高中数学必修一全套教案悉心整理

2023年12月12日发(作者：数学试卷有多难)

教师辅导教案

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

授课日期

主题

年月日时间

集合的概念及运算

知识点一集合及其表示方法

1、集合：能够确切指定的对象集在一起组成的整体叫做集合。

元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

列举法:主要用于集合中元素为可数且较少时使用。2、集合的表示方法描述法：集合中元素可数为不可数或很多时使用。

韦恩图法：主要用于抽象的集合表示和运算。有限集：元素个数有限的集合3、集合的分类无限集：元素个数无限多个的集合

空集：不含有任何元素的集合例题讲解：

4、观察下列实例：

① 小于11的全体非负偶数；②整数12的正因数；

③抛物线yx21图象上所有的点；④所有的直角三角形；

⑤高一（1）班的全体同学；⑥班上的高个子同学；回答下列问题：

⑴ 些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集.

5、用适当的方法表示以下集合：

⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设a,b为非零实数，⑶不等式2x6的解集；⑷坐标轴上的点组成的集合；

aabb可能表示的数的取值集合；

xy5⑸第二象限内的点组成的集合；⑹方程组的解集。

xy1课堂练习：

1、下列给出的对象中，能表示集合的是()

A、一切很大的数B、无限接近零的数

C、聪明的人D、方程x2=2的实数根

2、用适当的方法表示下列集合： (1)平方后仍等于原数的数集

(2)方程x29的解集

(3)使得函数y1有意义的实数x的集合

x2x6xy12x32y的解集该（4）方程组（5）方程4x9y4x12y50的解集

3、方程x25x60的解集可表示为_____________________

222x7x2x11,324、用列举法表示不等式组的整数解集合为____________.

x53x1226、方程(x1)(x2)(x3)0的解集中含有_________个元素。

知识点二集合的符号表示

1集合用大写字母表示，集合中的元素用一个小写字母表示。

2如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：a∈A

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作：aA

3常用数集符号：

非负整数集（或自然数集）N：正整数集N*：整数集Z：有理数集Q：实数集R：空集：

例题讲解：

4用符号与填空：

⑴0N*；3Z；0N；(1)0N*；32Q；⑵

34Q。

32,3；32,3；2,32,3；3,22,3

1R;（２）2Q;（３）3N;（４）3Q.

Ｂ．２个

（

）

Ｃ．３个Ｄ．４个

5给出下列关系：（１）其中正确的个数为

Ａ．１个

6说出下列集合的含义

(1){x0x12,x2k1,kZ}

（2）{(x,y)x2y1,xR,yR}

(3)A{(x,y)yx2},B{yyx2},C{xyx2}

（4）A=｛x|x>3｝,B={y|y>3}

12N，试用列举法表示集合A. 7.已知集合A=xN6x课堂练习： 1.用符号\"\",\"\"填空：

5___Q;5___{xx10};0___N

sin30_____Q;35____R;

2、设A={a},则下列各式正确的是（）

A、0AB、aAC、aAD、a=A

3、给出下列关系：

（１）｛０｝是空集；（２）若aN,则aN;（３）集合AxRx2x10

（４）集合BxQ2

6N。其中正确的个数为

xＢ．２个Ｃ．３个

（

）

Ａ．１个

Ｄ．０个

4、集合{xN|x5}的另一种表示法是（）

A、{0，1，2，3，4}B、{1，2，3，4}

C、{0，1，2，3，4，5}D、{1，2，3，4，5}

5、由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）

A、{x|-3

C、{x|-3

6、设集合A={(x,y)|x+y=6,xN,yN}，使用列举法表示集合A。

知识点三集合元素的性质

1.元素的确定性集合中的没一个元素都是确定的，不能出现模棱两可的元素。

2.元素的互异性集合中的任何两个元素不能相同。

3元素的无序性集合中的元素没有先后之分。

例题讲解：

5.含两个元素的数集a,a2a中，实数a满足的条件是。

1,b.AB,求a,b 6．已知Aa,a2,B7、已知集合A={kx28x160}只有一个元素，

试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

8、已知集合A{2,x,x2x}，若6A，则实数x取值集合为_____

课堂练习：

1高个子的同学2附近的数等等不能构成集合。

22.求集合a,中实数a的取值范围。

a13.下列表示同一集合的是（）

A．M（2，1），（3，2）N（1，2），（2，3）

B．M1，2N2，1

C．My|yx21，xRNy|yx21，xN D．M（|yx21，xRNy|yx21，xN

x，y）4．已知集合Ax|x2bx10

⑴若A中只有一个元素，求b及A；⑵若A,求b的取值范围。

5.已知集合Ax|ax2-3x-4=0，xR，若A中有两个元素，求实数a的取值范围，

6.已知集合Aa2,a1,a23a3，若1A，求实数a的值

2学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

授课日期

主题

知识点四集合的子集

1、子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。也说集合A是集合B的子集。

即：若“xAxB”则AB。

子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集；（2）空集是任何集合的子集；

（3）若AB，BC，则AC

集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说A=B。

即：若AB，同时BA，那么AB。

例题讲解：

2．写出N，Z，Q，R的包含关系，并用韦恩图表示

年月日时间

3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C.则集合A的个数是________．

4.设集合Axx10,Bxx2ax20，若AB，求a的值.

5.已知集合Axx1或x4，Bx2axa3，若BA，求实数a的取值范围.

6.已知集合A={－3，4}，B={x|x－2px＋q=0}，B≠φ，且BA，求实数p，q的值．

课堂练习：

21.填空：Φ___{0}，0Φ，0{（0，1）}，

（1，2）{1，2，3}，{1，2}{1，2，3}

2．已知集合A＝{1,2，x}，B＝{1,2，x2}且A＝B，求实数x的值．

3．已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}且AB，求实数m的取值范围．

知识点五真子集

1、真子集：对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集。

性质：（1）空集是任何集合的真子集；（2）若AB，BC，AC。 2、易混符号：

①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

例题讲解：

3、子集的个数：

（1）空集的所有子集的个数是个（2）集合{a}的所有子集的个数是个

（3）集合{a,b}的所有子集的个数是个（4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是个

猜想：(1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(2)a1,a2,an的所有子集的个数是多少？

结论：含n个元素的集合a1,a2,an的所有子集的个数是，

所有真子集的个数是，非空子集数为，非空真子集数为。

4.已知集合Axxkk,kZ，Bxx,kZ,则（）

36

C.ABD.A与B关系不确定

5.已知集合Axx1或x5,Bxaxa4，若BA，则实数a的取值范围是____________

6、已知Axxx60,Bxax10，B课堂练习：

1.判断下列写法是否正确：ΦA②ΦA③AA④AA

2A，求a的值.

2、集合A{x|0x3且xN}的真子集个数是（）

（A）16（B）8（C）7（D）4

3.已知集合Ax1x2,Bx0x1A.ABB.AB

4．写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的所有集合A.

5.已知集Ax1x2,BxxaA.a2B.a1

C.a1D.a2

，则（）

，满足AB，则（）

6.已知集合Pxx21，集合Qx7.已知a,xR,A2,4,x5x9ax1}，若QP,a=_____

Cx2(a1)x3,1.求:(1).使2B,B知识点五集合的全集补集

2，B3,x2axa，

A的a,x的值;(2).使BC的a,x的值.

1、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。

2、补集：设S是一个集合，A是S的子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，

叫做S中子集A的补集。即：CSA{x│x∈S,x不属于A}

性质：CsCSAA；CSS；CSS。

例题讲解: 3.若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求CSA。

4、已知全集U＝R，集合Ax12x19，求CUA

5、已知全集Ux1x9，Ax1xa，若A，则a的取值范围是（）

Aa9，Ba9，Ca9，D1a9

（A）M=CUP，（B）M=P，（C）MP，（D）MP.

6、设全集UU，已知集合M,N,P满足M=CUN，N=CUP，则M与P的关系是（）

7．已知全集S1,2,3,4,5,6，是否存在实数a、b，MxSxaxb0,使得CSM1,4,5,6.

2课堂练习：

1、已知全集U，A是U的子集，是空集，B＝CUA，则CU=，CUU=CUB=。

2、已知：Sx1x28，Ax21x1，Bx52x111，讨论A与CSB的关系

3、已知U2,4,1a，A2,a2a2，如果CUA＝｛－1｝，那么a的值为。

4、集合Ｕ=｛（x，y）|x∈｛1,2｝,y∈｛1,2｝｝,

Ａ=｛（x，y）|x∈N*,y∈N*,x+y=3｝，求CUA.

5.设全集Sx|x23x20,Ax|x2pxq0,若CSA,求p、q.

作业2

1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( )

A．5B．6 C．7D．8

2．在下列各式中错误的个数是( )

①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}{0,1,2}；

④{0,1,2}＝{2,0,1}

A．1B．2C．3D．4

3．下列说法：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若??A，则A≠?.其中正确的有( )

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.

5.设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱x<4｝，则（）

（A）pQ（B）QP（C）p6．已知M2yyx2CQ（D）QCP

4,xR，Px2x4则M与P的关系是（）

RR A．M=PB．MPC．M∩P=D．MP 7．设UR,AxR|1

8．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x

9．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N?M，求实数a的值．

10.集合Ax|x23x20,Bx|x22xa10,BA,求a的范围。

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

授课日期

主题

年月日时间



集合的交集与并集

（一）教学目标：

教学重点：交集与并集，全集与补集的概念.

教学难点:理解交集与并集的概念，符号之间的区别与联系；会求给定子集的补集，

用文氏图表达集合的关系及运算；．

（二）探究新知

⒈并集⑴一般地，由所有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿组成的集合，

称为集合A与B的并集，记作＿＿＿＿，读作＿＿＿＿，

即____________________________________．Venn图：

⑵根据并集的定义，试确定下列集合间的关系：

AB

BA；A

AB，B

AB．

AA

A，A

A．

⒉交集⑴一般地，由＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作＿＿＿＿，读作＿＿＿，

即____________________________________．Venn图：

⑵根据交集的定义，试确定下列集合间的关系：

AB

BA；AB

A，AB

B．

AA

A，AA．

3.全集：一般地，如果一个集合＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作＿＿＿＿．

4．补集：对于一个集合A，由全集U中＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿所有元素组成的集合，称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作＿＿＿＿，

Venn图：

⑵试用Venn图表示下列集合（用阴影）：

①A(CUB)②(CUA)B

A U

A B

③U

A B

(CUA)(CUB)④(CUA)(CUB)

⑶请根据补集的定①A

义填空：

A(CUA)= ；②A(CUA)= ；

③CU(CUA)= ；

④(CUA)(CUB)= ；⑤(CUA)(CUB) ．

说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念

（三）理解运用新知

例题讲解：

例1设A={x|x是小于9的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，求A(BC)，A(BC)．

例2设A{(x,y)|4xy6}，B{(x,y)|3x2y7}，则A∩B=

例3已知集合Ax|3x7，Bx|2x10．

求CR(AB)，CR(AB)，(CRA)B，A(CRB)

例4、已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足(CIA)AB{2}.求集合A、B

(CIB){1,9}，(CIA)B{4,6,8}，例5集合Axx2ax10,xR,B1,2,且ABA，求实数a的取值范围。

课堂练习：

1.设AxZx5,BxZx1,那么AA．{1,2,3,4,5}

B等于（）.

D．x1x5 B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}

2.已知集合U={x|x0}，CUA{x|0x2}，那么集合A（）.

A.{x|x0或x2}B.{x|x0或x2}

C.{x|x2}D.{x|x2}

3.设A0,1,2,3,4,5,B{1,3,6,9},C{3,7,8}，则(AB)C等于（）.

A.{0,1,2,6} B.{3,7,8,}C.{1,3,7,8} D.{1,3,6,7,8}

1x2},B{xx21},则AB（）

21A．{x1x2}B．{x|x1}

2C．{x|x2}D．{x|1x2}

4.设集合A{x| 5.设U为全集，下列说法中不正确的是

A.若A B.若A C.若A D.若A(UB)U

B，则(痧UA)B，则A或B

(UB)

BU，则(痧UA)B，则AB

26.若集合A{x||x|2,xZ}，B{y|yx,xA}，则AB

B{2}，B{1,9}A7.设集合S{小于10的正整数}，AS，BS，（CsA）(CSA)(CSB){4,6,8}则A_________，B__________

8.若关于x的方程x2+px－2=0的解集为A，方程x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={2}，求A作业：1、设Axx2，Bxx3，求AB=。

2、设AB.

x,yy4x6，Bx,yy5x3，求AB=。

3、设A4,5,6,8B3,5,7,8，求AB=；AB=。

4、设集合A4,2m1,m2，B9,m5,1m，又AB={9},

求实数m的值.

yx2x2,xR,Nyyx2x,xR,则MN= 5．已知My26、已知集合Ayyx4x5,Bxy5x，求A∩B,A∪B．

227已知Ax2x4,Bxxa，

(1)当AB时，求实数a的取值范围；(2)当ABB时，求实数a的取值范围．

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

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主题

年月日时间

不等式的基本性质

学习目标：1.理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;

2.掌握比较两个实数大小的一般步骤

知识点一：实数的运算性质与大小顺序的关系

数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知：

结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

例题讲解：

例1若xy0，试比较x2y2xy与x2y2xy的大小；

abba例2设a0，b0，且ab且a,b为正整数，试比较ab与ab的大小.

课堂练习： 1比较（a+1）2与a2-a+1的值的大小

知识点二：不等式的基本性质

⑴对称性：ab；

⑵传递性：ab,bc；

⑶同加性：ab；

推论：同加性：ab,cd；

⑷同乘性：ab,c0，ab,c0；

推论1：同乘性：ab0,cd0；

推论2：乘方性：ab0,nN；

推论3：开方性：ab0,nN；

推论4：可倒性：ab0.

例题讲解：

例1若a0ba，cd0，则下列命题中能成立的个数是()

1adbc；2ab0；3acbd；4adcbdc

dcA.1B.2C.3D.4.

例2若yax2c满足4≤y|x1≤1，1≤y|x2≤5，求y|x3的取值范围.

例4已知ab0,cd0，求证：ab

dc课堂练习1：

xyx2y25.设x0,y0且xy，比较22与的大小

yxyx作业：

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

授课日期

主题

年月日时间

不等式及其解法

知识点一区间的概念

研究函数常用到区间的概念。设a、b是两个实数，且a

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）;

（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b），（a,b]。

实数a、b都叫做相应区间的端点，在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，实心和空心据有无等号确定。实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≧a,x≦b,x

例题讲解

1、把下列数集转化为区间（1）{x|1x2}（2）{x|x2}（3）x|x9

课堂练习

1、把下列数集转化为区间（4）{x|x3}（2）{x|0x10}（3）{x|1x5}

知识点二一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式

(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：

①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).

2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表

判别式b24ac

二次函数yaxbxc

（a0）的图象

3、解一元二次不等式步骤：

1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）

2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）

3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向）

例1：

1、x25x602、x25x603、x27x120

4、3x216x1205、3x237x1206、2x215x70

7、2x26x508、x24x509、6x2x2010、(x2)(x3)6

2例2：不等式mxmx20的解集为R，则实数m的取值范围为；

例3：．若不等式ax211bx20的解集x|x则ab值是()

23知识点三：不等式的解法----穿针引线法

我们先研究不等式(x-1)(x+4)＜0.与(x-1)(x+2)(x-3)＞0的解法

解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.

②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：

x+4

x-1

(x-1)(x+4)

所以不等式的解集为：

同理：

列表如下：

x+2

x-1

x-3

各因式积

（-∞，-2）（-2，1）（1，3）（3，+∞）

（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）

所以不等式的解集为：

方法:先因式分解,再使用穿根法.

注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

步骤:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).

③数轴上方曲线对应区域使“>”成立,下方曲线对应区域使“<”成立.

例题讲解：

例2：(x+4)(x+5)2(2-x)3<0

课堂练习：

1、不等式(x1)(12x)0的解集是；

2．不等式6x25x4的解集为____________.

3、不等式3x2x10的解集是；

4、不等式x22x10的解集是；

5、不等式4xx25的解集是；

9、已知集合M{x|x4}，N{x|x2x30}，则集合M10、不等式(2x1)9的解集为__________.

12、不等式0＜x2+x-2≤4的解集是___________.

13、若不等式(a2)x2(a2)x40对一切xR恒成立,则a的取值范围是______________

14（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0.

知识点四：分式不等式

222N=；

2x23x2x30例1≤1＜02x2x3x7

课堂练习：

课堂小结

1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义. 2.求解一般的高次不等式的解法.

特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解。

注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；

②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“.”）.

3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为f(x)g(x)＞0,f(x)f(x)＞0(或＜0的形式，转化为，g(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x)＜0,（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.g(x)0知识点五：绝对值不等式

1、含绝对值的不等式的解法：

（1）当a0时，xa，xa。

（2）当c0时，axbc，axbc。

2、去绝对值的三种方法：

（1）定义法：

（2）分类法：

（3）平方法：

例题讲解：

例1：解下列不等式：

(1)3x17(2)2x11

(3)x1x24(4)x3x40

课堂练习：

（1）4x3110(2)23x（3）2x13x25

知识点六、不等式中的分类讨论问题

分析引起分类讨论的三种原因

例1：x22ax3a20

从本题中你能得到什么结论：

例2：ax221

2(a1)x10

从本题中你能得到什么结论：

例3：x2ax10

从本题中你能得到什么结论

课堂练习：

1、解关于x的不等式

（1）x(1a)xa0

2（2）x25ax6a20(a0)

（3）x2(2m1)xm2m＜0

（4）ax22(a1)x40(aR).

作业：

一.选择题: 1.已知集合M{x|x24},N{x|x22x30},则集合MN等于()

A.{x|x2}B.{x|x3}C.{x|1x2}D.{x|2x3}

2、不等式x2ax12a20a0的解集是（）

A．3a,4aB．4a,3aC．3,4D．2a,6a

113、不等式ax2bx20的解集是xx，则ab（）

23A．14 B．14C．10D．10

4、不等式x12x0的解集是（）

A．x1x2B．xx1或x2C．x1x2D．xx1或x2

15、若0a1，则不等式axx0的解是（）

aA．ax1111B.xaC．xa或xD．x或xa

aaaa二.填空题:

6、不等式x22x30的解集是___________________________．

7、不等式x25x60的解集是______________________________．

8、不等式xx30的解集为____________________．

三.解答题:

9、求下列不等式的解集：

⑴x4x10；⑵3x2x2；⑶4x24x10．

（4）x19x98100

10、已知集合xx290，xx24x30，求，

11已知对于任意实数x，kx22xk恒为正数，求实数k的取值范围．

12.解关于x的不等式:x2(aa2)xa30

教师辅导教案

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

授课日期

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年月日

时间

基本不等式（第一讲）【学习目标】

１．能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；

２．能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的应用；

3．通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识．

【学习重点】

基本不等式的证明与应用．

【学习过程】

一、学习准备

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

二、学习探究

1．命题的探究

观察右图思考：

（1）．上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？

（2）．假设直角三角形直角边分别为a、b则外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为：__________；

（3）．假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时，图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=__________;4个直角三角形面积之和=__________；外正方形面积=__________；四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：__________；

（4）．综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：__________

（5）．如果a>0且b>0用a和b代替不等式中的a、b上不等式可变形为__________；

ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，因而，此不2等式又可叙述为：______________________________．

我们称●归纳概括

由上面的探究，一般的，当a>0且b>0时有不等式：__________________，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）．

2．命题的证明

x2y2xy,当且仅当________时，等号成立． x，y∈R，(x－y)022x2y2令 x=a,y=b, 所以

xy________________,当且仅当________时，2等号成立．

[评析]证明一是从一个已知成立的不等式x，y∈R，(x－y)20出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？

想一想：a2b22ab与课堂练习：

1.正数a=1，b=9则a、b的算术平均数__________；几何平均数_________；大小如何？

2.正数a=6，b=6则a、b的算术平均数__________；几何平均数_________；大小如何？

3.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件．

22ab（1）ab()（2）（）

abab适用的范围，a,b有什么不同？______________

22ba（3）（）（4）ab≤（）

ab（5）x11（）(x<0)（6）x（）(x>0)

xx3.基本不等式的拓展

例1：已知a0,b0,且ab2，则那么下列结论正确的是（）

Aab11BabCa2b22Da2b22

224．均值不等式的应用

例1、用填空：

若___2;若yx≥2

xy___2.

例2、（1）x,y都是正数，求证：（2）设a,b,c都是正数，求证：课堂练习：

bccaab6

abc5、a,b,cR,求证：a2+b2+c2abbcca 6.已知a,b,c为两两不等的正数，求证：abcabbcca

基本不等式的应用（第二讲）

【学习目标】

1、能运用基本不等式求某些函数的最值；

2、在求最值的过程中，能认清“一正、二定、三相等”的含义和必要性；

3、能通过公式及变形的应用，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养创新精神.

【学习重点】

运用基本不等式求某些函数的最值.

【学习过程】

一、学习准备

我们已经研究了基本不等式，你能梳理出有关的知识吗？

（1）对于任意的实数a，b，我们都有a2b22ab，等号当且仅当时取得“=”；

（2）若a0，b0，有ab2ab，等号当且仅当时取得“=”；

（3）上述不等式常写为，等号当且仅当时取得；该不等式称为，它表明两个正数的平均数不大于它们的平均数．

二、学习探究

1．最值定理

定理：已知x，y都是正数，则

（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；

（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值．

2.最值定理的应用

例1．(1)若x0，求f(x)4x25的最小值．

x25（2）若x3，求y4x的最小值．

x3x27x10(x1)的y的范围。例2.（1）求yx1 （2）求函数yx25x42的值域。

例3．（1）若x>0,y>0,且解法1：

解法2：

281,求xy的最小值.

xy（2）已知x0,y0，满足x2y1，求解法1：

11的最小值．

xy解法2：

例4.已知a,bR，且3a2b2，求ab的最大值及取最值时a和b的值

解法1：

解法2：

例5.当0x4时，求yx(82x)的最大值及取最值时x的值。

解法1：

解法2：

例6:已知x0，y0，且x2yxy30，求xy的最大值．

课堂练习：

1.已知y＝x＋－2(x＜0)，则y有( )

A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4

2.已知x、y∈R+,且满足xy1，则xy的最大值为。

343.下列命题正确的是（）

x231①函数yx的最小值是2；②函数y的最小值是2；

2xx2③函数y23x412的最小值是2。

x0的最小值是243；④函数yx2x2x4.已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为 5.已知xy10，则52的最小值是

xy6.已知x5，求函数y4x21的最大值。

44x57设0x3，求函数y4x(32x)的最大值。

2918（1）若x>0,y>0,且1,求x+3y的最小值．

xy31（2）若x>0,y>0,且3,求3x+y的最小值．

xy9已知x,yR，且2x8yxy0，（1）求xy的最小值；（2）求xy的最小值

3.利用均值不等式解决综合问题

1．已知a、b、c都是正实数，且abc1，

求证：1119．

abc2．（2013年高考山东卷（文））设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当z取得最大值时,xy（）

x2yz的最大值为

A．0 B．9

8C．2 D．9

43．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8

课堂练习：

a2a1对一切正实数x成立,则a的取值范围1．2013年上海高考数学试题（文科）设常数a0,若9xx为________.

2．已知a、b、c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc．

课后作业：

1．已知a0，b0，则A．2

112ab的最小值是( )

abD．5 B．2 C．4

2．若0ab，则下列不等式一定成立的是( )

ababB．bababb

a

22ababC．baba D．baab

22ab3．设a、b是实数，且ab3，则22的最小值是( )

A．aA．6 B．4 C．2 D．8 4．设0ab，且ab1，则此四个数A．b B．a2b2

1，2ab，a2b2，b中最大的是( )

21C．2ab D.

25．设a0，b0，给出下列不等式：

①a21a；②(a1111)(b)4；③(ab)()4；④a296a.

abab其中恒成立的是________．(填序号)

6.已知点P(x,y)在直线2xy40上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点P的坐标。

x2x4(x1)的最小值及相应的x的值。

7.求函数yx18.若281,且x,y均为正数，则xy有（）

xy11C最小值D最小值64

642A最大值64B最小值bccaababc.

abc10．已知a0，b0，ab1，求证：

11111(1)8；(2)(1)(1)9.

ababab9．设a、b、c都是正数，求证：11．已知a<0，b<0，c<0，且a＋b＋c＝－1，求＋＋的最大值．

12、设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值。

三、学习反思

1．利用基本不等式求最大、最小值的基本步骤是什么？

2．你能真正领会“一正、二定、三相等”的含义了吗？

3．通过本课的学习，你掌握了哪些解题的方法？

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

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第二章函数

函数的概念（1）【学习目标】

1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

2.掌握构成函数的三要素；

3.熟练掌握基础初等函数的三要素；

4.理解分段函数；

5.掌握判断两个函数是否相同的方法。

【学习重点】

函数的三要素的求法。

【学习过程】

一、学习准备

复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、学习探究

探究任务一：函数模型思想及函数概念

问题：研究下面三个实例：

A.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度（米）与时间t（秒）的变化规律是h130t5t2.

B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是极上空臭氧层空洞面积的变化情况.

C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.

年份

恩格尔系数%

h南1991 1992 1993 1994 1995

53.8 52.9 50.1 49.9 49.9

…

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:AB.

新知：函数定义.

1、一般地，设A、B是______________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_______一个数x，在集合B中都有_______________和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。其中x叫做自变量，

x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fx|xA叫做函数的值域。

2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则，三者缺一不可；

3、f表示对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样；

4、f(x)是一个函数符号，绝对不能理解为f与x的乘积；

5、在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示。

6、根据函数的概念，对于定义域中的每一个x，都有唯一确定的y与之对应，即只会出现一对一或者多对一两种情况，一对多不属于函数。

7、自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。

如、函数f(x)=x+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。

8、f(a)与f(x)的区别：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

例题讲解

2a(a0)，f2(x)axb,f3(x)ax3bxc(a0)，填写上表

x12、已知函数,

f(x)x3x22f(3),f()3的值;(3)当a>0时，求，f(a),f(a1)的值。 (1)求函数的定义域;(2)求1、设f1(x)3、在下列从集合A到集合B的对应关系中，不可以确定y是x的函数的是（）

（1）AZ,BZ，对应关系f:xyx3

2（2）Ax|x0,BR，对应关系f:xy3x

22f:xy:xy25

AR,BR（3），对应关系2f:xyxAR,BR（4），对应关系 4、下图中，可表示函数yfx的图像只能是（）

课堂练习：

（1）判断下列对应是否为函数。

1；

x2b) A=N,B=R,f:x→y=±x

a) A=R,B=R.f:x→y=c) A=N,B=N+,f:x→y=|x-2|；

d) A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4.

（2）已知f(x)x22x3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(1)的值.

（3）函数yx22x3,x{1,0,1,2}值域是.

（4）求下列函数的定义域。

（1）；(2)；(3)1

x2注意：求函数的定义域与值域问题，结果一般要表示为集合或者区间的形式。

(5)、已知函数fx=3x3+2x，

求（1）f2，f2，f2+f2。

（2）fa，fa，fa+fa。

f(x)f(x)3x2f(x)x112x函数的概念（2）

【学习目标】

1.掌握判别两个函数是否相同的方法。

2.掌握分段函数问题的求解。

3.掌握常见的求解析式的方法。

【学习重点】

定义域和值域的求解，分段函数，求解析式

【学习过程】

学习探究：

（1）函数相同的判别

x3讨论：函数y=x、y=(x)、y=2、y=4x4、y=x2有何关系？

x试试：判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由？

2①f(x)=(x1)0；g(x)=1.

②f(x)=x；g(x)=x2.

③f(x)=x2；g(x)=(x1)2.

④f(x)=|x|；g(x)=x2.

小结：

①如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

（2）函数的表示法：

列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数的方法叫做列表法。当自变量的取值很多或无限多个时，无法用列表法来表示。

课堂练习

某种笔记本的单价是5元/个，买x（x｛1，2，3，4，｝）个笔记本需要y元，试表示函数y=fx

图像法：以自变量为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=fx的图像，这种用“图形”表示函数的方法叫做图像法。图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况。

课堂练习

2x2用图像法表示函数：（1）fx=x(2)fx=2x＋1,x∈Z且

解析法（公式法）：用对应关系来表达函数y=fx，这种表达函数的方法叫解析法。函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质。

（3）分段函数：

x1、画出函数fx=的图像，并求其最值。

1,x0,0,x0.的图像。

fx2、画出函数=分段函数的概念：在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同（有不同的解析式），这样的函数称之为分段函数。

注意点：分段函数虽然由几部分构成，但是他代表的是一个函数。求分段函数的问题是，要注意自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式。做分段函数的图像时，先不管定义域的限制，用虚线做出其图像，再用实线保留其定义域内的一段即可。

例题讲解：

1、已知函数fx=x4,x02x2x,0x4x2,x4，求（1）fff(5)的值。（2）画出函数的图像。

x1x12、已知函数fx=，画出fx的图像，并求其最值。

课堂练习：

1、已知函数fx=1,x1x1x1,x1，则求f2的取值。

x2,x01,x01,x0fx2、已知函数=x，（1）画出函数的图像（2）求f1，f1，f[f(1)]的值。

xx23、已知函数fx=，画出fx的图像，并求其最值。

（4）求函数的解析式

换元法：已知f[g(x)],求fx的解析式，一般的可用换元法，具体为：令tg(x),在求出fx可得fx的解析式。

注意：换元后要确定新元t的取值范围。通常将新元的范围标与换元处。

例题讲解：

1．已知函数f3x1=4x+3,求函数fx的解析式.

2.已知函数f课堂练习：

x1=x+2x，求函数fx的解析式

1xf()x1x,求函数f(x)的解析式. 1．若函数2、已知函数f2x13x2，求f(x)的解析式。若fa=4，求a的值。

配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。一般的利用完全平方公式。

例题讲解：

11f(x)x22xx,求f(x)的解析式. 1、已知函数2．若f(x1)x2x,求f(x)的解析式.

课堂练习：

2f(x1)x2x，两种方法求f(x)的解析式。 1、已知函数待定系数法已知函数类型（如：一次函数，二次函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数。

例题讲解：

1、若fff(x)=27x+26，求一次函数f(x)的解析式。

课堂练习：

1、已知f(x)是一次函数，f[f(x)]=x，求f(x)的解析式。

解方程组法（参数法）求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，

利用消元法求f（x）的解析式。

1f()x；第二种为题目中出现f(x)与f(x)。最典型的有两种形式，第一种为题目中出现f(x)与例题讲解： 13f(x)2f()4xx1．设函数f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式,求f(x)的解析式.

1f()x=3x，则f(2)的值为(). 2.若f(x)满足函数关系式f(x)+223A.1B.-1 C.3D.2

课堂练习：

1.若f(x)+2f(x)=3x，求f(x)的解析式。

作业：

1.已知函数g(t)2t21，则g(1)（）.

A.－1B.0C.1D.2

2.已知函数f(x)2x3，若f(a)1，则a=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

3.如下图可作为函数yf(x)的图象的是（）.

A.B.C.D.

4.函数y|x1|的图象是（）.

A.B.C.D.

x2, (x≤1)5.设f(x)x2, (1x2)，若f(x)3，则x=（）

2x, (x≥2)3D.3

26.如下图可作为函数yf(x)的图象的是（）.

A.B.C.D.

7下列各组函数f(x)与g(x)的图象相同的是（）

A.1B.3C.x(x0)A.f(x)x,g(x)(x)2B.f(x)x2,g(x)(x1)2C.f(x)1,g(x)x0D.f(x)|x|,g(x)

(x0)x8.函数yx2,x{2,1,0,1,2}的值域是.

29.函数y的定义域是，值域是.（用区间表示）

x10若f(x1)x21，则f(x)=.

111.求函数y的定义域与值域.

x112.已知函数f(x)3x25x2，求f(3)、f(2)、f(a1)的值.

13.一次函数f(x)满足f[f(x)]14x，求f(x).

2x3,x(,0)14.已知f(x)2，求f(0)、f[f(1)]的值.

2x1,x[0,)15.根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式.

111（1）f(x)x22；（2）f(x)2f()3x.（3）f(x)2f(x)3x

xxx216.已知二次函数f(x)=ax+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解析式. 学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

年授课日期月日

主题

时间

函数的概念（3）

【学习目标】

1.掌握已知解析式的函数的定义域的求法；

2.掌握抽象函数定义域的求法；

3.掌握常见函数的值域的求法；

【学习重点】

抽象函数的定义域的求法以及函数值域的求法。

一、求函数的定义域

具体函数的定义域

函数解析式

1、整式

2、分式

3、偶次根式

4、奇次根式

7、y=x0

例题讲解：

1．求函数：f(x)2已知f(x)=定义域

x5x62(x1)0xx的定义域．

1，则函数f(f(x))的定义域是

x12x的定义域是R,求a的范围.

ax(a1)x123．已知函数y课堂练习：

1．函数f(x)3xx2的定义域为

3xx22．求y的定义域：

x113函数ykx26xk8的定义域为R，则k的取值范围是

x4的定义域为R，则实数m的取值范围是（）

mx24mx3333A.（,)B.（0,)C.（，)D.。0,

4444.若函数f(x)＝抽象函数的定义域

抽象函数，是指没有给出具体解析式的函数。抽象函数的定义域，有以下三种类型：

（1）已知若域。

例题讲解：

1：已知yf(x)的定义域为[0,2],求下列函数的定义域。

2f(x)3)f(2x1)4)f(2x1)

f(x1)1)2)的定义域，求的定义域为，则的定义域。

中，从中解得的取值范围即为的定义课堂练习：

1x1)的定义域是________。

2f(2x)g(x)x1的定义域是 2．若函数yf(x)的定义域是[0,2]，则函数A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)(1,4]D．(0,1)

1、已知函数f(x)的定义域为（0，1），则函数f(（2）已知的范围即为例题讲解：

1、已知函数课堂练习

1、已知函数f(2x4)的定义域为（0，1），则函数f(x)的定义域是

2、已知f(x1)的定义域为[-1,1],求函数f(x)的定义域。

（3）、已知可先由例题讲解

1、.函数定义域是，则的定义域是（）

的定义域，求定义域求得的定义域。

的定义域求得的定义域。

的定义域，求的定义域。

的定义域。若的定义域为，则由确定的定义域为，则的定义域为

的定义域，再由A.B.C.D.

2、已知f(1x)定义域为[0，1]，求f(3x)的定义域

课堂练习

1、函数f(2x1)的定义域为[1,3]，求函数f(x1)的定义域.

11yf(x)f(x)44的定义域。 2.若函数yf(x)的定义域为[1，1]，求函数二、求函数的值域

值域，是指所有因变量y的取值的组成的集合。其求解方法是考试中的重点和热点，可以综合考察学生的各种知识和能力。求函数值域常用的方法有以下几种。

注意点：求函数值域，一定要注意函数的定义域，一般情况下，求值域问题，首先要求出其定义域。

直接法（观察法）：从自变量x的范围出发，直接推出yf(x)的取值范围。对于基本初等函数，即一次函数，二次函数和反比例函数我们都可以用直接法写出其值域。

例题讲解：

1、求下列函数的值域。

(1)f(x)x1(2)f(x)11x21,2,3,4,5(3)f(x)2x1,x

课堂练习：

2、求下列函数的值域。

（1）f(x)3x（2）f(x)2（3）f(x)4x2

x2配方法：配方法式求“二次型函数”值域的基本方法。形如F(x)af(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。配方法常常和二次函数的图像结合使用。

例题讲解：

1、求函数yx4x2（x[1,1]）的值域。

2、求函数f(x)x2x3的值域。

254xx2的值域。

84、求函数f(x)2的值域。

x4x53、求函数f(x)课堂练习：

1、求函数f(x)x6x7,x[1,4)的值域。

2、求函数f(x)124xx2的值域。

分离常数法：分子、分母的次数相同时（一般为一次），可考虑采用分离常数法。即用通分的逆运算拆分函数解析式。

例题讲解：

1、求下列函数的值域。

21x21x（1）y（2）f(x)

1x22x5课堂练习：

2x1的值域是（）

x3x22、求函数f(x)2的值域。

x11、函数f(x)换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且a0）的函数常用此法求解。

注意：换元时要注意元的范围。元得范围通常标记与换元处。

例题讲解：

1、求函数y2x12x的值域。

2、求函数f(x)5x3x1的值域。

课堂练习：

3、求函数f(x)x2x1的值域。

判别式法：把函数转化成关于x的二次方程；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形a1x2b1xc1如y（a1、a2不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

2a2xb2xc2 注意：只有当函数的定义域为全体实数时，才可以用判别式法求函数值域，否则求出的值域后，要根据函数的定义域进行检验，出去没有定义的部分。

例题讲解：

x2x31、求函数y2的值域。

xx1课堂练习:

2、求函数f(x)8的值域。

x24x5数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。在二次函数值域问题中，我们常常采用此法；此外，在有关分段函数问题中，数形结合也是常用的方法。

例题讲解

1、求函数y|x3||x5|的值域。

作业：

一．选择题：（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

x12(x1)11．设f(x)，则ff等于

121x2(x1)14925ABCD

2135412.已知f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5，2f(0)f(1)1，则f(x)的解析式为

A3x2B3x2C2x3D2x3

13．已知函数f(x)(xx),F(x)ffx，则F(x)的解析式是

2AxB0 Cf(x)D—f(x)

24.一个面积为100cm的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为

10050Ay50x(x0)By100x(x0)Cy(x0)Dy(x0)

xx125. 设f(x)2xa，g(x)(x21)，且g[f(x)]xx1，则a的值

4A.1B.-1C.1或-1D不存在

二．填空题

6.若函数f(x)对于一切x0的实数都有f(x)2f(x)3x，

则f(x)=

7.已知a,b为常数，若f(x)x4x3，f(axb)x10x24，则5ab

221x218.若g(x)12x，f[g(x)]，则f()的值是

x22三．解答题

1.求下列函数的定义域

⑴yx22x15

x33⑵y1(⑶y11x12)

x1(2x1)04x2

1x1 （4）已知yf(x)的定义域为(0,1)求函数f(2x1)和f(x1)的定义域。

2、求下列函数的值域

(1)yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2]

3x13x1⑶y⑷y(x5)

x1x1⑺yx3x1⑻yx2x

（9）、求函数f(x)111的值域。

x2x9.求解析式：

（1）已知二次函数f(x)满足f(0)0且f(x1)f(x)x1，g(x)2f(x)x，求f(x)的表达式和f(g(x))的表达式.

（2）已知3f(x)f(x)5x，求f(x)的解析式。

(3)二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1

求f(x)的解析式

yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，试确定实数m的范围。

210．已知函数f(x)＝x＋4ax＋2a＋6.

(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．

211．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝

求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

年授课日期月日

主题

时间

单调性与最大（小）值（1）

【学习目标】

1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2.能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；

3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【学习过程】

一、课前准备

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数f(x)x2、f(x)x2的图象. 二、新课导学

探究任务：单调性相关概念

思考：根据f(x)x2、f(x)x2(x0)的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x1>x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

注意点：（1）函数的单调性也叫函数的增减性。

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

（3）对于闭区间上的图像连续的函数来说，只要在开区间上单调它在闭区间上也就单调。因此，在考虑它的单调区间时，端点是否包括均可。

（4）对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。

（5）有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间。

（6）注意区间上所取两点x1、x2的任意性。

（7）两个单调区间只能不能采用并集来连接。

反思：

①图象如何表示单调增、单调减？

②所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③函数f(x)x2的单调递增区间是，单调递减区间是.

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

典型例题:

例1巩固判断题：

1f(x),因为f(1)f(2),所以函数f(x)是增函数。x2、若函数

f(x)在区间1，2和2，3上均为增函数，则f(x)在1，3上为增函数。1f(x)3、因为函数在区间上都是减函数，所以

(0,)(,0)和x1f(x)

(,0)(0,)在上是减函数。x1、已知

例2根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

1（1）f(x)3x2；（2）f(x).

xk变式：指出ykxb、y(k0)的单调性.

x2f(x)axbxc(a0)在R上的单调性。变式：指出函数小结：

证明单调性的方法：

①比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；

②证明函数单调性的步骤：

第一步：设x1、x2∈给定区间，且x1

第二步：计算f(x1)－f(x2)至最简；

第三步：判断差的符号；

第四步：下结论.

注意点：题目中要求证明函数的单调性时，必须采用单调性的定义来完成。

f(x)x例3：求函数变式：函数f(x)x1x的单调区间。

a(a0)的增区间有[a,)、(,a]，减区间有(0,a]、[a,0).

x判断函数单调性的方法：

（1）利用基本初等函数的单调性。

（2）利用函数的图像。

（3）利用单调性的定义。

（4）利用一些常用结论：

增+增=增；增-减=增；减+减=减；减-增=减。增+减=不能判定；减-减=不能判定。

（5）利用复合函数单调性判断方法：同增异减。

注意点：证明和判定函数的单调性时，一定要注意其定义域。在题目没有给出时，要先求取函数的定义域。

3f(x)xx的单调性并证明。例1：判断函数课堂练习：

f(x)x1、求函数课堂练习：

1.函数f(x)x22x的单调增区间是（）

A.(,1]B.[1,).不存在

2.如果函数f(x)kxb在R上单调递减，则（）

A.k0B.k0C.b0D.b0

3.在区间(,0)上为增函数的是（）

2A．y2x B．yC．y|x| D．yx2

x14.函数y的单调性是.

x5.函数f(x)|x2|的单调递增区间是，单调递减区间是.

16讨论f(x)的单调性并证明.

x11x的单调区间。

单调性与最大（小）值（2）

【学习目标】

1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.熟练应用单调性的性质解决实际问题。

【学习过程】

一、课前准备

复习1：指出函数f(x)ax2bxc(a0)的单调区间及单调性，并进行证明.

复习2：函数f(x)ax2bxc(a0)的最小值为，f(x)ax2bxc(a0)的最大值为.

二、新课导学

探究任务：函数最大（小）值的概念思考：先完成下表，

函数

f(x)2x3,x[1,2]

最高点

最低点

f(x)x22x1,x[2,2]

讨论体现了函数值的什么特征？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值（MaximumValue）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（MinimumValue）的定义．

反思：

一些什么方法可以求最大（小）值？

配方法：

图象法：

单调法：

3x例1.求y,x[3,6]的最大值和最小值.

x2例2.求函数yx22x3的单调性和最值小值

试试：函数y(x1)22,x[0,1]的最小值为，最大值为.如果是x[2,1]呢？

例3.求f(x)x2ax1,x0,2上的最小值

课堂练习：

1.函数f(x)2xx2的最大值是（）.

A.－1B.0C.1D.2

2.函数y|x1|2的最小值是（）.

A.0B.－1C.2D.3

3.函数yxx2的最小值是（）.

2A.0B.2C.4D.2

4.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间(,0)上，当x1时，f(x)有最小值3，则在区间(0,)上，当x时，f(x)有最值为.

5.函数yx21,x[1,2]的最大值为，最小值为.

6.下列函数的最大值和最小值：

2,x[2,3]x

22(3)f(x)x,x[1,3](4)f(x)x2x3,x[2,3]

11f(x)x,x[2,3]f(x)x,x[3,4]xx(5)(6)

(1)f(x)3x5,x[2,3](2)f(x)7用多种方法求函数y2xx1最小值.

单调性与最大（小）值（3）

【学习目标】

1.用函数的单调性比较函数值的大小。

2.利用抽象函数的单调性求参数的取值范围。

3.利用具体函数的单调性求参数的取值范围。

【学习过程】例题讲解：

例1.已知f(x)x2(1a)x2在(,4]上是减函数，求实数a的取值范围。

2例2.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)

方法总结：利用单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f(x1)

课堂练习：

（1）已知f(x)(2k1)xb在实数R是减函数，则k的取值范围为（）

（2）已知函数f(x)xbxc,x(0,)是单调函数，则实数b的取值范围为（）

(3)f（x）是定义在R上的减函数，则不等式f（x2-2x）>f（4x+16）的解集是

(4)f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）>f（8（x—2））的解集是

A、（2，21616） B、（—∞，）C、（2，+∞）

B．y=3x2＋1

D．y=2x2＋x＋1

D、（2，16）

7（）

作业题

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是

A．y=2x＋1

C．y=

2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于

（）

A．－7 B．1

C．17 D．25

3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

4．函数f(x)=

ax1在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

x211A．(0，) B．(，＋∞)

22（）

C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)

C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

6．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是（）A．(,0],(,1]

B．(,0],[1,)

C．[0,),(,1] D[0,),[1,)

7．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则（）

A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3) C．f(－1)=f(－3) D．f(2)＜f(3)

二、填空题：

8．函数y=x－21x＋2的值域为_____．

9、函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__．

三、解答题：

10．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

11．试讨论函数f(x)=1x2在区间［－1，1］上的单调性．

12．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

13．已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x+x)＞f(a-x)对一切x∈R都成立，

2 求实数a的取值范围

x22xa14．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

x1（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；

2（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

学员姓名：高一预科小班学科教师：

年级：高一辅导科目：数学

年授课日期月日

主题

时间

奇偶性(1)

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会判断函数的奇偶性；

3.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

【学习过程】

一、课前准备

复习1：对于f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝x3、f(x)＝x4，分别比较f(x)与f(－x).

二、新课导学

探究任务：奇函数、偶函数的概念

思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：

1（1）f(x)x、f(x)、f(x)x3；

x（2）f(x)x2、f(x)|x|.

观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？

新知：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫偶函数（evenfunction）.

试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（oddfunction）的定义.

注意点：1、偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于坐标原点成中心对称。

2、偶函数在原点两侧部分单调性相反；奇函数在坐标原点两侧部分单调性相同。

3、定义域关于原点对称，是一个函数是偶函数或者奇函数的前提条件。

4、若f（x）的定义域中包含0，且其为奇函数，那么必有f（0）=0.

5、如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f（x）具有奇偶性；否则其为非奇非偶函数，其不具有奇偶性。

6、函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，

唯有f（x）=0（x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数。

1试试：已知函数f(x)2在y轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.

x典型例题：例1判别下列函数的奇偶性：

（1）f(x)3x4；（2）f(x)4x3；

（3）f(x)3x45x2；（4）f(x)3x1.

x3小结：奇偶性判别方法：

例2.下面四个结论中，哪些是正确的

①偶函数的图象一定与y轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）

例3.判断几种基本初等函数的奇偶性。

课堂练习：

判别下列函数的奇偶性：

1（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|；（2）f(x)＝x＋；

xx（3）f(x)＝；（4）f(x)＝x2,x∈[-2,3].

21x思考：判断函数奇偶性的方法有哪些？.

课堂练习:

1.对于定义域是R的任意奇函数f(x)有（）.

A．f(x)f(x)0 B．f(x)f(x)0C．f(x)f(x)0 D．f(0)0

2.已知f(x)是定义(,)上的奇函数，且f(x)在0,上是减函数.下列关系式中正确的是（）

A.f(5)f(5) B.f(4)f(3)C.f(2)f(2) D.f(8)f(8)

3.下列说法错误的是（）.

x3x21A.f(x)x是奇函数B.f(x)|x2|是偶函数C.f(x)0,x[6,6]既是奇函数又是偶函数D.f(x)x1x既不是奇函数，又不是偶函数

4.函数f(x)|x2||x2|的奇偶性是.

5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.

奇偶性(2)

【学习目标】

1.熟练应用函数的奇偶性解决实际问题。

【学习过程】

例1．已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.

例2.若f(x)ax3bx5，且f(7)17，求f(7).

1例3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)、g(x).

x1例4.已知函数f(x)为R上的偶函数，在[0，+∞）上为减函数，f(a)=0(a>0)

求xf(x)<0的解集

例5.设函数f(x)的定义域为R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x,求f(7.5)的值。

例6.设函数f(x)的定义域为R上的奇函数，且当x0时，f(x)xx1，求f(x)的解析式。

例7..已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________.

例8.已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则

A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）

C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）

课堂练习：

1.已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.

3 2.已知函数f(x)=x2+mx+n(m,n是常数)是偶函数，求f(x)的最小值

作业：

1.函数yx2bxc(x(,1))是单调函数时，b的取值范围（）.

A．b2 B．b2 C．b2 D．b2

2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（）.

A．yx1 B．yxC．yx24x5 D．y2

xax2b3.已知函数y=为奇函数，则（）.

xcA.a0B.b0C.c0D.a0

4.函数y＝x＋2x1的值域为.

5.f(x)x24x在[0,3]上的最大值为，最小值为.

6.已知f(x)是定义在(1,1)上的减函数，且f(2a)f(a3)0.求实数a的取值范围.

7.已知函数f(x)1x2.

（1）讨论f(x)的奇偶性，并证明；

（2）讨论f(x)的单调性。

x28.判断函数y=单调性，并证明.

x19.判别下列函数的奇偶性：

2xx(x0)（1）y＝1x＋1x；（2）y＝2.

xx(x0)加讲内容

例1作出函数y＝x2－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.

例2.y＝|x2－2x－3|的图象如何作？

反思：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？

例3.画出y＝|2x+2|的图像。

反思：图像的左右移动和上下移动有什么规律？

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函数,集合,单调,表示,下列,已知

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