1。教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

f()x2x3，f()x2x3

x[1,2]22fx()x2x1fx()x2x1

x[2,2]；，

② 定义最大值：设函数y=f（x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f（x)≤M；存在x0∈I，使得f（x0） =

M。 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum

Value）

③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．

→ 一些什么方法可以求最大(小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法。

2、

例题讲解：

2y例1．求函数x1在区间[2，6］ 上的最大值和最小值．

x1x的最大值

例2．求函数y

19

高中数学必修一讲义

探究：（解法一：单调法； 解法二：换元法)

y3x23的图象与x的关系?

y三、巩固练习：

1. 求下列函数的最大值和最小值：

532y32xx,x[,]22；

（1）|x1||x2|

（2）y

2。一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价?(分析变化规律房价→建立函数模型→求解最大值）

住房率（%）

(元）

160

55

140

65

120

75

100

85

2xx1的最小值. 3、

求函数y

四、小结:

求函数最值的常用方法有:

（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．

（2)换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．

（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

20

高中数学必修一讲义

第八讲:函数的奇偶性

一、复习准备：

1.提问：什么叫增函数、减函数？

2.指出f（x）＝2x2－1的单调区间及单调性. →变题:｜2x2－1|的单调区间

3.对于f（x）＝x、f（x）＝x2、f(x)＝x3、f（x）＝x4，分别比较f(x)与f（－x）。

二、讲授新课:

1.教学奇函数、偶函数的概念:

①给出两组图象：f(x)x、 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征

x)f()x，那么函数② 定义偶函数:一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(f(x)叫偶函数(even function）.

③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.

x)f()x)，那么函数f(x)叫奇函数。

（如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(④ 讨论：定义域特点?与单调性定义的区别？图象特点?（定义域关于原点对称；整体性）

⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像.

(假如f（x)是奇函数呢？）

1.

教学奇偶性判别：

例1．判断下列函数是否是偶函数．

2fx()xx[1,2]（1）f(x)132x、f(x)x；f(x)x、f(x)|x|。

（2）

f(x)xxx132

例2．判断下列函数的奇偶性

21

高中数学必修一讲义

（1）f(x)x （2）f(x)x (3） （4）12x1(x0)2g(x)1x21(x0)22y1xx1

2 （5) （6）

45f(x)x1xf(x)1x2．

4、教学奇偶性与单调性综合的问题：

①出示例：已知f（x）是奇函数，且在(0,+∞）上是减函数，问f(x）的(-∞,0）上的单调性。

②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）

③变题：已知f（x）是偶函数，且在[a，b]上是减函数，试判断f(x）在[-b,-a］上的单调性，并给出证明.

三、巩固练习：

1、判别下列函数的奇偶性：

3 f（x）＝|x＋1｜+|x－1｜ 、f（x）＝xx∈[-2，3］

2x12、f（x）＝x＋x、 f(x）＝1x、f(x）＝x2，2。设f（x）＝ax7＋bx＋5,已知f（－7）＝－17，求f（7）的值。

13.已知f(x）是奇函数，g（x)是偶函数,且f(x）－g（x)＝x1，求f(x）、g(x）。

4。已知函数f(x），对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y），试判别f(x）的奇偶性。(特值代入）

22

高中数学必修一讲义

5.已知f(x)是奇函数,且在［3，7]是增函数且最大值为4,那么f（x)在［-7，-3］上是（ ）函数，且最 值是 。

四、小结

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

第九讲：函数的基本性质运用

一、复习准备:

1.讨论:如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？

2.提问:如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义?

二、教学典型习例：

1.函数性质综合题型：

①例1:作出函数y＝x2－2｜x｜－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。

思考：y＝|x2－2x－3|的图像的图像如何作？

②讨论推广：如何由f(x)的图象,得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

③出示例2：已知f（x)是奇函数,在（0,＋∞)上是增函数，证明：f（x)在（－∞，0）上也是增函数

分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致)

2。 教学函数性质的应用：

1①出示例 ：求函数f(x)＝x＋x (x〉0）的值域。

分析：单调性怎样？值域呢?→小结:应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广

②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式,并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？

23

高中数学必修一讲义

分析:此题的数量关系是怎样的？函数呢?如何求函数的最大值？

小结：利用函数的单调性（主要是二次函数)解决有关最大值和最大值问题.

2.基本练习题:

1、判别下列函数的奇偶性：y＝1x＋（变式训练：f（x）偶函数，当x>0时，f(x）=…。,则x〈0时，f（x）=? ）

2xx(x0)21x、 y＝xx(x0)

2、求函数y＝x＋2x1的值域。

3、判断函数

x2y=x1单调区间并证明。

的单调性）

cxd（定义法、图象法; 推广:

axb24、讨论y=1x在［-1，1]上的单调性。

三、巩固练习：

ax2b1.求函数y=xc为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。

2.已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a—1,2a］,求函数值域。

3. f(x）是定义在(—1，1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。

24

高中数学必修一讲义

4. 求二次函数f(x）=x2－2ax＋2在[2，4]上的最大值与最小值。

第十讲：指数与指数幂的运算

一.指数函数模型应用背景：

实例1。某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万,则x年后人口数为多少万?

实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次)

计算:若报纸长50cm，宽34cm，厚0.01mm，进行对折x次后,问对折后的面积与厚度？

②问题1。 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP(国内生产总值)年平均增长率达7。3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳t15730P()14的含量P与死亡时碳14的关系为2. 探究该式意义？

③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.

二。根式的概念及运算:

2(2)① 复习实例蕴含的概念：4，24(3)81,3就叫做81探究:就叫4的平方根；327，3就叫27的立方根。

n的?次方根, 依此类推，若xa3，那么x叫做 th

的n次方根.

n② 定义n次方根：一般地，若xaroot ),其中n1,n

a，那么x

叫做a的n次方根。(

nn简记:a33. 例如:28,则823273273,

③ 讨论：当n为奇数时， n次方根情况如何?, 例如: ,nxa

记：325

高中数学必修一讲义

3)81，81当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如:

(n记：a4的4次方根就是3,

n强调:负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0, 即.

00

43④ 练习：ba,则a的4次方根为 ;

ba, 则a的3次方根为 。

⑤ 定义根式:像a的式子就叫做根式(radical）， 这里n叫做根指数(radical exponent）,

a叫做被开方数（radicand）.

n33nnnn22(3)4⑥ 计算、、(2) → 探究:

(a)、a的意义及结果？ （特殊到一般)

nna(a0)a|a|nnnna(a0)结论：(a)a。 当n是奇数时，aa；当n是偶数时，nn

例题讲解

求下列各式的值

(1)3(8)3

2(2)(10)

44(3)(3)

2(4)(ab)

巩固练习：

1. 计算或化简：32

5mpnmaa，

a0）.

a； (推广：36np1.512

26743642 ；232、 化简：5

363、求值化简：

3(a)3；

4(7)4；

6(3)6；

2(ab)2（ab）

三。分数指数幂概念及运算性质：

2525a)a →

a?a)aa →

3a12?；

a(① 引例:a>0时，a(①

定义分数指数幂:

51。

*aaa(0,m,nN,n1)规定2325mnnm11*am(a0,m,nN,n1)nmana;

nmmna0,m,nNn1)；235；354③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：a(43

B. 求值

27；

5；

6；

a.

④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到26

52高中数学必修一讲义

有理数指数幂．

0,b0,r,sQ

指数幂的运算性质：arrsa)aar·a;

(rsrsrrsa(ab)aa．

;

四、无理指数幂

32的结果?→定义：无理指数幂.

aa0,是无理数)无理数指数幂(是一个确定的实数．

巩固练习：

1、求值:27

23;

16213243233253()()5； ；

49

3ab)(8ab)(6ab)；(mn)2、化简：(

816

1(2n1)2()2n124n823。 计算：的结果

1a3107na3,a384,求a[()]的值3103a34。 若

第十一讲: 指数函数及其性质

一。 指数函数模型思想及指数函数概念：

①

探究两个实例:

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个,第3次由4个分裂成8个，如此下去,如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么?

②

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

xya(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是③ 定义:一般地,函数自变量，函数的定义域为R。

④讨论：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？

→ 举例：生活中其它指数模型？

二. 指数函数的图象和性质：

① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

② 回顾：研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小)值、奇偶性．

27

高中数学必修一讲义

1y()xxy22③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象: ，

11y()xy()xxx④ 探讨：函数y2与2的图象有什么关系?如何由y2的图象画出2的图象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？

⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质

例题讲解

xf(x)a例1：已知指数函数（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π),求f(0),f(1),f(3)的值.

例2:比较下列各题中的个值的大小

（1）1.7

2。5

与 1.73

0.10.20.3 3.10.8( 2 )与0.8 （ 3 ） 1.7与 0.9

例3：求下列函数的定义域：

（1）y2

4x42y()|x|3 （2）

三. 指数函数的应用模型：

①例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7％的国土上，却养育着22%的世界人口．因此,中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1％．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

（Ⅰ)按照上述材料中的1％的增长率,从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍?

（Ⅱ）从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？

练习： 2010年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%， 经过x年后的总产值为原来的多少倍？

→ 变式：多少年后产值能达到120亿？

③ 小结指数函数增长模型:原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？ →一般形式:

四。 指数形式的函数定义域、值域:

xfx()a(a0且a1)值域？

① 讨论:在[m，n]上，1x1②例1。 求下列函数的定义域、值域：y21

x；

y35x1；

y0.4。

②例2. 求函数的定义域和值域.

讨论：求定义域如何列式？ 求值域先从那里开始研究？

y2x12例题讲解

2x1yx例1求函数21

的定义域和值域,并讨论函数的单调性、奇偶性。

28 高中数学必修一讲义

例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿)？

xx92•32,x1,2,求这个函数的值域

例3、已知函数y

巩固练习：

2xy(a3a3)a1。 函数是指数函数，则a的值为 。

0.8,b0.8,c1.2；

2、 比较大小:a

10,0.42.5,20.2,2.51.6.

330.76210.752（）与（3）()2与（0.4）5 ；

3。

0.70.90.8

()a(a0且a1)值域？

3、探究：在［m，n]上，fx

x4、 一片树林中现有木材30000m，如果每年增长5％，经过x年树林中有木材ym，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3

33第十二讲：对数与对数运算

一、复习准备：

1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭

11()4()x（1）取4次，还有多长？(2）取多少次，还有0。125尺？ (得到：2＝？,2＝0。125x=？)

2。问题2：假设2010年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少x(18%)年国民生产 是2010年的2倍？ （ 得到:=2x=？ ）

问题共性:已知底数和幂的值,求指数 怎样求呢？

x.01m求x

例如:由1二、讲授新课：

1。对数的概念：

xa0,a1)，那么数

x叫做以a为底

N的对数（logarithm）。

① 定义：一般地，如果aN(gaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数

记作

xlo29

高中数学必修一讲义

② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数log10N简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2。71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作lnN

→ 认识：lg5 ； lg3.5； ln10； ln3

③ 讨论：指数与对数间的关系 （a0,a1时,axNxlogaN)

负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中 N 〉 0 ）

loga1?,

logaa?

④:对数公式alogaNN，

logaann

2。指数式与对数式的互化:

7①例1。 将下列指数式写成对数式：53125 ；21128；3a27；

1020.01

② 出示例2. 将下列对数式写成指数式:log13252； lg0.001=—3; ln100=4.606

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1）54=645 （2）26164 （3)(13)m5.73

log1164（4）2 （5）log010.012 （6）loge102.303

例2：求下列各式中x的值

（1)log264x3 （2）logx86 （3）lg100x (4）lne2x

3.对数运算性质及推导：

① 引例： 由aapqapq，如何探讨logaMN和logaM、logaN之间的关系？

设logaMp，

logaNq,由对数的定义可得：M=ap，N=aq

∴MN=apaq=apq

∴logaMN=p+q，即得logaMN=logaM +

logaN

② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？

如果

a > 0，a ¹ 1，M 〉 0，

N 〉 0 ，则

log(MN)=logM+logN;

logMaaaaN=logaM-logNa;

lognaM=nlogaM(nR)

③

讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？

④ 运用换底公式推导下列结论:lognnambmlogab；logab1logba

教学例题：

例3。 判断下列式子是否正确，（a＞0且a≠1，x＞0且a≠1,xx＞y）,

30

0,＞高中数学必修一讲义

oglxogylog(xy) （2）logxlogylog(xy)

aaaaaa(1）lxlogloglogaaxayogxylogxlogy

yaaa（3） （4）llogx)nlogx （6)aa（5)(1nlogxlogaaxn（7）

nlogaxloga1x

例4：用logax（1）

，logay，logaz表示出（1）（2）小题，并求出（3）、(4）小题的值。

755log(42)lgz （3） （4)100logaxyz （2）logax2y38

巩固练习：

1．计算：

log927；

log3243；

logblogclogN+abca的值(a,b,cR,且不等于1,N＞0）.

2．求log4381og(23)(23);

l；

log346255.

3lg2a，lg3b，试用a、b表示log512

。

的值。

变式：已知lg２＝0。3010，lg３＝0.4771,求lg６、lg12、lg3lg2437lg142lglg7lg1834计算：;

lg9

lg27lg83lg10lg1.2； .

111abcbc346ac5 设、、为正数，且，求证：a2b

log6求2xy的值

第十三讲：对数函数及其性质

1。对数函数的图象和性质:

① 定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数y=logax叫做对数函数（logarithmic function）。自变量是x； 函数的定义域是（0,+∞）

log2x② 辨析: 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别,如：y2，ylog(x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数;对数函数对底数的限制

(a0，且55)a1)．

③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗?

31

高中数学必修一讲义

研究方法：画出函数的图象,结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小）值、奇偶性．

log0.5x

2x；y④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象

ylog

⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？

列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点）

引申:图象的分布规律？

2、总结出的表格

图象的特征

函数的性质

（1)图象都在y轴的右边

（1）定义域是(0，+∞）

（2）函数图象都经过（1，（2）1的对数是0

0）点

（3)从左往右看，当a＞1（3）当a时，图象逐渐上升,当0＜增函数，当

a＜1时，图象逐渐下0＜a＜1降 。

ylogax是减函数。

（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0)点左边的纵坐标都小于0。 当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 。

xyloga是＞1时，时，（4）当a

x 0＜x当0＜a

x 0＜x

＞1时

＞1，则logax＜1，logax＜1时

＞1，则logax＜1,logax＞0

＜0

＜0

＜0

教学例题

例1：求下列函数的定义域

2log(x) （aylogxa4a（1） （2）y＞0且a≠1）

例2。比较下列各组数中的两个值大小

og1.8,log27

og3.4,log8.5 （2）l0.30.3.22（1）l2 函数模型思想及应用：

Hlg[H]，其中[H]表示溶液①例题：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式p中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。

（Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？

0摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.

（Ⅱ）纯净水[H]1②

讨论：抽象出的函数模型？ 如何应用函数模型解决问题？ → 强调数学应用思想

73反函数的教学:

① 引言:当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量。 我们称这两个函数为反函数（inverse function）

32

高中数学必修一讲义

② 探究:如何由y2x求出x？

xxy2y2由解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得g2y③ 分析:函数xlo2x.

出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为ylogxy22x互为反函数

那么我们就说指数函数与对数函数ylogxgy22x④ 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数ylo图象，发现什么性质？

x⑤ 分析:取y2图象上的几个点，说出它们关于直线yx的对称点的坐标，并判断它们是否2x的图象上，为什么?

在ylog0(x0,y0)⑥ 探究：如果P在函数y2ylog2x的图象上吗,为什么?

x的图象上，那么P0关于直线yx的对称点在函数

例题讲解

例3求下列函数的反函数

xg0.5xy5（1） （2)ylo

2logx6x17)1(例4求函数2的定义域、值域和单调区间

巩固练习:

g2x.

log(x6);

y3lo0.21求下列函数的定义域:

y

2比较下列各题中两个数值的大小:

log3和log3.5；

log4log07；

220.3和1.6l和og1.8；

log3log20.70.72和3．

3 已知下列不等式，比较正数m、n的大小：

log3m＜log3n ；

log0.3m＞log0.3n ；

logam＞logan (a＞1）

log(3x5);ylog4x3.

20.54 探究：求定义域y

-1xyfx的图象过（2，0）点,求fxf()xak5己知函数的图象过点（1，3）其反函数的表达式.

第十四讲 ：幂函数

一、新课引入：

2（1）边长为a的正方形面积Sa，这里S是a的函数;

(2）面积为S的正方形边长aS,这里a是S的函数;

3（3）边长为a的立方体体积Va，这里V是a的函数；

33

12高中数学必修一讲义

1tkm/s,这里v是t的函数;

（4）某人ts内骑车行进了1km,则他骑车的平均速度v(5）购买每本1元的练习本w本，则需支付pw元,这里p是w的函数。

观察上述五个函数，有什么共同特征？

二、讲授新课:

1、幂函数的图象与性质

yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数。

① 给出定义：一般地,形如

123y,y2,xyxx,y1② 练:判断在函数x中，哪几个函数是幂函数？

③ 作出下列函数的图象：（1)

yx；（2）yx12231yxyxyx;(3）;(4）；（5）．

④观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

)上是增函数．特别地，当1时,幂（Ⅱ）0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,1时,幂函数的图象上凸；

函数的图象下凸；当0

)上是减函数．在第（Ⅲ）0时,幂函数的图象在区间(0,一象限半轴，内，当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

2、教学例题：

()x在[0,]上是增函数

例1．证明幂函数fx

)与a例2。 比较大小：(a1

1.51.5；(2a)223与223;1.1与0.9.

1212三、巩固练习：

1、论函数yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

232。 比较下列各题中幂值的大小：2.3与2.4;0.31与0.35；(2)与(3).

343465653232基本初等函数复习

一、复习准备：

1.

提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质。

34

高中数学必修一讲义

2.

11y122x1log(1x)(a0,且a1)

2；ya求下列函数的定义域:y8；x2.73.5log与log0.8log7与log61.01与1.0132673。 比较下列各组中两个值的大小：；；

二、典型例题：

例1：已知log5427＝a

,b表示log81的值

108,54＝3，用ab例2、函数

ylog1x22的定义域为 .

12y()x3x22例3、函数的单调区间为 。

1xf(x)log(a0且a1)a1x例4、已知函数。判断f(x) 的奇偶性并予以证明.

例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式。 如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）?（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）

（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）

三、

巩固练习：

35

高中数学必修一讲义

log(4x5)的定义域为 。，值域为 .

31。函数y

x3x2y22。 函数的单调区间为 .

2

1)axb43.

若点既在函数y2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=______，b=_______

(2,

x2ya1（a0，且a1)的图象必经过点 .

4。 函数

4430.75230.0642160.0155. 计算 。

1301

6。 求下列函数的值域：

111y1y2x2y5 ;

3; ；

y1xx12x

36