2024年4月11日发(作者：深圳去年中考真题数学试卷)

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动。用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3。回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1)已知集合

A{1,2,3,4,5}

,B{(x,y)xA,yA,xyA}

;,则

B

中所含元素

的个数为( ）

(A)

3

(B)

6

(C)

(D)



【解析】选

D

x5,y1,2,3,4

，

x4,y1,2,3

，

x3,y1,2

，

x2,y1

共10个

（2）将

2

名教师，

4

名学生分成

2

个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由

1

名教师和

2

名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

(A)

12

种

(B)

10

种

(C)

种

(D)

种

【解析】选

A

12

甲地由

1

名教师和

2

名学生：

C

2

C

4

12

种

（3)下面是关于复数

z

2

的四个命题：其中的真命题为（ ）

1i

2

p

1

:z2

p

2

:z2i

p

3

:z

的共轭复数为

1i

p

4

:z

的虚部为

1

(A)

p

2

,p

3

(B)

p

1

,p

2

(C)

p

,p

(D)

p

,p

【解析】选

C

z

22(1i)

1i

1i(1i)(1i)

2

p

1

:z2

，

p

2

:z2i

，

p

3

:z

的共轭复数为

1i

，

p

4

:z

的虚部为

1

x

2

y

2

3a

（4)设

F

1

F

2

是椭圆

E:

2

2

1(ab0)

的左、右焦点，

P

为直线

x

上一点,

ab

2

F

2

PF

1

是底角为

30

的等腰三角形，则

E

的离心率为（ )

12

(B)

(C)

23

【解析】选

C

(A)

(D)

c3

a4

F

2

PF

1

是底角为

30

的等腰三角形

PF

2

F

2

F

1

2(ac)2ce

（5)已知

a

n

为等比数列,

a

4

a

7

2

,

a

5

a

6

8

,则

a

1

a

10

( )

3

2

(A)

7

(B)

5

(C)



(D)



【解析】选

D

a

4

a

7

2

,

a

5

a

6

a

4

a

7

8a

4

4,a

7

2

或

a

4

2,a

7

4

a

4

4,a

7

2a

1

8,a

10

1a

1

a

10

7

a

4

2,a

7

4a

10

8,a

1

1a

1

a

10

7

（6)如果执行右边的程序框图，输入正整数

N(N2)

和

实数

a

1

,a

2

,...,a

n

，输出

A,B

，则( ）

(A)

AB

为

a

1

,a

2

,...,a

n

的和

(B)

AB

为

a

1

,a

2

,...,a

n

的算术平均数

2

(C)

A

和

B

分别是

a

1

,a

2

,...,a

n

中最大的数和最小的数

(D)

A

和

B

分别是

a

1

,a

2

,...,a

n

中最小的数和最大的数

【解析】选

C

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为

1

，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ）

(A)

6

(B)

9

(C)



(D)



【解析】选

B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为

3

此几何体的体积为

V

（8)等轴双曲线

C

的中心在原点，焦点在

x

轴上，

C

与抛物线

y16x

的准线交于

A,B

两点，

AB43

；则

C

的实轴长为( ）

2

11

6339

32

(A)

2

(B)

22

(C)

(D)

【解析】选

C

222

2

设

C:xya(a0)

交

y16x

的准线

l:x4

于

A(4,23)B(4,23)

222

得：

a(4)(23)4a22a4

(9）已知

0

,函数

f(x)sin(

x)

在

(,

)

上单调递减。则

的取值范围是（ ）

42

15131

(A)

[,]

(B)

[,]

(C)

(0,]

(D)

(0,2]

24242

【解析】选

A

5

9

2(

x)[,]

不合题意 排除

(D)

444

3

5

1(

x)[,]

合题意 排除

(B)(C)

444



3

另:

(

)

2

，

(

x)[

,



][,]

2424422



3

15



得：

,





2424224

(10) 已知函数

f(x)

1

；则

yf(x)

的图像大致为（ ）

ln(x1)x

【解析】选

B

x

1x

g

(x)01x0,g

(x)0x0g(x)g(0)0

g(x)ln(1x)xg

(x)

得：

x0

或

1x0

均有

f(x)0

排除

A,C,D

（11)已知三棱锥

SABC

的所有顶点都在球

O

的求面上，

ABC

是边长为

1

的正三角形，

SC

为球

O

的直径,且

SC2

；则此棱锥的体积为( ）

(A)

2

3

22

(B)

(C)

(D)

6

632

【解析】选

A

ABC

的外接圆的半径

r

6

3

22

,点

O

到面

ABC

的距离

dRr

3

3

26

3

SC

为球

O

的直径

点

S

到面

ABC

的距离为

2d

此棱锥的体积为

V

113262

S

ABC

2d

33436

另:

V

13

S

ABC

2R

排除

B,C,D

36

（12）设点

P

在曲线

y

1

x

e

上，点

Q

在曲线

yln(2x)

上,则

PQ

最小值为（ ）

2

2(1ln2)

(C)

1ln2

(D)

2(1ln2)

(A)

1ln2

(B)

【解析】选

A

函数

y

1

x

e

与函数

yln(2x)

互为反函数，图象关于

yx

对称

2

1

x

ex

1

x

1

x

2

函数

ye

上的点

P(x,e)

到直线

yx

的距离为

d

22

2

设函数

g(x)

1

x

11ln2

exg

(x)e

x

1g(x)

min

1ln2d

min

22

2

由图象关于

yx

对称得：

PQ

最小值为

2d

min

2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—

第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13）已知向量

a,b

夹角为

45

，且

a1,2ab10

;则

b_____

【解析】

b_____

32

2ab10(2ab)104b4bcos45

10b32

2

2

x,y0

（14) 设

x,y

满足约束条件：

xy1

；则

zx2y

的取值范围为

xy3

【解析】

zx2y

的取值范围为

[3,3]

约束条件对应四边形

OABC

边际及内的区域:

O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则

zx2y[3,3]

（15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位:小时）均服从

正态分布

N(1000,50)

，且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命

超过1000小时的概率为

2

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

3

8

2

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布

N(1000,50)

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为

p

1

2

2

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率

P

1

1(1p)

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

p

2

p

1

p

3

4

3

8

n

（16）数列

{a

n

}

满足

a

n1

(1)a

n

2n1

，则

{a

n

}

的前

60

项和为

【解析】

{a

n

}

的前

60

项和为

1830

可证明：

b

n1

a

4n1

a

4n2

a

4n3

a

4n4

a

4n3

a

4n2

a

4n2

a

4n

16b

n

16

b

1

a

1

a

2

a

3

a

4

10S

15

1015

1514

161830

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知

a,b,c

分别为

ABC

三个内角

A,B,C

的对边,

acosC3asinCbc0

（1)求

A

（2)若

a2

，

ABC

的面积为

3

;求

b,c

.

【解析】(1）由正弦定理得：

acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC

3sinAcosA1sin(A30

)

1

2

A30

30

A60


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