2024年3月27日发(作者：高一数学试卷必修二)
2023年内蒙古高考文科数学真题及参考答案
一、选择题
1.
2
i
2i
23
（
B
.
2
）
A
.
1
C
.
5
D
.
5
）
2.设集合
U
0,1,2,4,6,8
，集合
M
0,4,6
，
N
0,1,6
，则
MC
U
N
（
A
.
0,2,4,6,8
B
.
0,1,4,6,8
1,2,4,6,8
C
.
D
.
U
3.
如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为
1
，则该零件的表面积
为（）
A
.
24B
.
26C
.
28
D
.
30
4.在
ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，若
acosBbcosAc
，且
C
则
B
（）
，
5
A
.
10
B
.
5
C
.
3
10
）
D
.
2
5
xe
x
5.已知
f
x
ax
是偶函数，则
a
（
e
1
A
.
2B
.
1
C
.
1D
.
2
）
6.
正方形
ABCD
的边长是
2
，
E
是
AB
的中点，则
ECED
（
A
.
5
B
.
3C
.
25
D
.
5
7.设
O
为平面坐标系的坐标原点，在区域
x
,
y
1
xy
4
内随机取一点
A
，则直线
22
OA
的倾斜角不大于
A
.
1
8
的概率为（
4
11
B
.
C
.
64
）
D
.
1
2
1
8.函数
f
x
xax
2
存在3个零点，则
a
的取值范围是（
3
）
2
A
.
，3
B
.
，1
C
.
4，
D
.
3,0
共
6
个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、
9.
某学校举办作文比赛，
乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）
A
.
5
6
B
.
2
3
C
.
1
2
D
.
1
3
10.已知函数
f
x
sin
x
在区间
2
2
，
单调递增，直线
x
和
x
为函数
63
63
）
5
yf
x
的图象的两条对称轴，则
f
（
12
A
.
3
2
B
.
2
1
2
2
C
.
1
2
D
.
3
2
）
11.已知实数
x,y
满足
xy
4
x
2
y
4
0
，则
xy
的最大值是（
A
.
1
32
2
2
B
.
4
C
.
132
D
.
7
y
2
12.已知
A,B
是双曲线
x
1
上两点，下列四个点中，可为
AB
中点的是（
9
A
.
1,1
二、填空题
13.已知点
A1，5
在抛物线
C
：
y
2px
上，则
A
到
C
的准线的距离为
14.若
0
，
，
tan
）
B
.
1,2
C
.
1,3
D
.
1,4
2
.
3
1
，则
sin
cos
2
.
x
3
y
1
15.若
x,y
满足约束条件
x
2
y
9
，则
z2xy
的最大值为
3
x
y
7
.
16.已知点
S,A,B,C
均在半径为
2
的球面上，
ABC
是边长为
3
的等边三角形，
SA
⊥平面
ABC
，则
SA
.
2
三、解答题
（一）必做题
17.
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行
10
次配对试验，每次配对试
验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，
测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
x
i
,y
i
i1,2,10
，试验结果如下
试验序号
i
伸缩率
x
i
伸缩率
y
i
1
545
536
2
533
527
3
551
543
4
522
530
5
575
560
6
544
533
7
541
522
8
568
550
9
596
576
2
10
548
536
记
z
i
x
i
y
i
i1,2,10
，记
z
1
,z
2
z
10
的样本平均数为
z
，样本方差为
s
，
（
1
）求
z
，
s
；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显
2
s
2
著提高（如果
z
2
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡
10
胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
18.
记
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，已知
a
2
11
，
S
10
40
.
（
1
）求
a
n
的通项公式；
（
2
）求数列
a
n
前
n
项和
T
n
.
19.如图，在三棱锥
PABC
中，
ABBC
，
AB2
，
BC22
，
PBPC
6
，
BP,AP,BC
的中点分别为
D,E,O
，点
F
在
AC
上，
BFAO
.
（1）证明：
EF
∥平面
ADO
；
（2）若
POF120
，求三棱锥
PABC
的体积.
3
20.已知函数
f
x
1
a
ln
x
1
.
x
（1）当
a1
时，求曲线
f
x
在
1,f
1
的切线方程；
（2）若
f
x
在
0，
单调递增，求
a
的取值范围.
5
y
2
x
2
，点
A
2，
21.
已知椭圆
C
：
2
2
1
ab
0
的离心率为
0
在
C
上
.
3
ab
（1）求
C
的方程；
（2）过点
2,3
的直线交曲线
C
于
P,Q
两点，直线
AP,AQ
交
y
轴于
M,N
两点，证明：
线段
MN
中点为定点.
（二）选做题
【选修
4-4
】
22.在直角坐标系
xOy
中，以坐标原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
x
2cos
的极坐标方程为
2sin
，曲线
C
2
：
（
为参数，
y
2sin
42
）.
2
（1）写出
C
1
的直角坐标方程；
（2）若直线
yxm
既与
C
1
没有公共点，也与
C
2
没有公共点，求
m
的取值范围.
【选修
4-5
】
23.已知
f
x
2xx2
.
（1）求不等式
f
x
6x
的解集；
（2）在直角坐标系
xOy
中，求不等式组
f
x
y
所确定的平面区域的面积.
x
y
6
0
4
参考答案
一、选择题
1
C
2
A
2
3
D
3
4
C
5
D
6
B
7
C
2
8
B
3
9
A
10
D
11
C
2
12
D
1.
解：∵
2
i
2i
2
1
2i
1
2i
，∴
2i2i12i1
2
2
5
3.
解：如图所示，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
ABBC2
，
AA
1
3
，点
H,I,J,K
为所在棱上靠近点
B
1
,C
1
,D
1
,A
1
的三等
分点，
O,L,M,N
为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为
长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
去掉长方体
ONIC
1
LMHB
1
之后所
得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2
个边长为1的正方体.
4.
解：∵
AB
C
，∴
sinCsin
AB
，∵
acosBbcosAc
，
由正弦定理得：
sinAcosBsinBcosAsinCsinAcosBcosAsinB
∴
sinBcosA0
，∵
B
0，
，∴
sinB0
，∴
cosA0
，∴
A
∵
C
3
，∴
B
.
52510
2
xe
x
5.解：∵
f
x
ax
是偶函数，则
e
1
xe
x
x
e
x
xe
x
e
a
1
x
ax
0
，
f
x
f
x
axax
e
1
e
1
e
1
又∵
x
不恒为
0
，可得
e
e
x
a
1
x
0
，则
x
a1
x
，∴
a2
.
6.解：以
AB,AD
为基底表示：
1
ABAD
，
2
1
EDEAADABAD
，
2
ECEBBC
22
1
1
1
∴
ECED
ABAD
ABAD
ADAB413
4
2
2
5
7.解：∵区域
x
,
y
1
xy
4
表示以
O
0，0
为圆心，外圆半
22
径
R2
，内圆半径
r1
的圆环，则直线
OA
的倾斜角不大于
的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角
MON
，结
4
4
4
1
.
合对称性可得所求概率为
p
2
4
2
8.解：由条件可知
f
x
3
xa
0
有两根，∴
a0
2
a
要使函数
f
x
存在3个零点，则
f
0
且
3
解得
a3
a
f
0
，
3
A
6
2
5
9.解：有条件可知
P
.
6
66
10.解：∵
f
x
sin
x
在区间
则
T
，
当
x
T
2
2
，
单调递增，∴
，且
0
，
63
2362
时，
f
x
取得最小值，则
2
2
k
,kZ
，
662
5
5
,kZ
，不妨取
k0
则
f
x
sin
2
x
，
6
6
2
2
.
T
则
2
k
则
f
3
5
5
.
sin
1232
22
22
11.解：由
xy
4
x
2
y
4
0
得
x2
y1
9
，
令
xyt
，则
xyt0
，圆心
2,1
到直线
xyt0
的距离为
2
1
t
1
1
22
t
1
2
3
，解得
132t132
，∴
xy
的最大值为
132
.
12.解：由对称性只需考虑
1,1
，
1,2
，
1,3
，
1,4
即可，注意到
1,3
在渐近线上，
1,1
，
1,2
在渐近线一侧，
1,4
在渐近线的另一侧.下证明
1,4
点可以作为
AB
的中点.
设直线
AB
的斜率为
k
，显然
k
存在.
6
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