2024年4月6日发(作者：2022杭州滨江三模数学试卷)
2021年北京市西城区初三二模
一、选择题(此题共32分，每题4分)
1．在
2021. 6
1
，
0
，
1
，
2
这四个数中，最小的数是
2
1
A． B．
0
C．
1
2
元， 将93 210用科学记数法表示为
D．
2
2．据报道，按常住人口计算，2021年北京市人均GDP〔地区生产总值〕到达约93 210
A．
93.2110
3
B．
9.32110
4
C．
0.932110
5
D．
932.110
2
3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
假设∠BCD=110°，那么∠BAD的度数为
A．140° B．110°
C．90° D．70°
C
B
O
D
A
4．在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字－2，－1，0， 1，3，从中
随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为
4 3 2 1
A． B． C． D．
5555
5．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗
杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的
顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，那
么旗杆的高度是〔 〕
A．6.4m B．7m
C． 8m D．9
6．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，
假设BD=6，那么菱形ABCD的面积是
A． 6 B． 12
C． 24 D．48
y
B
A
C
O
D
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
y3x
经过点A，作AB
⊥x
轴于点B，将△ABO绕点B顺时针旋转
60
得到△BCD，假设点B
o
A
D
O
B
C
x
的坐标为〔2，0〕，那么点C的坐标为
A．
(5,3)
B．
(5,1)
C．
(6,3)
D．
(6,1)
8．右图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一个符合
要求，那么这个正方体是
1
A． B． C． D．
二、填空题(此题共16分，每题4分)
9．函数
y=x-1
中，自变量x的取值范围是_________
10．假设一次函数的图像过点〔0，2〕，且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函
数表达式：_________
11．一组数据：3，2，1，2，2的中位数是_____，方差是_____．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x(x3)〔0≤x≤3〕在
x轴上方的局部，记作C
1
，它与x轴交于点O，A
1
，将C
1
绕点A
1
旋转
180°得C
2
，C
2
与x 轴交于另一点A
2
．请继续操作并探究：将C
2
绕点
A
2
旋转180°得C
3
，与x 轴交于另一点A
3
；将C
3
绕点A
2
旋转180°得
C
4
，与x 轴交于另一点A
4
，这样依次得到x轴上的点A
1
，A
2
，A
3
，…，A
n
，…，及抛物线C
1
，C
2
，…，
C
n
，…．那么点A
4
的坐标为 ；Cn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数
式表示) ．
三、解答题(此题共30分，每题5分)
1
13．计算：
()
1
3(3)
0
3tan30
4
14．：如图，C是AE上一点，∠B=∠DAE，BC∥DE，AC=DE．
求证：AB=DA．
15．解分式方程：
B
D
2x
1
x
2
4x2
AC
E
16．列方程或方程组解应用题：
一列“和谐号〞动车组，有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中每节一等车厢设有座
位64个，每节二等车厢设有座位92个．问该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？
17．关于
x
的一元二次方程x
2
+2x+3k-6=0有两个不相等的实数根
〔1〕求实数
k
的取值范围；
〔2〕假设
k
为正整数，且该方程的根都是整数，求
k
的值．
18．抛物线
yx
2
bxc
〔b，c均为常数〕与x轴交于
A(1,0),B
两点，与y轴交于点
C(0,3)
．．
〔1〕求该抛物线对应的函数表达式；
〔2〕假设P是抛物线上一点，且点P到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P的坐标．
2
四、解答题(此题共20分，每题5分)
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC， E是CD的延长线上一点，且
AECADC
．
1
2
A
B
〔1〕求证：四边形ABDE是平行四边形．
〔2〕假设DB⊥CB，∠BCD＝60°，CD＝12，作AH⊥BD于H，
求四边形AEDH的周长．
E
C
D
21．据报道：2021年底我国微信用户规模已到达6亿．以下是根据相关数据制作的统计图表的一局部：
请根据以上信息，答复以下问题：
〔1〕从2021年到2021年微信的人均使用时长增加了________分钟；
〔2〕补全2021年微信用户对“微信公众平台〞参与关注度扇形统计图，在我国6亿微信用户中，经常使
用户约为_________亿〔结果精确到0.1〕；
〔3〕从调查数学看，预计我国微信用户今后每年将以20%的增长率递增，请你估计两年后，我国微信用
户的规模将到达_________亿.
21．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．
〔1〕求证：
ABCF
A
3
〔2〕假设sinC=，DF=6，求⊙O的半径．
5
.
22．阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题: 如图1，五个正方形的边长都为1，
将这五个正方形分割为四局部，再拼接为一个大正方形．
小明研究发现：如图2，拼接的大正方形的边长为
5
， “日〞
字形的对角线长都为
5
，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，CD
分割为四局部，将这四局部图形分别标号，以
CD
为一边画大正方形，
把这四局部图形分别移入正方形内，就解决问题．
请你参考小明的画法，完成以下问题：
〔1〕如图3，边长分别为a，b的两个正方形被两条互相垂直的线段AB，
CD分割为四局部图形，现将这四局部图形拼接成一个大正方形，请画出
C
O
H
B
D
F
3
拼接示意图
〔2〕如图4，一个八角形纸板有个个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八局部，再
拼接成一个正方形，如图5所示，画出拼接示意图；假设拼接后的正方形的面积为
842
，那么八角形
纸板的边长为 ．
五、解答题(此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23．经过点〔1，1〕的直线l：
ykx2 (k0)
与反比例函数G
1:
y
1
B〔b，-1〕，与y轴交于点D．
〔1〕求直线l对应的函数表达式及反比例函数G
1
的表达式；
〔2〕反比例函数G
2:
:
y
2
m
(m0)
的图象交于点
A(1,a)
，
x
t
(t0)
，
x
①假设点E在第一象限内，且在反比例函数G
2
的图象上，假设EA=EB，且△AEB的面积为8，求点
E的坐标及t值；
②反比例函数G
2
的图象与直线l有两个公共点M，N〔点M在点N的左侧〕，
假设
DMDN32
，直接写出t的取值范围．
24．在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．
〔1〕如图1，假设△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；
〔2〕BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．
①如图2，假设∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，假设
ACAB3AE
，求∠BAC的度数．
4
25.在平面直角坐标系
xOy
中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：假设直线PB与 x轴有
公共点〔记作M〕，那么称直线PB为⊙A的“x关联直线〞，记作
l
PBM
.
〔1〕⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P〔0,2〕，
①直线
l
1
：
y2
，直线
l
2
：
yx2
，直线
l
3
：
y3x2
，直线
l
4
：
y2x2
都经过点P，在
直线
l
1
，
l
2
，
l
3
，
l
4
中，是⊙O的“x关联直线〞的是 ；
②假设直线
l
PBM
是⊙O的“x关联直线〞，那么点M的横坐标
x
M
的最大值是 ；
〔2〕点A〔2,0〕,⊙A的半径为1，
①假设P〔-1,2〕,⊙A的“x关联直线〞
l
PBM
：
ykxk2
，点M的横坐标为
x
M
，当
x
M
最大
时，求k的值；
②假设P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标
y
p
2
，⊙A的两条“x关联直线〞
l
PCM
,
l
PDN
是
⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长
度是否发生改变？并说明理由.
5
北京市西城区2021年初三二模试卷
数学试卷参考答案及评分标准
2021.6
一、选择题〔此题共32分，每题4分〕
题号
答案
1
D
2
B
3
D
4
C
5
C
6
C
7
A
8
B
二、填空题〔此题共16分，每题4分〕
9 10
答案不唯一，
如：
yx2
2
11
0.4
(12,0)
12
(3n
39
,(1)
n1
)
24
x1
〔n为正整数〕
三、解答题〔此题共30分，每题5分〕
13．解：
()
1
3(3)
0
3tan30
1
4
=
4313
3
···································································· 4分
3
=
323
. ··········································································· 5分
14. 证明：〔1〕∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEA． …………1分
在△ABC和△DAE中,
B
D
BDAE，
ACB＝DEA
ACDE,
AC
E
∴△ABC≌△DAE． ·············································· 4分
∴AB=DA． ···························································· 5分
15.方程两边同时乘以
x
2
4
，得
2x(x2)x
2
4
， ·································· 3分
解得，
x3
. ·················································································· 4分
经检验，
x3
是原方程的解
x3
························································ 5分
16.解：设该列车一等车厢有x节，二等车厢有y节．
·············································· 1分
由题意，得
xy6，
······································································ 2分
64x92y496,
6
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